Механика (страница 2)

1) Высота \(h\) подъёма лёгкого шарика в первом случае, очевидно, будет равна той, на которую его подняли. Это следует из законов сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом ударе о массивный шар — лёгкий шарик просто отскакивает от неподвижного тяжёлого с той же по модулю скоростью, с какой он к нему приближался, и поднимается на исходную высоту. 2) При отклонении тяжелого шарика его вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и его скорость перед столкновением будет равна скорости маленького шарика 3) Запишем закон сохранения импульса и энергии \[\begin{cases} Mv_1=MV_1+mV_2\\ \dfrac{Mv_1^2}{2}=\dfrac{MV_1^2}{2}+\dfrac{mV_2^2}{2}\\ \end{cases}\] где \(M\) и \(m\) – массы большого и маленького шариков, \(v_1\) – скорость большого шарика перед столкновением, \(V_1\) и \(V_2\) – скорости большого и маленьких шариков после столкновения. Сгруппируем слагаемые \[\begin{cases} Mv_1-MV_1=mV_2 \\ \dfrac{Mv_1^2}{2}-\dfrac{MV_1^2}{2}=\dfrac{mV_2^2}{2}\\ \end{cases}\] Заметим разность квадратов и раскроем ее, умножив второе уравнение на 2 \[\begin{cases} Mv_1-MV_1=mV_2 \\ M((v_1-V_1)(V_1+V_1))=mV_2^2\\ \end{cases}\] Поделим второе на первое \[V_2=v_1+V_1\] Выразим скорость большого шарика после столкновения и подставим в закон сохранения импульса \[V_1=V_2-v_1\] \[Mv_1=M(V_2-v_1)+ mV_2 \Rightarrow (M+m)V_2=2Mv_1\] Так как \[m\ll M\], то массой маленького можно пренебречь. \[V_2=2v_1\] 4) Запишем закон сохранения энергии для маленького шарика с переходом в потенциальную энергию \[\dfrac{mV_2^2}{2}=mgH \Rightarrow \dfrac{4mv_1^2}{2}=mgH\] Значит и высота увеличиться в 4 раза.

Пусть к оси катка, имеющего вес \(Р\), приложена сила \(Q\), достаточно большая для того, чтобы каток сдвинулся с места. Трение качения вызвано деформацией катящегося тела и поверхности. Сила реакции опоры \(N\) при этом смещена от вертикали, проходящей через центр колеса. Момент силы трения качения равен \[M=F\cdot d\] Если колеса велосипеда немного спущены, то деформация колеса становится больше, увеличиваются смещение \(d\) силы реакции опоры и момент силы трения качения. Поэтому ехать становится тяжелее.

Найдем, при какой разности давления в паскалях начинает закладывать уши \[\Delta p =\rho_{\text{рт.}}\cdot g \cdot h=13600\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 0,009\text{ м} \approx 1224\text{ Па}\] Найдем также высоту поднятия, необходимую для такой же разности давления, плотность воздуха выразим из уравнения Клапейрона – Менделеева \[\rho=\dfrac{\mu p}{R T},\] где \(\mu\) – молярная масса воздуха, \(p\) – нормальное атмосферное давление, \(T\) – температура воздуха в Кельвинах.
\[\Delta p=\rho g H \Rightarrow H =\dfrac{\Delta p}{\rho g}=\dfrac{1224\text{ Па}}{\dfrac{29 \cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}\cdot 10^5 \text{ Па}}{8,31\text{ Дж/(моль $\cdot$ К)} \cdot 273 \text{ К}}}\approx 96\text{ м}\] Найдем количество этажей \[n=\dfrac{H}{5}\approx 10\]

Введем ось \(Oy\), направленную в центр колеса, тогда сила реакции опоры в проекции на ось \(Oy\) равна \(mg\cos \alpha\). Из курса физики давление на колесо будет по модулю равно силе реакции опоры колеса, следовательно, чтобы сила реакции опоры была максимальна, косинус угла должен быть максимален, что достигается в нижней точке \(\cos \alpha =1\) и тогда давление на колесо будет равно \(mg\).

Выведем формулу дальности полета тела.
Время подъема тела на максимальную высоту (снижение до земли с максимальной высоты) равно \[0=v_0\sin \alpha -gt \Rightarrow t=\dfrac{v_0\sin \alpha}{g}\] Откуда время всего полета тела \[\tau=2t=\dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g}\quad (1)\] Дальность полета тела выражена формулой \[L=v_0\cos \alpha t \quad (2)\] Объединим (1) и (2) и получим \[L=\dfrac{2 \cdot v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}=\dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\] Подставим наши углы \(\alpha\) и \(90-\alpha\) \[L_{\alpha}= \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\] \[L_{90-\alpha}=\dfrac{v_0^2 \sin (180-2\alpha)}{g}= \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}\] Получились две одинаковые формулы, следовательно, дальности полетов одинаковые. Нарисуем траектории движения

Гидравлический пресс состоит из сосуда с жидкостью и двух плеч площадью \(S_1\) и \(S_2\), причем \(S_2\) << \(S_1\). А формула для пресса \[\dfrac{F_1}{S_1} =\dfrac{F_2}{S_2} \Rightarrow \dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{S_2}{S_1}\] Так как площади остаются неизменными, то и силы остаются неизменными, Значит, разницы нет.