5. Механика (объяснение явлений) (страница 3)

Из начала декартовой системы координат в момент времени \(t=0\) тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. В таблице приведены результаты измерени координат тела \(x\) и \(y\) в зависимости от времени наблюдения. Выберите два верных утверждения на основании данных, приведённых в таблице. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Время, с} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
\hline
\text{Координата x, м} & 0,6 & 1,2 & 1,8 & 2,4 \\
\hline
\text{Координата y, м} & 0,75 & 1,4 & 1,95 & 2,4 \\
\hline
\end{array}\]
1) Максимальная высота подъема \(h_{max}=4,8 \text{ м}\).
2) Максимальная дальность полёта \(L_{max}=4,8 \text{ м}\).
3) Максимальная дальность полёта \(L_{max}=9,6 \text{ м}\).
4) В момент времени \(t_1=1{,}2 \text{ с}\) скорость тела равна 5 .
5) В момент времени \(t_2=0{,}6 \text{ с}\) проекция скорости \(\upsilon_y\) положительна.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Для начала нам нужно найти время \(t_\text{подъема}\), за которое тело поднимется на максимальную высоту: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}.\] Начальная скорость \(\upsilon_{0y}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[y=y_0 + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}\] \[\upsilon_{0y}=\dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t},\] где \(t\) любой выбранный критерий из таблицы, также мы знаем, что \(a_y=-g\). Теперь \(t_\text{подъема}\) можем рассчитать так (на высоте \(h_{max}\) \(\upsilon_y=0 \text{ м/с}\)): \[t_\text{подъема}=\dfrac{\upsilon_y - \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}}{a}=\dfrac{0 \text{ м/с} - \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}}{-10 \text{ м/с}^2}=0,8 \text{ с}\] Высоту \(h_{max}\) мы можем найти следующим способом: \[h_{max}=y_0 + \upsilon_{0y}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}=\dfrac{y-\dfrac{a_yt^2}{2}}{t}t_\text{подъема} + \dfrac{a_yt_\text{подъема}^2}{2}\] \[h_{max}=\dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}0,8 \text{ с} + \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,8^2 \text{ с}^2}{2}=3,2 \text{ м}.\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Дальность полёта мы можем высчитать по формуле: \[L_{max}=x_0 + \upsilon_{0x}t_{\text{полета}} + \dfrac{a_xt_{\text{полета}}^2}{2}\] Время подъема симметрично времени падения, тогда: \[t_{\text{полета}}=2t_\text{подъема}\] Начальная скорость \(\upsilon_{0x}\) нам неизвестна, её мы можем расчитать по следующей формуле: \[x=x_0 + \upsilon_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}=\upsilon_{0x}t\] \[\upsilon_{0x}=\dfrac{x}{t}\] \(x_0=0 \text{ м}\), так как действие идёт из начала системы отсчёта, также мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется. Подставляем неизестные величины в начальную формулу: \[L_{max}=\dfrac{x}{t}\cdot 2t_\text{подъема}=\dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\cdot 2 \cdot 0,8 \text{ с}= 9,6 \text{ м}.\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Смотреть пункт 2.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Скорость тела вычисляется как результирующая проекции скоростей в определенный момент времени: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}\] Проекции скоростей вычисляются по формулам: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_1\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+a_xt_1\] Мы знаем, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется, тогда формула принимает следующий вид: \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}\] Подставим все неизвестные значения в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{x}{t}\right) ^2 + \left( \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}+a_yt_1\right) ^2}\] \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{0,6 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}\right) ^2 + \left( \dfrac{0,75 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2 \text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}+(-10 \text{ м/с}^2) \cdot 1,2 \text{ с}\right) ^2}=9,1 \text{ м/с}.\]
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Так как \(t_\text{подъема}\) больше заданного времени, значит в промежуток времени \(t_2\) тело ещё поднималось, образуя положительную проекцию на ось \(Oy\).
Из начала декартовой системы координат в момент времени \(t=0\) тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту. В таблице приведены результаты измерения координат тела \(x\) и \(y\) в зависимости от времени наблюдения. Выберите два верных утверждения о характере движения тел. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Время, с} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
\hline
\text{Координата x, м} & 0,3 & 0,6 & 0,9 & 1,2 \\
\hline
\text{Координата y, м} & 0,35 & 0,6 & 0,75 & 0,8 \\
\hline
\end{array}\]
1) Тело бросили со скоростью \(\upsilon=5\) м/с.
2) Тело бросили под углом \(45^\circ\).
3) Время полета \(t=2\) с.
4) Проекция скорости \(\upsilon_y\) в момент времени \(t=0{,}3\) с равна 1 м/с.
5) В момент времени \(t=0{,}5\) с скорость тела равна 1,5 м/с.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Начальная скорость тела вычисляется как результирующая скорость \(\upsilon_{0y}\) и \(\upsilon_{0x}\): \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_{0x}^2 + \upsilon_{0y}^2}\] Скорости \(\upsilon_{0x}\) и \(\upsilon_{0y}\) можем найти из следующих формул (заранее заметим, что по оси \(Ox\) ускорение зануляется): \[x=x_0 + \upsilon_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}=\upsilon_{0x}t\] \[y=y_0 + \upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}=\upsilon_{0y}t + \dfrac{a_yt^2}{2}\] \[\upsilon_{0x}=\dfrac{x}{t}= \dfrac{0,3 \text{ м}}{0,1 \text{ с}}=3 \text{ м/с}\] \[\upsilon_{0y}=\dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}=\dfrac{0,35 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2\text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}=4 \text{ м/с}\] Подставим неизвестные величины в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{x}{t}\right) ^2 + \left( \dfrac{y - \dfrac{a_yt^2}{2}}{t}\right) ^2}\] \[\upsilon=\sqrt{ \left( \dfrac{0,3 \text{ м}}{0,1 \text{ с}^2}\right) ^2 + \left( \dfrac{0,35 \text{ м} - \dfrac{(-10 \text{ м/с}^2)\cdot 0,1^2\text{ с}^2}{2}}{0,1 \text{ с}}\right) ^2}= 5 \text{ м/с}.\]
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Вычислим тангенс угла броска: \[\tg_\alpha=\frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}=\frac{0{,}4}{0{,}3}=1,33\] Тангенс угла броска больше 1, тогда угол больше 45\(^\circ\).
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Для начала найдём время подъема, воспользовавшись формулой (\(\upsilon_y\) в максимальной точке подъема равно \(0 \text{ м/с}\)): \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}.\] Подставляем неизвестные величины в первую формулу: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt_\text{подъема}\] \[t_\text{подъема}=\frac{\upsilon_y - \upsilon_{0y}}{a_y}.\] Время подъема симметрично времени падения, тогда (\(a_y=-g\)): \[t_{\text{полета}}=2t_\text{подъема}= 2\cdot \frac{0 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{-10 \text{ м/с}^2}= 0,8 \text{ с}.\]
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Для вычисления скорости в определенный момент времени используем формулу: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt=4 \text{ м/с} + (-10 \text{ м/с}^2) \cdot 0,3 \text{ с}= 1 \text{ м/с}^2.\]
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Скорость тела вычисляется как результирующая проекции скоростей в определенный момент времени: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}\] Проекции скоростей вычисляются по формулам: \[\upsilon_y=\upsilon_{0y}+a_yt\] \[\upsilon_x=\upsilon_{0x}+a_xt=\upsilon_{0x}\] Подставим все неизвестные значения в начальную формулу: \[\upsilon=\sqrt{ \upsilon_{0x}^2 + (\upsilon_{0y}+a_yt)^2}=\sqrt{3^2 (\text{ м/с})^2 + (4 \text{ м/с} + (-10 \text{ м/с}^2) \cdot 0,5 \text{ с})^2}=3,2 \text{ м/с}.\]
На рисунке приведены графики зависимости координаты от времени для двух тел: \(A\) и \(B\), движущихся по прямой, вдоль которой направлена ось \(Ox\). Выберите два верных утверждения о характере движения тел.
1) В течение первых 5 секунд тела двигались в одном направлении.
2) Скорость тела \(A\) в момент времени \(t=2 \text{ с}\) равна \(\upsilon=10 \text{ м/с}\).
3) В момент времени \(t=4 \text{ с}\) скорость тела \(B\) стала равной нулю.
4) Тело \(A\) за первые 4 секунды переместилось на 20 м.
5) Тело \(A\) за первые 4 секунды переместилось на 40 м.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Координата тела \(A\) в течение первых 5 секунд постоянно уменьшается, а тела \(B\) после 4 секунды — увеличивается.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Так как график движения тела \(A\) — прямая линия, то тело перемещается равномерно, значит, скорость найдем по формуле: \[\upsilon=\dfrac{x-x_0}{\Delta t}=\dfrac{0 \text{ м}-20 \text{ м}}{4 \text{ с}}=-5 \text{ м/с}\]
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
В момент времени 5 с тело меняет направление движения (до 5 с двигалось в направлении оси, после в обратную сторону), а значит в этот момент времени его скорость \(\upsilon=0 \text{ м/с}\).
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По оси \(Ox\) видно, что тело \(A\) за 4 секунды проходит 20 метров.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По оси \(Ox\) видно, что тело \(A\) за 4 секунды проходит 20 метров.
Тело бросили под углом к горизонту из начала системы координат. В таблице приведены результаты измерения координат тела в зависимости от времени. Выберите два верных утверждения на основании данных, приведенных в таблице. Силами сопротивления пренебречь.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Время, с} & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 & 1,2 & 1,4 & 1,6\\ \hline \text{Координата x, м} & 0,4 & 0,8 & 1,2 & 1,6 & 2 & 2,4 & 2,8 & 3,2\\ \hline \text{Координата y, м} & 0,7 & 1,2 & 1,5 & 1,6 & 1,5 & 1,2 & 0,7 & 0\\ \hline \end{array}\]
1) Максимальная высота полета тела равна 3,2 м.
2) Полная механическая энергия тела уменьшилась за первые 0,8 секунды.
3) Тело бросили со скоростью 6 м/с.
4) В момент времени 0,8 с скорость движения тела равна 2 м/с.
5) Тело движется равноускоренно по обоим осям.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Максимальная высота полета равна максимальной координате y, которая равна 1,6 м.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Полная механическая энергия тела не изменяется, так как нет никаких сил сопротивления.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, за 1 с тело проходит по оси \(Ox\) 2 м, следовательно \(v_{x}=2\) м/с. В верхней точке траектории \(v_{y}=0\) м/с. По закону сохранения энергии \[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}\] 1 – в вершине траектории, 2 – в момент броска. \[\frac{mv^{2}_{x}}{2}+mgh=\frac{mv^{2}}{2}\Rightarrow v^{2}=2gh+v^{2}_{x}\Rightarrow v^{2}=2\cdot10\cdot1,6+2^{2}=36\Rightarrow v=6 \text{ м/с }\]
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, за 1 с тело проходит по оси \(Ox\) 2 м, следовательно \(v_{x}=2\) м/с. В верхней точке траектории \(v_{y}=0\) м/с. То есть в верхней точке траектории скорость тела равна скорости тела по оси \(Ox\), равна 2 м/с.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По данным таблицы видно, что по оси \(Ox\) тело движется равномерно, а по оси \(Oy\) с постоянным ускорением \(g\).
На рисунке изображены графики зависимости координаты от времени для двух тел: A и В. Они движутся только по одной прямой, вдоль которой направлена ось \(Ox\). Выберите два верных утверждения о характере движения тел:
1) Тело В имеет постоянное ускорение.
2) Тело А имеет переменное ускорение.
3) В момент времени \(t=2\text{ с}\) тело В движется со скоростью \(-2,5\) м/с.
4) За интервал времени от 1 с до 7 с тело А прошло путь, равный 10 м.
5) Тело А имеет максимальную по модулю скорости в моменты времени \(t_1=0\) и \(t_2=7\text{ с}\).
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График В – прямая, следовательно тело В движется равномерно, без ускорения.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График А – парабола, следовательно тело А движется равноускоренно, ускорение не меняется.
3) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
График В – прямая, следовательно скорость одинакова на всем пути, можно заметить, что за 2 с тело В прошло 5 м против оси \(Ox\), т. е. за 1 с – 2,5 м, следовательно скорость тела В равна -2,5 м/с.
4) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Не путаем перемещение и путь! Тело А переместилось на 10 м (20 м - 10 м = 10 м) и прошло 30 м (10 м + 20 м).
5) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Скорость – это производная пути. График А имеет максимальные по модулю производные в моменты времени \(t=0;7\text{ с}\).
На рисунке приведен график зависимости координаты от времени для тела, движущегося вдоль оси \(Ox\) без начальной скорости. Масса тела равна 1,5 кг. Выберите два верных утверждения, описывающих характер движения тела:
1) Тело движется равномерно.
2) Скорость тела в момент времени \(t=2\text{ с}\) равна 4 м/с
3) За промежуток времени от 2 с до 3 с кинетическая энергия тела увеличилась в 2,5 раза.
4) За первые 2 секунды суммарная работа всех сил, действующих на тело, равна 12 Дж.
5) Равнодействующая всех сил, действующих на тело, постоянно возростала.
1) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
График – парабола, значит тело движется равноускоренно.
2) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Нетрудно заметить, что \(x=t^{2}\), а кинематическое уравнение выглядит так: \[x(t)=\frac{at^{2}}{2}\] Следовательно только при \(a=2\text{ м/с}^{2}\) выполняется равенство \(x=t^{2}\), значит \(a=2\text{ м/с}^{2}\).
Скорость находится по формуле: \[v(t)=at\Rightarrow v(2)=2\cdot2=4\text{ м/с}\]
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Кинетическая энергия находится по формуле: \[E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\] \[E_{k2}=\frac{mv^{2}_{2}}{2}\] \[E_{k3}=\frac{mv_{3}^{2}}{2}\]
\(E_{k2}\) – кинетическая энергия тела в момент времени 2 с, \(E_{k3}\) – кинетическая энергия тела в момент времени 3 с, \(v_{2}=4\text{ м/с}\) (из решения 2 утверждения), \(v_{3}=6\text{ м/с}\) (нашли также как \(v_{2}\)), тогда \[\frac{E_{k3}}{E_{k2}}=\frac{v_{3}^{2}}{v^{2}_{2}}=\frac{36}{16}=2,25\]
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
Работа в данном случае вычисляется по формуле: \[A=FS\] где \(F\) – равнодействующая всех сил, действующих на тело, \(S\) – путь, пройденный телом за 2 с. \[F=ma\Rightarrow A=maS=1,5\cdot2\cdot4=12\text{ Дж}\]
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
Равнодействующая всех сил, действующих на тело, вычисляется по формуле: \[F=ma\]
То есть равнодействующая всех сил, действующих на тело, прямо пропорциональна ускорению, следовательно так как ускорение не изменяется, то не изменяется и равнодействующая всех сил, действующих на тело.
На рисунке представлен график зависимости скорости от времени для тела, движущегося по оси \(Ox\). Выберите два верных утверждения, описываюших движение тела.
1) В интервале времени от 0 до \(t_{1}\) тело движется равномерно.
2) Тело все время движется в одном направлении.
3) В интервале времени от \(t_{2}\) до \(t_{3}\) тело покоится.
4) В интервале от \(t_{1}\) до \(t_{2}\) тело движется равноускоренно.
5) В интервале времени от 0 до \(t_{1}\) кинетическая энергия тела увеличивается.
1) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
По графику видно, что в данный интервал времени скорость больше 0 и не изменяется, занчит тело движется равномерно.
2) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
В момент времени \(t_{2}\) скорость меняет знак, значит тело начинает двигаться в обратном направлении.
3) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По графику видно, что в данный интервал скорость не равна 0, значит тело движется.
4) \(\color{green}{\small \text{Верно}}\)
График в данном интервале является прямой, не параллельной оси \(Ot\). Значит тело имеет постоянное ускорение.
5) \(\color{red}{\small \text{Неверно}}\)
По графику видно, что в данном интервале скорость постоянна, а кинетическая энергия прямо пропорциональна скорости, следовательно кинетическая энергия не изменяется.