8. Молекулярно-кинетическая теория (страница 6)

Формула для расчета количества молекул: \[N=\nu N_\text{A}\;\; \; \; (1)\] где \(\nu\) — это количество вещества, \(N_\text{A}\) — число Авогадро.
Формула для расчета количества вещества: \[\nu=\dfrac{m}{M}\;\; \; \; \; (2)\] где \(m\) — масса вещества, \(M\) — молярная масса вещества.
Подставив (2) в (1), получим: \[N=\dfrac{m}{M} N_\text{А}\] Запишем отношение количества молекул азота к числу молекул неона: \[\dfrac{N_\text{азота}}{N_\text{неона}} = \dfrac{m_\text{азота}M_\text{неона}}{m_\text{неона}M_\text{азота}}\] \[\dfrac{N_\text{азота}}{N_\text{неона}}=\dfrac{7\text{ г}\cdot20\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}}{2\text{ г}\cdot28\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}}=2,5\]

Запишем формулу для расчета изменения средней кинетической энергии молекул: \[\Delta E=\frac{3}{2}k\Delta T\;\;(1)\] где \(k\) — это постоянная Больцмана, \(\Delta\) \(T\) — изменениме температуры. \[\Delta T=T_2-T_1\;\; (2)\] где \(T_2\) — конечная температура, \(T_1\) — начальная температура.
Заметим, что в данных задачах обязательно переводить градусы Цельсия в градусы Кельвина \(\Rightarrow{T_2 = 354}\) К.
Подставим (2) формулу в (1) и выразим \(T_1\): \[T_1=T_2-\dfrac{2\Delta E}{3k}\] Подставим известные величины и найдем начальную температуру: \[T_1=354 \text{ К}-\dfrac{2\cdot1,035\cdot10^{-21}\text{ Дж }}{3\cdot1,38\cdot10^{-23}\text{ Дж/К}}=304 \text{ К}\] Так как по условию температуру необходимо дать в градусах Цельсия \(\Rightarrow{ T=31^{\circ}}\text{С}\).

Запишем формулу для расчета изменения средней кинетической энергии молекул: \[E=\dfrac{3}{2}k T\] где \(k\) — это постоянная Больцмана, \(T\) — абсолютная температура газа.
Запишем отношение конечной энергии к начальной: \[\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{3E_1}{E_1}=\dfrac{T_2}{T_1}\hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} {\dfrac{T_2}{T_1}=3}\] \[T_1=\dfrac{T_2}{3}=\dfrac{300 \text{ К}}{3}=100 \text{ К}=-173^\circ\text{С}\]

Основное уравнение МКТ идеального газа: \[p=\dfrac{1}{3}nm_o\overline{v}^2\;\; \; \;(1)\] где \(n\) — концентрация молекул газа, \(m_o\) — масса одной молекулы газа, \(\overline{v}^2\) — средний квадрат скорости.
Концентрация газа вычисляется по формуле: \[n=\dfrac{N}{V} \; \; \;\;(2)\] где \(N\) — количество молекул газа, \(V\) — объем, который занимает газ.
Масса одной молекулы вычисляется по формуле: \[m_o = \dfrac{m}{N}\;\; \; \;(3)\] где \(m\) — масса газа.
Подставим (2) и (3) в (1): \[p=\dfrac{m\overline{v}^2}{3V} \; \; \; \;(4)\] Заметим, что плотность газа рассчитывается по формуле: \[\rho=\dfrac{m}{V} \; \; \;\;(5)\] Подставим (5) в (4): \[p=\dfrac{1}{3}\rho\overline{v}^2\] Найдем средне квадратичную скорость первого и второго газа: \[\overline{v}_1=\sqrt{\dfrac{3p_1V_1}{m_1}} \hspace{10 mm} \overline{v}_2= \sqrt{\dfrac{3p_2V_2}{m_2}} = \sqrt{\dfrac{3p_2}{\rho_2}}\] где \(v_1\) — средне квадратичная скорость молекул первого газа, \(v_2\) — средне квадратичная скорость молекул второго газа.
Найдем отношение средне квадратичной скорости молекул второго газа к средне квадратичной скорости молекул первого газа: \[\dfrac{\overline{v}_2}{\overline{v}_1}=\sqrt{\dfrac{p_2m_1}{\rho_2p_1V_1}}\] \[\dfrac{\overline{v}_2}{\overline{v}_1} = \sqrt{\dfrac{300\text{ кПа}\cdot1,9\text{ кг}}{1,4 \text{ кг/м$^3$}\cdot 240\text{ кПа}\cdot7,6 \text{ м$^3$}}}\approx 0,47\]

Запишем формулу для расчета изменения давления газа: \[\Delta p=\Delta nkT\;\;(1)\] где \(\Delta p\) — это изменение давления газа, \(\Delta n\) — изменение концентрации газа, \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — темпераутра газа в Кельвинах.
Изменение концентрации газа рассчитывается по формуле: \[\Delta n=\dfrac{\Delta N}{V}\;\;(2)\] где \(\Delta N\) — изменение количества молекул газа, \(V\) — объем, который занимает газ.
Подставим (2) в (1) и выразим изменение количества молекул: \[\Delta p=\dfrac{\Delta N}{V} kT \hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} {\Delta N=\dfrac{\Delta pV}{kT}}\] Вычислим изменение количества молекул газа: \[\Delta N=\dfrac{4260 \text{ Па}\cdot 0,02 \text{ м$^3$}}{1,38\cdot10^{-23}\text{ Дж/К}\cdot 306\text{ К}}\approx202\cdot10^{20}\]

Связь давления с средней кинетической энергией: \[\displaystyle p=\dfrac{2}{3}nE_k\] где \(n\) — концентрация молекул газа.
Кинетическая энергия равна: \[E_k=\dfrac{m_ov^2}{2}\] При уменьшении скорости в 5 раз, кинетическая энергия поступательного движения молекул уменьшится в 25 раз. Следовательно, конечное давление в 25 раз меньше начального. Отношение конечного давления к начальному равно: \[\dfrac{p_\text{к}}{p_{\text{н}}}= \dfrac{1}{25} = 0,04\]

Взаимосвязь кинетической энергии и температуры: \[E_k=\dfrac{3}{2}kT\] где \(k\) — постоянная Больцмана.
Так как \(E_k\) прямо пропорциональна \(T\), то при увеличении кинетической энергии в 5 раз, температура увеличится в 5 раз.