Внутренняя энергия газа
Некоторое число молей одноатомного идеального газа расширяется изотермически из состояния \(p_1 = 10^5\) Па и \(V_1 = 1\) литр до объема \(V_2 = 2V_1\). Чему равно изменение внутренней энергии этого газа? (Ответ дайте в джоулях.)
Изменение внутренней энергии равно: \[\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T,\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение абсолютной температуры газа.
По условию задачи процесс изотермический, следовательно: \[T_1=T_2=const \hspace{2 mm} \Rightarrow \hspace{2 mm} \Delta T=0\] Подставим в формулу: \[\Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\cdot0\] Получим, что изменение внутренней энергии также равно нулю: \[\Delta U=0\]
В сосуде с небольшой трещиной находится воздух. Воздух может медленно просачиваться сквозь трещину. Во время опыта объем сосуда уменьшили в 8 раз, давление воздуха в сосуде увеличилось в 2 раза, а его абсолютная температура увеличилась в 1,5 раза. Во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия газа в сосуде? (Воздух считать идеальным газом.)
Внутренняя энергия газа равна: \[\hspace{4 mm} U=\dfrac{i}{2}\nu RT, \hspace{4 mm} (1)\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура газа, \(i\) — число степеней свободы.
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона: \[\hspace{4 mm} pV=\nu RT, \hspace{4 mm} (2)\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — объем, занимаемый газом.
Из (2) выразим \(\nu RT= pV\) и подставим в (1), получим: \[\hspace{4 mm} U=\dfrac{i}{2}pV \hspace{4 mm} (3)\] Запишем (3) для первого и второго состояния с учетом того, что по условию \(V_2=\dfrac{1}{8}V_1\) и \(p_2=2p_1\): \[U_1 = \dfrac{i}{2}p_1V_1 \hspace{10 mm} U_2 = \dfrac{i}{2}p_2V_2\] \[\hspace{10 mm} U_1 = \dfrac{i}{2}p_1V_1 \hspace{10 mm} U_2 = \dfrac{i}{2}\cdot2p_1\cdot\dfrac{1}{8}V_1\] Найдем, во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия газа: \[\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{\dfrac{i}{2}\cdot2p_1\cdot\dfrac{1}{8}V_1}{\dfrac{i}{2}p_1V_1} = \dfrac{1}{4}\] Таким образом, внутрення энергия газа уменьшилась в 4 раза.
В процессе адиабатного сжатия двух молей идеального одноатомного газа внешние силы совершили работу 575 Дж. Определите изменение температуры данной порции газа в результате этого процесса. (Ответ дайте в кельвинах и округлите до целых).
При адиабатном процессе количество теплоты равно нулю: \(Q=0\).
Запишем первое начало термодинамики: \[Q=\Delta U+A,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A\) — работа газа. Для адиабатного процесса имеем: \[\Delta U = -A\] Работа внешних сил равна: \[A_\text{внеш. сил} = -A\] С учетом этого получаем, что: \[\hspace{5 mm} \Delta U = A_\text{внеш. сил} \hspace{5 mm} (1)\] Изменение внутренней энергии газа равно: \[\hspace{5 mm} \Delta U=\dfrac{i}{2}\nu R\Delta T, \hspace{5 mm} (2)\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение абсолютной температуры газа, \(i\) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то \(i = 3\)).
Приравняем (1) и (2) и выразим изменение температуры газа: \[\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T=A_{\text{внеш.сил}}\] \[\Delta T = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{A_\text{внеш. сил}}{\nu R}\] \[\Delta T = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{575\text{ Дж}}{2\text{ моль}\cdot 8,31\text{ }\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}} \approx 23\text{ К}\]
Во сколько раз изменяется внутренняя энергия идеального газа при повышении его температуры в 2 раза при неизменном объеме?
Изменение внутренней энергии газа равно: \[\Delta U=\dfrac{i}{2}\nu R \Delta T,\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура газа, \(i\) — число степеней свободы.
Изменение внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению его температуры. Так как температура газа увеличилась в 2 раза, то и внутренняя энергия газа изменилась в 2 раза.
Одноатомный идеальный газ в количестве одного моля совершает работу, равную 2700 Дж, при этом к газу было подведено количество теплоты, равное 3,2 кДж. Начальная температура газа равна \(T_1 = 100^\circ\)С . Чему равна конечная температура \(T_2\)? (Ответ дайте в градусах Цельсия и округлите до целых).
Первое начало термодинамики: \[Q=\Delta U+A,\] где \(Q\) — количество теплоты, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A\) — работа газа. Выразим изменение внутренней энергии газа: \[\hspace{5 mm} \Delta U=Q-A \hspace{5 mm} (1)\] Изменение внутренней энергии газа равно: \[\Delta U=\dfrac{i}{2}\nu R \Delta T,\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение абсолютной температуры газа, \(i\) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то \(i = 3\)).
Выразим изменение температуры: \[\hspace{5 mm} \Delta T=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\Delta U}{\nu R} \hspace{5 mm} (2)\] Подставим (1) в (2): \[\Delta T = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{Q-A}{\nu R} = T_2 - T_1\] Выразим конечную температуру \(T_2\) и подставим известные значения в СИ: \[T_2= T_1 + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{Q-A}{\nu R}\] \[T_2= 373\text{ К} + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3200\text{ Дж}-2700\text{ Дж}}{1\text{ моль}\cdot8,31\text{ }\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} } \approx 413\text{ К} = 140^\circ \text{С}\]
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре \(T_1=600\) К и давлении \(p_1=4\cdot10^5\) Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа \(p_2=1\cdot10^5\) Па. Чему равна внутренняя энергия газа после расширения? (Ответ дайте в джоулях.)
По условию температура газа при расширении обратно пропорциональна объёму: \[T\sim \dfrac{1}{V}\] Тогда справедливо следующее отношение: \[\hspace{5 mm} \dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{V_2}{V_1} \hspace{5 mm} (1)\] Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух случаев (до расширения газа и после): \[\hspace{5 mm} p_1V_1=\nu RT_1 \hspace{5 mm} (2)\] \[\hspace{5 mm} p_2V_2=\nu RT_2 \hspace{5 mm} (3)\] Разделим (3) на (2): \[\hspace{5 mm}\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=\frac{T_2}{T_1} \hspace{5 mm} (4)\] Подставим (1) в (4) и выразим температуру газа \(T_2\) после расширения: \[\dfrac{p_2T_1}{p_1T_2}=\dfrac{T_2}{T_1}\] \[\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2=\dfrac{p_2}{p_1}\hspace{3 mm} \Rightarrow \hspace{3 mm} T_2 = T_1\sqrt{\dfrac{p_2}{p_1}}\] \[T_2=600\text{ К}\sqrt{\dfrac{1\cdot10^5\text{ Па}}{4\cdot10^5\text{ Па}}} = 300\text{ К}\] Найдем внутреннюю энергию газа после расширения: \[U_2= \dfrac{3}{2}\cdot1\text{ моль}\cdot8,31\text{ }\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot300\text{ К}=3740 \text{ Дж}\]
Внешними силами над идеальным одноатомным газом, количество которого равно 1,5 моля, совершена работа, равная 3600 Дж, при этом температура газа увеличилась на 230\(^{\circ}\)C. Чему равно количество теплоты \(Q\), полученное газом в этом процессе? (Ответ дайте в Дж и округлите до целого числа.)
Первое начало термодинамики: \[\hspace{5 mm} Q=\Delta U+A \hspace{5 mm} (1)\] где \(Q\) — количество теплоты, \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A\) — работа газа.
Изменение внутренней энергии газа равно: \[\hspace{5 mm} \Delta U=\dfrac{i}{2}\nu R \Delta T \hspace{5 mm} (2)\] где \(\nu\) — количество вещества газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) — изменение абсолютной температуры газа, \(i\) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то \(i = 3\)).
Подставим (2) в (1): \[Q= \dfrac{3}{2}\nu R \Delta T +A\] Работа внешних сил равна: \[A_\text{внеш. сил} = -A\] С учетом этого получаем, что: \[Q= \dfrac{3}{2}\nu R \Delta T - A_\text{внеш. сил}\] Подставим известные значения (с учетом того, что изменение температуры в градусах Цельсия и Кельвина одинаково): \[Q=\dfrac{3}{2}\cdot1,5\text{ моль}\cdot8,31\text{ Дж/( моль$\cdot$ К)}\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot230\text{ К}-3600\text{ Дж}\approx 700 \text{ Дж}\]
