Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.13 Нетипичные задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#337Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

$y = 3x5 − 10x3 + 15x + 1$ на $[− 2;100 ]$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 15x4 − 30x2 + 15 = 15 (x2 − 1 )2 = 15 (x − 1 )2(x + 1)2$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 15(x − 1) (x + 1) = 0,

откуда находим корни: $x = 1, x = − 1 1 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на отрезке $[− 2;100]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 2;100]$ :

$PIC$

Значит точек локального минимума на $[− 2;100]$ нет, $y$ на $[− 2;100]$ возрастает и, следовательно, наименьшее значение функция достигает в $x = − 2$ .

$y(− 2 ) = − 45$ .

Итого: $− 45$ – наименьшее значение функции $y$ на $[− 2;100]$ .

Ответ: -45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#338Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

$√ -- y = 3(sin(2x ) − 2 cosx )$ .

Показать ответ и решение

√ -- √ -- √ -- y′ = 3(2cos(2x ) + 2 sin x) = 3(2 − 4sin2x + 2 sin x) = − 4 3(sin x − 1)(sin x + 0,5).

Найдём критические точки:

√ -- − 4 3(sin x − 1)(sin x + 0,5) = 0

– при $sin x = 1$ и при $sinx = − 0, 5$ .

Наибольшее значение функция достигает в тех точках, где либо $sin x = − 0,5$ , либо $sin x = 1$ .

$-- y = 2√ 3cos x(sin x − 1)$ .

При $sin x = 1$ имеем: $cosx = 0$ , значит в этих точках $y = 0$ .

При $sin x = − 0,5$ имеем: $√ -- cosx = ±0, 5 3$ и $√ -- √ -- y = 2 3(±0, 5) 3(− 0,5 − 1) = ∓4, 5$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ равно $4,5$ .

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1068Максимум баллов за задание: 1

Найдите тангенс угла, под которым видна кривая, задаваемая уравнением

(y − x2 − 3x + 10)(y + x2 + 3x − 10) = 0,

определенном при $x ∈ [− 5; 2]$ , из точки $A (5, 25;− 5,75)$ .

На рисунке показан угол, под которым из заданной точки видна окружность:

$PIC$

Показать ответ и решение

Изобразим график уравнения на координатной плоскости. Оно равносильно

[ y = x2 + 3x − 10 2 y = − x − 3x + 10

при $x ∈ [− 5;2]$ . Графиками обоих уравнений являются параболы, пересекающие ось абсцисс в точках $(− 5;0)$ и $(2;0)$ .
Таким образом, необходимо из точки $A$ провести две касательные к графику и найти тангенс угла между этими касательными, во внутренней области которого находится график.

$PIC$

Пусть $yk1$ – касательная к $y1$ в точке $B1$ , а $yk2$ – касательная к $y2$ в точке $B2$ . Тогда если через точку $A$ провести прямую параллельно оси абсцисс, то $α1$ – угол наклона касательной $yk1$ , а $α2$ – угол наклона касательной $yk2$ к положительному направлению оси абсцисс. Тогда угол между касательными, во внутренней области которого находится график, будет равен

α1 + (180∘ − α2)

Найдем уравнения касательных.
1) $yk1$ .
$y′1 = 2x + 3$ , следовательно, если $x1$ – точка касания, то

yk1 = x21 + 3x1 − 10 + (2x1 + 3 )(x − x1 )

Так как касательная проходит через точку $A (5,25;− 5,75)$ , то получаем уравнение:

[x = − 1 − 5,75 = x21 + 3x1 − 10 + (2x1 + 3)(5,25 − x1) ⇒ 2x21 − 21x1 − 23 = 0 ⇒ 1 x1 = 11, 5

Так как график $y1$ определен только при $x ∈ [− 5;2]$ , то подходит $x1 = − 1$ . Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

yk1 = x − 11

2) $yk2$ . Аналогично находим, что

yk2 = − 3x + 10.

Таким образом, это значит, что

tgα1 = 1 tgα = − 3 ⇒ tg(180∘ − α ) = 3 2 2

Следовательно,

tgα + tg (180 ∘ − α ) 1 + 3 tg(α1 + (180∘ − α2)) = -----1----------∘---2---= --------= − 2. 1 − tgα1 ⋅ tg(180 − α2) 1 − 1 ⋅ 3

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1659Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x2x$ на полуинтервале $(0;0,25]$ .

Показать ответ и решение

Для положительных $x$ верно: $y = e2x⋅lnx$ .

( ) ′ 2x⋅lnx ′ 2x⋅lnx ′ 2x⋅lnx 2x- 2x⋅lnx y = (e ) = e ⋅ (2x ⋅ ln x) = e ⋅ 2lnx + x = e ⋅ (2 ln x + 2).

e2x⋅lnx ⋅ (2 lnx + 2) = 0 ⇔ 2ln x + 2 = 0

(так как $t e > 0$ при любом $t$ ), что равносильно $−1 x = e$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $(0;0,25]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на $(0;0,25]$ :

$PIC$

Таким образом, на $(0;0,25 ]$ функция $y$ убывает, следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x = 0,25$ :
$√ ----- y(0,25 ) = 0,250,5 = 0,25 = 0,5$ .

Итого: $0,5$ – наименьшее значение функции $y$ на $(0; 0,25]$ .

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1661Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

y = sin 1 ⋅ x

на отрезке $[ ] --1-- 0;sin1$ .

Показать ответ и решение

$y′ = sin 1$ , следовательно, функция монотонна, тогда она принимает наибольшее значение в одном из концов отрезка. $( ) -1--- y sin 1 = 1 > 0 = y(0)$ . Таким образом, наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[ 1 ] 0;----- sin1$ равно 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1662Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

3 x ---x------ y = ln (e + 1) + ln3 (e − 1 ) − 0, 25(x − ln (e − 1))

на $[0;ln(e − 1)]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $ex + 1 > 0$ . Так как $ex > 0$ при любом $x$ , то $ex + 1 > 0$ , следовательно, $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Заметим, что $ln3 (e − 1)$ и $ln (e − 1)$ – просто числа, тогда:

ex 3x2 y′ = ------ + --3------- − 0,25. ex + 1 ln (e − 1)

Исследуем на наличие критических точек:

так как

( ) ex ′ ex -x---- = --x-----2 > 0, e + 1 (e + 1)

то $ex ex-+-1$ возрастает, следовательно, на $[0;ln (e − 1)]$ имеем:

ex e0 ------ ≥ ------ = 0, 5, ex + 1 e0 + 1

тогда на $[0;ln(e − 1)]$ можно оценить

x 2 2 y′ = --e--- + ---3x----- − 0,25 ≥ 0,5 + ---3x-----− 0, 25 ≥ 0,25 > 0, ex + 1 ln3(e − 1) ln3 (e − 1 )

следовательно, критических точек у функции $y$ на отрезке $[0;ln(e − 1)]$ нет и функция $y$ на нём возрастает.

Таким образом, наибольшее значение на $[0;ln(e − 1)]$ функция достигает в $x = ln (e − 1 )$ .

ln3(e − 1) y(ln (e − 1)) = ln(e − 1 + 1) + --3------- = 2. ln (e − 1)

Итого: $2$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;ln(e − 1)]$ .

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1663Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

$y = --x--ex2−2,5x+2,25 x + 1$ на $[0;+∞ )$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

( ) ′ x +-1 −-x- --x--- x2− 2,5x+2,25 2x3-−-0,5x2-−-2,-5x-+-1 x2−2,5x+2,25 y = (x + 1)2 + x + 1 (2x − 2,5) e = (x + 1)2 e .

2x3 − 0, 5x2 − 2,5x + 1 x2−2,5x+2,25 3 2 --------(x +-1)2-------e = 0 ⇔ 2x − 0,5x − 2, 5x + 1 = 0

– на ОДЗ (так как $et > 0$ при любом $t$ ).

У уравнения $2x3 − 0, 5x2 − 2,5x + 1 = 0$ можно подобрать решение $x = 1$ . В результате деления $3 2 2x − 0,5x − 2,5x + 1$ на $(x − 1)$ получается $2 2x + 1,5x − 1$ .

2x3 − 0,5x2 − 2,5x + 1 = (x − 1)(2x2 + 1,5x − 1).

У уравнения $2 2x + 1, 5x − 1 = 0$ два корня: $√ --- √ --- 3- --41- 3- --41- x1 = − 8 + 8 , x2 = − 8 − 8$ . Производная функции $y$ не определена при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ.

Таким образом,

( √ ---) ( √ ---) 3 41 3 41 2 x + --− ----- x + --+ ----- (x − 1) ′ --------8-----8----------8-----8----------- x2− 2,5x+2,25 y = (x + 1)2 ⋅ e .

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $[0;+∞ )$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на $[0; +∞ )$ :

$PIC$

Значит $x = 1$ – точка локального минимума и наименьшее значение на $[0;+ ∞ )$ функция $y$ принимает в ней или в $x = 0$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 0$ ,

$y(1) = 0,5 ⋅ e0,75 > 0$ . Итого: наименьшее значение функции $y$ на $[0;+ ∞ )$ равно $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#2222Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = −x4+ 4x3− x2+ 2x + 10$ на отрезке $[0;2].$

Показать ответ и решение

′ 3 2 3 2 2 2 2 y = −4x + 12x − 2x + 2= (− 4x + 11x )+ (x − 2x+ 1)+1 = x(11− 4x)+ (x − 1) + 1

На отрезке $[0;2]$ все слагаемые в полученной выше сумме неотрицательны, а последнее слагаемое даже положительно, следовательно, $y′ > 0$ на отрезке $[0;2].$

Таким образом, $y$ возрастает на отрезке $[0;2],$ следовательно, наибольшее на отрезке $[0;2]$ значение рассматриваемая функция принимает при $x= 2 :$

y(2)= −16 +32 − 4 +4 +10 =26

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#2704Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

$y = 3x5 − 5x3 − 180x + 7$ на $[− 3;3]$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 15x4 − 15x2 − 180 = 15 (x4 − x2 − 12)$ .

4 2 4 2 15 (x − x − 12) = 0 ⇔ x − x − 12 = 0

– биквадратное уравнение, которое решается при помощи замены $x2 = t$ , $t ≥ 0$ . Корни уравнения после замены: $t = − 3, t = 4 1 2$ , откуда находим $x = 2, x = − 2 1 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на отрезке $[− 3;3]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 3;3]$ :

$PIC$

Значит $x = − 2$ – точка локального максимума и наибольшее значение функция достигает в ней или в $x = 3$ . Сравним эти значения:

$y(− 2 ) = − 96 + 40 + 360 + 7 = 311$ ,

$y(3) = 729 − 135 − 540 + 7 = 61 < 311$ .

Итого: $311$ – наибольшее значение функции $y$ на $[− 3;3]$ .

Ответ: 311

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2754Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 3x3e3x + 2x2e2x + xex$ на отрезке $[0;2]$ .

Показать ответ и решение

Первый способ

$y′ = 9x2e3x + 9x3e3x + 4xe2x + 4x2e2x + ex + xex$

Так как при любом $x ∈ [0;2]$ верно: $ex > 0$ , $e2x > 0$ , $e3x > 0$ , $x ≥ 0$ , $x2 ≥ 0$ , $x3 ≥ 0$ , то на $[0;2]$ $′ y > 0$ , следовательно на отрезке $[0;2]$ функция $y$ возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при $x = 0$ :

y(0) = 0.

Второй способ

При любом $a > 0$ функция $xa$ возрастает на $[0;2]$ ; 2) при любом $b > 0$ функция $ebx$ возрастает на $[0;2]$ ; 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на $[0;2 ]$ , следовательно, наименьшее на $[0;2]$ значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно $y(0) = 0$ .

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно $t(x ) = x ⋅ ex$ : $y (t(x)) = 3t3 + 2t2 + t$ . Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции:

y′ = (3t3 + 2t2 + t)′ x ⋅ t′ = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ (x ⋅ ex + ex) = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ ex(x + 1 ) t=x⋅e x t=x⋅e t=x ⋅e

Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо $x + 1 = 0$ , либо $2 (9t + 4t + 1 )t=x⋅ex = 0$ (т.к. $x e > 0$ при всех $x$ ). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант $D < 0$ . Следовательно, имеем

x + 1 = 0 ⇔ x = − 1.

Найдем знаки производной на отрезке $[0;2 ]$ :

$PIC$

Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ функция $y (x )$ возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда

yнаим.(x) = y(0) = 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#45223Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

y = 4x2−14x+50

Показать ответ и решение

Способ 1.

Функцию можно переписать в виде

(x− 7)2+1 y = 4

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y = 4x 1$ и возрастающей при $x> 7$ и убывающей при $x< 7$ функции $2 y2 =(x − 7) + 1:$

y = y1(y2(x))

Следовательно, исходная функция возрастает при $x > 7$ и убывает при $x < 7,$ то есть $x= 7$ является точкой минимума.

Следовательно, в этой точке достигается наименьшее значение функции:

y(7) =41 = 4

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Способ 2.

Функция определена при всех $x∈ ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ (x2−14x+50)′ x2−14x+50 2 ′ x2−14x+50 y = 4 = 4 ⋅ln 4⋅(x − 14x+50 )= 4 ⋅ln4⋅(2x − 14)

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= 7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞; 7)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (7;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 7$ является точкой минимума и наименьшего значения функция достигает в этой точке:

72−14⋅7+50 1 y(7)= 4 = 4 = 4

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#74179Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = log9(− 2x2− 8x +1)− 10.$

Показать ответ и решение

Функция логарифма $y = log9g(x)$ монотонно возрастает: чем больше её аргумент $g(x),$ тем больше её значение.

То есть для нахождения максимального значения функции $y$ надо найти максимальное значение выражения $2 g(x) =− 2x − 8x+ 1$ в аргументе логарифма.

$2 g(x)= −2x − 8x+ 1$ — квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине этой параболы с абсциссой

x0 = −-(−-8)= −2, − 2⋅2

gmax(x0)= − 2⋅4− 8⋅(−2)+ 1= 9.

Таким образом, наибольшее значение $y :$

ymax(x0)= log9(9)− 10= − 9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#75430Максимум баллов за задание: 1

Найдите сумму двух наименьших положительных абсцисс точек экстремума функции $y = − cosx+ sinx+ x.$ Ответ округлите до целых.

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

y′ = sinx + cosx+ 1.

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки производной (вспомним метод вспомогательного угла и разделим всё уравнение на $√ - 2$ ):

cosx+ sinx+ 1 = 0,

cosx+ sin x = − 1,

√1- √1- √1- 2 cosx+ 2 sinx = − 2,

π π 1 sin --cosx+ cos--sinx = − √--, 4 4 2

(π- ) -1- sin 4 + x = − √2 ,

$⌊ π π | 4 + x = − 4 + 2πn,n ∈ ℤ, ⌈π 3π 4-+ x = −-4-+ 2πn,n ∈ ℤ.$

$⌊ x = − π-+ 2πn,n ∈ ℤ, ⌈ 2 x = − π + 2πn,n ∈ ℤ.$

Расположим абсциссы точек экстремума на числовой прямой:

$PIC$

Сумма двух наименьших положительных абсцисс точек экстремума равна $π + 32π= 5π2-≈ 7,853...$

После запятой стоит цифра 8, а значит, при округлении до целых округляем в бОльшую сторону.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#80088Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

y = log (x2 − 10x+ 26)+ 2x2−10x+25. 2

Показать ответ и решение

Основания показательной и логарифмической функций больше единички, следовательно, функции возрастающие и для них справедлив закон: чем больше аргумент функции, тем больше её значение.

Нам требуется найти минимальное значение сложной функции, значит, найдя минимальное значение суммы показательной и логарифмической функций по их минимальным аргументам, мы автоматически найдём ответ.

Рассмотрим аргументы показательной и логарифмической функций:

x2 − 10x + 25 = (x− 5)2,

x2 − 10x+ 26 = x2 − 10x+ 25 + 1 = (x− 5)2 + 1.

Минимальное значение суммы квадрата и фиксированного числа равно этому фиксированному числу, так как кнаименьшее значение квадрата равно нулю, и оно достигается в точке с абсциссой $x = 5.$

Таким образом, сумма значений показательной и логарифмической функций (то есть значение сложной функции) минимальна при $x = 5 :$

y(5) = log2(52 − 50 + 26) +252−50+25 = log2 1+ 20 = 0 + 1 = 1.

Ответ: 1