Нетипичные задачи —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32496

Найдите наибольшее значение функции

∘ -------2- y = 5− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 9

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +9$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −2$ и убывает при $x> −2$ , то есть $x= −2$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

√---- y(−2)= 0+ 9= 3

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32498

Найдите точку максимума функции

∘ -------2- y = 4− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 8

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +8$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −2$ и убывает при $x> −2$ , то есть $x= −2$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32500

Найдите точку максимума функции

∘ ---------2- y = −6+ 12x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘-------2--- y = − (x − 6) +30

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< 6$ и убывающей при $x >6$ функции $2 y2 = −(x− 6) +30$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 6$ и убывает при $x >6$ , то есть $x= 6$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32501

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x + 6x+ 12

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x+ 3) +3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> −3$ и убывающей при $x < −3$ функции $2 y2 = (x+ 3) + 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −3$ и убывает при $x< −3$ , то есть $x= −3$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32504

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 11

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32505

Найдите наименьшее значение функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 13

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +4

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 4$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 3$ , и оно равно

∘ --------- √- y(3)= (3− 3)2+ 4= 4= 2

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32497

Найдите точку максимума функции

2 y =log2(2+ 2x− x )− 2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y = log2(−(x− 1) +3)− 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x− 2 2$ и возрастающей при $x < 1$ и убывающей при $x> 1$ функции $y2 = −(x− 1)2 +3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 1$ и убывает при $x >1$ , то есть $x= 1$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32499

Найдите точку максимума функции

6x−x2 y = 11

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

−(x−3)2+9 y =11

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =11x$ и возрастающей при $x <3$ и убывающей при $x> 3$ функции $y2 = −(x− 3)2 +9$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 3$ и убывает при $x >3$ , то есть $x= 3$ является точкой максимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32502

Найдите точку минимума функции

x2+2x+3 y = 7

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x+1)2+2 y =7

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =7x$ и возрастающей при $x > −1$ и убывающей при $x< −1$ функции $y2 = (x+ 1)2+ 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −1$ и убывает при $x< −1$ , то есть $x= −1$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32503

Найдите точку минимума функции

2 y = log5(x − 6x+ 12)+2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log5((x − 3) +3)+ 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+2 5$ и возрастающей при $x > 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 = (x− 3)2+ 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32506

Найдите наименьшее значение функции

2 y = log3(x − 6x+ 10)+2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log3((x − 3) +1)+ 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+2 3$ и возрастающей при $x > 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 = (x− 3)2+ 1$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 3$ , и оно равно

2 y(3)=log3((3− 3) + 1)+ 2= log31+ 2= 2

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32507

Найдите наименьшее значение функции

x2+2x+5 y = 2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x+1)2+4 y =2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =2x$ и возрастающей при $x > −1$ и убывающей при $x< −1$ функции $y2 = (x+ 1)2+ 4$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −1$ и убывает при $x< −1$ , то есть $x= −1$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= −1$ , и оно равно

(−1+1)2+4 4 y(−1)= 2 = 2 = 16

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32508

Найдите наименьшее значение функции

x2−2x+3 y = 7

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x−1)2+2 y =7

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 = 7x$ и возрастающей при $x> 1$ и убывающей при $x< 1$ функции $y2 = (x− 1)2+ 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 1$ и убывает при $x <1$ , то есть $x= 1$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 1$ , и оно равно

(1−1)2+2 2 y(1)= 7 = 7 = 49

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32509

Найдите наибольшее значение функции

2 y = log 13(x + 6x+ 12)

на отрезке $[−19;−1].$

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log13((x+ 3)+ 3)

Эта функция является композицией двух функций: убывающей $y1 =log13 x$ и возрастающей при $x >− 3$ и убывающей при $x< −3$ функции $2 y2 = (x+ 3) + 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −3$ и убывает при $x> −3$ , то есть $x= −3$ является точкой максимума.

Следовательно, так как эта точка принадлежит отрезку $[−19;−1]$ , в ней и достигается наибольшее значение, и оно равно

y(− 3)= log13((−3+ 3)2+ 3)= log13 3= −1

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32510

Найдите наибольшее значение функции

−7−6x−x2 y = 3

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

−(x+3)2+2 y = 3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =3x$ и возрастающей при $x < −3$ и убывающей при $x> −3$ функции $y2 = −(x+ 3)2 +2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −3$ и убывает при $x> −3$ , то есть $x= −3$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

−(−3+3)2+2 2 y(−3)= 3 = 3 = 9

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32511

Найдите наибольшее значение функции

2 y =log5(4− 2x− x )+ 3

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y = log5(−(x+ 1) +5)+ 3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+ 3 5$ и возрастающей при $x< −1$ и убывающей при $x >− 1$ функции $y2 = −(x+ 1)2+ 5$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −1$ и убывает при $x> −1$ , то есть $x= −1$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

2 y(−1)= log5(− (−1 +1) +5)+ 3= log55+ 3= 4

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32531

Найдите наименьшее значение функции

2x x y = e − 6e + 3

на отрезке $[1;2]$

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

x 2 x x 2 y = (e ) − 6e + 3= (e − 3) − 6

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 =(x− 3)2 − 6$ и возрастающей $y1 = ex$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $ex >3 ⇔ x> ln3$ и убывает при $ex < 3 ⇔ x< ln3$ , то есть $x= ln3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= ln 3∈[1;2]$ , и оно равно

2 y(ln3)=(3− 3) − 6= −6

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#333

Найдите точку локального минимума функции

$x x2 +-4- y = e ⋅ x3$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

1)

( ) ′ x x2-+-4- 2x4-−--3x2(x2 +-4) ex- 5 4 3 2 y = e x3 + x6 = x6(x − x + 4x − 12x ).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

ex ---(x5 − x4 + 4x3 − 12x2) = 0 ⇔ x5 − x4 + 4x3 − 12x2 = 0 ⇔ x3 − x2 + 4x − 12 = 0 x6

– на ОДЗ. Можно угадать корень $x = 2$ . После деления $3 2 x − x + 4x − 12$ на $(x − 2)$ получим:

x2 + x + 6 = (x + 0,5)2 + 5,75 > 0.

Производная функции $y$ не определена при $x = 0$ , но $x = 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

ex y′ = --(x − 2)(x2 + x + 6). x4

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Значит $x = 2$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#334

Найдите точку локального максимума функции

$(( )x ) y = sin π- 2$ , принадлежащую $[− 0, 5;2]$ .

Показать ответ и решение

( )x ( ( )x) y ′ = ln π-⋅ π- cos π- . 2 2 2

Найдём критические точки:

π (π )x (( π)x ) ( (π )x) ln --⋅ -- cos -- = 0 ⇔ cos -- = 0, 2 2 2 2

откуда находим:

( π)x π- 2 = 2 + πk, k ∈ ℤ.

Среди $x$ из $[− 0,5;2]$ подходит только $x = 1$ . Проверим, что это точка локального максимума:

при $− 0,5 < x < 1$ имеем $′ y > 0$ ,

при $1 < x < 2$ имеем $y′ < 0$ .

Значит $x = 1$ – точка локального максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#336

Найдите наибольшее значение функции

$√- y = 3ecos(3x)+2sin(3x)− 5$ .

Показать ответ и решение

Так как $et$ возрастает, то наибольшее значение $y$ достигает там же, где и $√ -- cos(3x) + 2sin(3x) − 5$ .

С помощью формулы для косинуса разности (формула вспомогательного аргумента) можно преобразовать $cos(3x) + 2sin(3x)$ к более удобному виду:

$√ --( 1 2 ) √--( ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) ) √ -- ( ( 1 ) ) cos(3x) + 2sin(3x) = 5 √--cos(3x) + √---sin (3x) = = 5 cos arccos √--- ⋅ cos(3x) + sin arccos √--- ⋅ sin(3x) = = 5cos 3x − arccos √--- 5 5 5 5 5$ .

Наибольшее значение $√-- ( ( 1 )) 5 cos 3x − arccos √--- 5$ равно $√ -- 5$ , значит наибольшее значение $y$ равно $√ - √- 3e 5− 5 = 3$ .

Ответ: 3

12.13 Нетипичные задачи