Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32470

Найдите наименьшее значение функции

9−x y = (8− x)⋅e

на отрезке $[3;10].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 9−x 9−x 9−x y =− e − (8− x)e = e (x− 9)

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [3;9)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (9;10]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x =9$ , и оно равно

y(9) =(8− 9)⋅e9−9 = −1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32471

Найдите наибольшее значение функции $x−7 y = (8− x)⋅e$ на отрезке $[3;10].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = −ex−7+ (8− x)ex−7 = ex−7(7 − x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= 7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [3;7)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(7;10]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =7 :$

y(7)= (8 − 7)⋅e7−7 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32473

Найдите наибольшее значение функции

10−x y = (x − 9)⋅e

на отрезке $[− 11;11].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = e10− x − (x− 9)e10−x = e10−x(10− x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x = 10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x ∈ [− 11;10)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈ (10;11]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x = 10$ :

y(10) = (10 − 9)⋅e10−10 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32474

Найдите наименьшее значение функции $2 x−10 y = (3x − 36x+ 36)⋅e$ на отрезке $[8;11].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−10 2 x−10 y = (6x− 36)e + (3x − 36x+ 36)e = = ex− 10(3x2− 30x)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ 3x − 30x= 0 ⇔ x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [8;10)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x ∈(10;11]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x =10 :$

2 10−10 y(10) =(3⋅10 − 36⋅10+ 36)⋅e = −24

Ответ: -24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32475

Найдите наибольшее значение функции $( 2 ) x y = 3x − 36x+ 36 ⋅e$ на отрезке $[−1;4].$

Показать ответ и решение

Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x 2 x x 2 y = (6x− 36)e + (3x − 36x + 36)e = e (3x − 30x)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ 3x − 30x= 0 ⇔ x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 1;0)$ производная положительна, то есть функция возрастает. При $x ∈ (0;4]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x= 0 :$

y(0)= (3⋅02− 36⋅0+ 36)⋅e0 = 36

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32476

Найдите наименьшее значение функции $(2 ) 2−x y = x − 8x +8 ⋅e$ на отрезке $[1;7].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2− x 2 2−x y = (2x − 8)e − (x − 8x+ 8)e = = −e2−x(x2− 10x +16)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x − 10x+ 16= 0 ⇔ x =2;8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x ∈ (2;7]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x =2 :$

2 2−2 y(2)= (2 − 8⋅2+ 8)⋅e = − 4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32477

Найдите наибольшее значение функции $( 2 ) 10−x y = x − 10x+ 10 ⋅e$ на отрезке $[5;11].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 10−x ( 2 ) 10−x y= (2x− 10)e − x − 10x + 10 e = =− e10−x(x2− 12x+ 20)

Найдем нули производной:

′ 2 y =0 ⇒ x − 12x +20 = 0 ⇔ x= 2;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [5;10)$ производная положительна, то есть функция возрастает. При $x∈ (10;11]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x= 10:$

( 2 ) 10−10 y(10)= 10 − 10⋅10+ 10 ⋅e = 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32478

Найдите наименьшее значение функции $2 x−2 y = (x − 2) ⋅e$ на отрезке $[1;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 2(x− 2)ex−2+ (x− 2)2ex−2 = ex−2(x2− 2x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 − 2x = 0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈ (2;4]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x= 2$ , и оно равно

y(2)= (2− 2)2⋅e2−2 =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32479

Найдите наибольшее значение функции

2 x y = (x − 2) ⋅e

на отрезке $[− 5;1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x 2 x x 2 y = 2(x− 2)e + (x− 2) e = e(x − 2x)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x − 2x =0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 5;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =0$ , и оно равно

y(0)=(0− 2)2⋅e0 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32480

Найдите наименьшее значение функции $2 −3−x y = (x +3) ⋅e$ на отрезке $[−5;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ −3− x 2 −3− x y = 2(x +3)e − (x +3) e = = −e−3−x(x2+ 4x+ 3)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x +4x +3 = 0 ⇔ x= − 3;− 1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 5;− 3)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x ∈(−3;−1]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x =− 3:$

2 −3+3 y(− 3)= (− 3+ 3) ⋅e = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32481

Найдите наибольшее значение функции $2 −4−x y =(x +6) ⋅e$ на отрезке $[−6;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ −4− x 2 −4− x y = 2(x +6)e − (x +6) e = =− e−4− x(x2+ 10x+ 24)

Найдем нули производной:

′ 2 y =0 ⇒ x + 10x +24 = 0 ⇔ x= −6;−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−6;−4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (− 4;− 1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =− 4:$

2 −4+4 y(− 4)= (− 4+ 6) ⋅e = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32484

Найдите наибольшее значение функции $5 y = ln(x+ 5) − 5x$ на отрезке $[−4,5;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −5$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 5(x+ 5)4 5 y = -(x-+5)5-− 5= x+-5-− 5

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 5 =1 ⇔ x= −4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 4,5;−4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈ (− 4;0]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x = −4$ , и оно равно

y(−4)= ln(− 4+ 5)5+ 20= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32485

Найдите наибольшее значение функции $y =8 ln(x+ 7)− 8x+ 3$ на отрезке $[− 6,5;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

8 y′ = x+-7-− 8

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 7= 1 ⇔ x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 6,5;−6)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (−6;0]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =− 6:$

y(−6)= 8ln(−6 + 7)+ 48+ 3 =51

Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32486

Найдите наибольшее значение функции $2 y = 2x − 13x+ 9lnx +8$ на отрезке $[ 13- 15-] 14 ;14 .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

9 4x2− 13x+ 9 y′ = 4x− 13+ x =-----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 13x +9 = 0 ⇔ x= 1; 9 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $[ ) x∈ 1134;1$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $( ] x∈ 1; 1514$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =1$ , и оно равно

y(1)= 2− 13+ 9ln1+ 8= − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32487

Найдите наибольшее значение функции $y = ln(11x) − 11x+ 9$ на отрезке $[-1 -5] 22;22 .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 11- y = 11x − 11

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= -1 11

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $[ 1 1) x∈ 22;11$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $(1--5] x∈ 11;22$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x = 1-: 11$

( ) y 1- =ln1− 1+ 9 =8 11

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32488

Найдите наименьшее значение функции $3 y = 3x− ln(x+ 3)$ на отрезке $[−2,5;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 3$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

3(x+ 3)2 3 y′ = 3−-(x+-3)3-= 3− x-+-3

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 3= 1 ⇔ x= − 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 2,5;− 2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈(−2;0]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x= −2$ , и оно равно

y(−2)= −6 − ln(−2+ 3)3 = −6

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32489

Найдите наименьшее значение функции $y = 4x− 4ln(x+ 7)+ 6$ на отрезке $[− 6,5;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -4--- y= 4 − x+ 7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 7 =1 ⇔ x= −6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 6,5;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (−6;0]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = −6:$

y(−6)= −24 − 4 ln(−6+ 7)+ 6= −18

Ответ: -18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32490

Найдите наименьшее значение функции $y = 9x− ln(9x)+ 3$ на отрезке $[ 1 5-] 18;18 .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

9 y′ = 9− 9x

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= 1 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $[ 1 1) x∈ 18;9$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $(1 5-] x∈ 9;18$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 19 :$

( ) y 1 = 1 − ln1+ 3= 4 9

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32491

Найдите наименьшее значение функции $2 y = 2x − 5x + lnx − 3$ на отрезке $[5 7] 6;6 .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 4x2− 5x+ 1 y′ = 4x− 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 5x+ 1 =0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $[5 ) x∈ 6;1$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает. При $( 7] x∈ 1;6$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 1:$

y(1)= 2− 5+ ln1− 3= − 6

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32492

Найдите наименьшее значение функции $2 y = 4x − 10x +2 lnx − 5$ на отрезке $[0,3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

2 8x2− 10x+ 2 y′ = 8x− 10+ x =-----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 5x+ 1 =0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [0,3;1)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (1;3]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 1:$

y(1)= 4− 10+ 2ln 1− 5= −11

Ответ: -11

12.12 Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций