12.12 Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций

Первый способ

Так как при любом верно: , , , , , , то на , следовательно на отрезке функция возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при :

Второй способ

При любом функция возрастает на ; 2) при любом функция возрастает на ; 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на , следовательно, наименьшее на значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно .

 

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно : . Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции:

Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо , либо (т.к. при всех ). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант . Следовательно, имеем Найдем знаки производной на отрезке :
 

 

Следовательно, на отрезке функция возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда