Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций

Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.12 Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#332Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $2 x y = 3e 3+x ⋅----4- x − 3$ на $[− 1;1]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4 x ⁄= -- 3$ . Решим на ОДЗ:

( 4 ) ( 4 ) 2+x ( ) y′ = 3 e23+x ⋅--x---+ e 23+x ⋅ x-−-3-−-x = 3e23+x ⋅ --x---+ x-−-3-−-x- = 3--e3---- ⋅ x2 − 4x − 4- . x − 43 (x − 43)2 x − 43 (x − 43)2 (x − 43)2 3 3

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 ( ) --e3+x-- 2 4- 4- 2 4- 4- (x − 4)2 ⋅ x − 3x − 3 = 0 ⇔ x − 3 x − 3 = 0 3

(так как на ОДЗ выражение $e 23+x -----4-2 (x − 3)$ отлично от $0$ ), откуда находим корни $2 x1 = 2, x2 = − -- 3$ .

Производная функции $y$ не существует при $4 x = -- 3$ , но $4 x = -- 3$ не входит в ОДЗ.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 1; 1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 1;1]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшее значение на отрезке $[− 1;1]$ функция $y$ достигает в $x = − 2- 3$ :

$( ) 2 y − 2- = 3e23− 23 ⋅--−-3---= 3e0 ⋅ 1-= 1 3 − 23 − 43 3$ .

Итого: $1$ – наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[− 1;1]$ .

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#782Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $x+-1- y = − x − ln(e⋅x)$ на отрезке $[0,1;2,1].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 0.$

1) Производная функции $y$ равна

y′ = − 1⋅x−-1x⋅2(x+-1)− e1⋅x-⋅e= 1−x2x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

1−-x-= 0 ⇔ x= 1 x2

Производная существует при всех $x$ из ОДЗ.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и монотонности $y$ на рассматриваемом отрезке $[0,1;2,1]:$

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0,1;2,1]:$

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[0,1;2,1]$ значения функция достигает в точке $x = 1:$

1-+1 y(1)= − 1 − ln(e)= −2− 1= − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#796Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $√ -- y = 0,5x + 0,5ln(2x2 + 1) + --2-⋅ arctg(√2x-) 4$ на промежутке $[− 2;0]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

√ -- ′ 4x 2 1 √ -- x2 + 2x + 1 y = 0,5 + 0,5 ⋅--2-----+ ----⋅-----√----2 ⋅ 2 = -----2------ 2x + 1 4 1 + ( 2x ) 2x + 1

2 x--+-2x-+-1- 2 2x2 + 1 = 0 ⇔ (x + 1) = 0 ⇔ x = − 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом промежутке $[− 2;0]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 2;0 ]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 2;0]$ значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = 0 + 0 + 0 = 0.

Итого: $0$ – наибольшее значение функции $y$ на промежутке $[− 2;0]$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1006Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y =59x − 56sinx+ 42$ на отрезке $[− π-;0]. 2$

Показать ответ и решение

Для нахождения наибольшего значения функции построим схематично ее график.

Для этого найдем производную:

′ y = 59− 56cosx

Заметим, что

−56 ≤− 56cosx≤ 56 ⇒ 59− 56cosx≥ 3

Тогда $y′$ положительна и $y$ возрастает при всех $x.$

Построим эскиз графика $y$ на отрезке $[− π-;0] : 2$

$PIC$

Отсюда наибольшее значение функции принимается в точке $x= 0:$

y(0) =59 ⋅0 − 56 ⋅sin0+ 42= 42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1067Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $f (x)= x3+ 4x+ sin πx$ на отрезке $[ ] − 1; 1 . 2 2$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно понять, как схематично выглядит график функции на этом отрезке. Для этого найдем производную:

f′(x)= 3x2+ 4+ π cosπx

Заметим, что $x2 ≥0,$ $− π ≤ πcosπx ≤π,$ следовательно,

3x2+ 4+ πcosπx≥ 3⋅0+ 4− π > 0

Тогда $f′(x)> 0$ при всех $x,$ значит, функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[ ] − 1; 1 2 2$ ее график выглядит так:

$PIC$

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = − 12 :$

( ) ( )3 ( ) ( ) fmin = f − 12 = − 12 + 4⋅ − 12 + sin − π2- = −3,125.

Ответ: -3,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1218Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 11 ⋅ln(x+ 4)− 11x − 5$ на отрезке $[−3,5;0].$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке. Для этого исследуем ее производную.

Найдем производную:

y′ = 11⋅-1--− 11 x+ 4

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= − 3

Заметим, что функция определена только при $x +4 >0.$ Нуль производной разбил область определения функции на два промежутка. Определим знаки производной на этих промежутках:

$PIC$

Для того, чтобы найти знак на каждом промежутке, можно подставить любую точку из этого промежутка в производную. Следовательно, схематично график функции выглядит так:

$PIC$

То есть на $(−4;−3)$ функция $y$ возрастает, на $(− 3;+ ∞ )$ функция убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в точке максимума $x = −3:$

y(− 3)= 11⋅ln 1− 11 ⋅(− 3)− 5 = 0+ 33 − 5= 28

Ответ: 28

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1660Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $x−2 x−-4- y = e ⋅ x$ на отрезке $[1;4].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= 0$ .

1) Вычислим производную:

( ) y′ = ex− 2⋅ x−-4-+ex−2⋅ x-− (x-− 4) = x x2

x−2 ( x− 4 4) ex−2 2 =e ⋅ -x--+ x2 = -x2-⋅(x − 4x+ 4)

ex−2 2 2 x2 ⋅(x − 4x+ 4)= 0 ⇔ x − 4x+ 4= 0

откуда находим корень $x = 2$ . Производная не существует при $x= 0$ , но эта точка не входит в ОДЗ.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PICT$

3) Эскиз графика $y$ на отрезке $[1;4]$ :

$PIC$

Таким образом, функция $y$ достигает наибольшего на отрезке $[1;4]$ значения в точке $x= 4$ :

4−2 4−-4 y(4)= e ⋅ 4 = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#2083Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $( ) y = ----2----⋅ ln(− 6x − 1) − --5---- ln (5) + 1 6x + 1$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x + 1 < 0$ .

( ) ′ ---2----- ---− 6--- ----30--- ----72--- --x-+-1-- y = ln (5 ) + 1 ⋅ − 6x − 1 + (6x + 1 )2 = ln(5) + 1 ⋅(6x + 1)2

72 x + 1 ---------⋅ ---------= 0 ⇔ x = − 1. ln(5) + 1 (6x + 1)2

Производная не существует при $1 x ≥ − -- 6$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в $x = − 1$ .

( ) ----2---- -5- y(− 1) = ln (5) + 1 ⋅ ln(5) − − 5 = 2.

Итого: $2$ – наименьшее значение функции $y$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#2084Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $9 y = 2x − -------+ 5 ln(− 4x − 3) 8x + 6$ на промежутке $[− 2;− 0,75)$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4x + 3 < 0$ .

′ ---72---- --20--- 2(4x-+-3)2 +-18 +-20(4x-+-3)- x2-+-4x-+-3- y = 2 + (8x + 6)2 + 4x + 3 = (4x + 3)2 = 32 ⋅ (4x + 3 )2

[ x2 +-4x +-3- x = − 1 32 ⋅ (4x + 3)2 = 0 ⇔ x = − 3

Производная не существует при $x ≥ − 0,75$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $[− 2;− 0,75)$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 2;− 0,75 )$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в $x = − 1$ .

y(− 1) = − 2 − ---9---+ 5ln(4 − 3) = 2,5. − 8 + 6

Итого: $2,5$ – наименьшее значение функции $y$ на промежутке $[− 2;− 0,75)$ .

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2103Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

√ -- √ -- y = 6 cosx + 3 3x − π 3 + ln e

на промежутке $[ π ] 0;-- 2$ .

Показать ответ и решение

Изобразим схематично график функции, для этого найдем промежутки возрастания и убывания функции на отрезке $[ ] 0; π- 2$ . Также заметим, что $lne = log e = 1 e$ .
Найдем производную: $√ -- y′ = − 6 sin x + 3 3$ . Значит:

√ -- 3 π 2π y′ = 0 ⇒ sin x = ---- ⇒ x = --+ 2πn или x = ---+ 2πn,n ∈ ℤ 2 3 3

Найдем знаки производной на промежутке $[ ] 0; π- 2$ :

$PIC$

Таким образом, схематично функция $y$ выглядит на промежутке $[ ] π- 0;2$ так:

$PIC$

То есть функция возрастает от $x = 0$ до $π- x = 3$ и убывает от $π- x = 3$ до $π- x = 2$ . Следовательно, свое наибольшее значение на этом промежутке она принимает в точке $x = π- 3$ :

( π) y -- = 4. 3

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2754Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 3x3e3x + 2x2e2x + xex$ на отрезке $[0;2]$ .

Показать ответ и решение

Первый способ

$y′ = 9x2e3x + 9x3e3x + 4xe2x + 4x2e2x + ex + xex$

Так как при любом $x ∈ [0;2]$ верно: $ex > 0$ , $e2x > 0$ , $e3x > 0$ , $x ≥ 0$ , $x2 ≥ 0$ , $x3 ≥ 0$ , то на $[0;2]$ $′ y > 0$ , следовательно на отрезке $[0;2]$ функция $y$ возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при $x = 0$ :

y(0) = 0.

Второй способ

При любом $a > 0$ функция $xa$ возрастает на $[0;2]$ ; 2) при любом $b > 0$ функция $ebx$ возрастает на $[0;2]$ ; 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на $[0;2 ]$ , следовательно, наименьшее на $[0;2]$ значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно $y(0) = 0$ .

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно $t(x ) = x ⋅ ex$ : $y (t(x)) = 3t3 + 2t2 + t$ . Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции:

y′ = (3t3 + 2t2 + t)′ x ⋅ t′ = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ (x ⋅ ex + ex) = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ ex(x + 1 ) t=x⋅e x t=x⋅e t=x ⋅e

Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо $x + 1 = 0$ , либо $2 (9t + 4t + 1 )t=x⋅ex = 0$ (т.к. $x e > 0$ при всех $x$ ). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант $D < 0$ . Следовательно, имеем

x + 1 = 0 ⇔ x = − 1.

Найдем знаки производной на отрезке $[0;2 ]$ :

$PIC$

Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ функция $y (x )$ возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда

yнаим.(x) = y(0) = 0.

Ответ: 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#11720Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

2 −4−x y = (x + 4)e

на отрезке $[− 5;− 3].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки заданной функции, для этого вычислим её производную:

′ −4− x 2 −4−x − 4− x y = 2(x + 4)⋅e + (x+ 4) ⋅(− e ) = e (x + 4)(− x− 2)

Далее найдем нули производной:

⌊ e−4−x = 0 || e−4−x(x+ 4)(− x − 2) = 0 ⇒ |⌈ x+ 4 = 0 − x − 2 = 0

Так как $e−4−x > 0$ при любом вещественном $x,$ то критическими являются точки

x = − 2 и x = − 4

Но точка $x = − 2$ не входит в отрезок $[− 5;− 3]$ . Тогда для того, чтобы определить наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно сравнить значения функции в критической точке и на концах отрезка:

y(− 5) = (− 5 + 4)2e−4+5 > 0

y(− 3) = (− 3 + 4)2e−4+3 > 0

y(− 4) = (− 4 + 4)2e−4+4 = 0

Значит, наименьшее значение функции на отрезке равно $y(− 4) = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#23594Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = (x+ 1)cosx − sinx$ на отрезке $[− 1;π].$

Показать ответ и решение

Найдем производную заданной функции:

f ′(x) = ((x+ 1)cosx − sinx)′ = ((x + 1)cosx)′ − (sin x)′ = − (x+ 1)sinx +cosx − cosx = − (x + 1)sin x

Легко видеть, что на отрезке $[− 1;π]$ первый множитель зануляется при $x = − 1$ , а второй — при $x = 0$ и $x = π$ .

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Есть одна критическая точка, отличная от концов отрезка $[− 1;π]$ . Следовательно, в ней знак производной будет меняться.

$PIC$

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежутке $(− 1;0)$ производная функции $f (x)$ положительна, то есть исходная функция будет возрастать. На промежутке $(0;π)$ производная отрицательна, то есть исходная функция будет убывать.

$PIC$

По эскизу видно, что наибольшее значение на отрезке $[− 1;π]$ функция $f(x)$ принимает в точке $x = 0$ . Тогда

f(0) = (0 +1)cos0 − sin0 = 1⋅1− 0 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38835Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 8cosx− 17x + 6$ на отрезке $[ ] − 3π;0 . 2$

Показать ответ и решение

Возьмем производную от данной функции:

′ ′ ′ ′ y = (8cosx)+ (−17x)+ (6)= − 8sinx − 17

Заметим, что

− 8≤ −8sinx≤ 8

Тогда оценим производную:

′ y = −8sin x− 17≤ 8− 17= −9 < 0

Следовательно, $y = 8 cosx − 17x+ 6$ — убывающая функция. Тогда наименьшее значение на отрезке $[ ] − 32π;0$ она принимает в точке $x= 0 :$

ymin = y(0)= 8⋅1+ 6= 14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#39635Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

3 f(x)= x + 4x+ sinπx

на отрезке $[ ] − 1; 1 . 2 2$

Показать ответ и решение

Найдем производную:

′ 2 y = 3x + 4+ πcosπx

На отрезке $[ ] − 1; 1 cosπx 2 2$ неотрицателен, значит, $y′ > 0.$ Следовательно, функция всюду возрастает. Значит, наименьшее значение функция принимает в точке $1 x = −2 :$

( ) y − 1 = − 1− 2+ sin(− π) = −3,125 2 8 2

Ответ: -3,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#57987Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 4sinx − 6x+ 7$ на отрезке $[ ] − 3π;0 . 2$

Показать ответ и решение

Найдем производную данной функции:

′ ′ f (x) =(4sin x− 6x+ 7)= 4 cosx − 6

Мы знаем, что $− 1 ≤ cosx ≤ 1,$ значит, $4cosx≤ 4,$ то есть $f′(x)= 4cosx − 6< 0$ при любом $x.$

Таким образом, $f(x)$ — строго убывающая функция, следовательно, ее наименьшее значение на отрезке $[ ] − 3π;0 2$ достигается при $x = 0:$

f(0)= 4sin 0− 6⋅0+ 7= 7

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#83755Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 7x− 7ln(x+ 6)+ 6$ на отрезке $[−5,5;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −6.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -7--- y= 7 − x+ 6

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 6 =1 ⇔ x= −5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 5,5;− 5)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (−5;0]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = −5:$

y(−5)= −35 − 7 ln(−5+ 6)+ 6= −29

Ответ: -29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#89273Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 32x − 32 tgx − 14$ на отрезке $[ ] 0; π . 4$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ⁄= π-+πn,n ∈ ℤ 2$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ --1-- 32(cos2x-− 1) −32sin2x- 2 y = 32− 32⋅cos2x = cos2x = cos2x = −32tg x ≤0

Нули производной

y′ = 0 ⇔ tgx =0 ⇔ x= πn,n∈ ℤ

$PICT$

Следовательно, на отрезке $[ ] 0; π 4$ наибольшее значение достигается в точке $x = 0:$

y(0)= 32⋅0 − 32 ⋅tg0 − 14 =− 14

Ответ: -14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#779Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $√ -- y = ---2--⋅ x +-1- π-+ 1 sin x 4$ на полуинтервале $( ] 0; π 4$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ – выполнено на $( π ] 0;-- 4$ . Решим на ОДЗ:

√2- (x + 1)′ ⋅ sinx − (sinx )′ ⋅ (x + 1) √2-- sin x − (x + 1)cos x y′ = π----- ⋅----------------2---------------= π-----⋅ ---------2---------. -- + 1 sin x --+ 1 sin x 4 4

√ -- ---2-- sin-x −-(x-+-1-)cosx- π- ⋅ sin2x = 0 ⇔ sin x − (x + 1 )cosx = 0 4 + 1

– на $( π ] 0;-- 4$ . При этом на $( π ] 0;-- 4$ имеем: $x + 1 ≥ 1$ , $cos x > 0$ , тогда $(x + 1)cos x ≥ cos x$ , но на $( π] 0;-- 4$ выполнено $sinx ≤ cosx$ , причём равенство $sin x = cos x$ достигается только при $π x = -- 4$ , следовательно, у уравнения

sin x − (x + 1 )cosx = 0

решением может быть только $π x = -- 4$ , но и оно не подходит, то есть производная исходной функции не обращается в $0$ на рассматриваемом полуинтервале. При этом на $( π] 0; -- 4$ производная $y ′$ всюду существует, тогда эта производная всюду на $( π ] 0;-- 4$ имеет один и тот же знак.

Так как