Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2742

Найдите наименьшее значение функции $y = 2x2 + 2x + 11$ на отрезке $[− 4;0]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = 4x + 2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

4x + 2 = 0 ⇔ x = − 0,5.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 4;0]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 4;0]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшего на $[− 4;0]$ значения функция достигает в $x = − 0,5$ .

y(− 0,5 ) = 2 ⋅ 0,25 − 1 + 11 = 10,5.

Итого: $10,5$ – наименьшее значение функции $y$ на $[− 4;0]$ .

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17167

Найдите наименьшее значение функции $3 y = 13+ 75x − x$ на отрезке $[−5;5].$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции.

1.

Найдем производную:

y′ = 75− 3x2

2.

Найдем нули производной:

75− 3x2 = 0 ⇒ x= ±5

3.

Найдем знаки производной в получившихся промежутках и изобразим схематично график функции:

$PIC$

Таким образом, на отрезке $[−5;5]$ функция $y$ возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в точке $x = −5 :$

y(−5)= 13− 5⋅75+ 53 = −237

Ответ: -237

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32289

Найдите наименьшее значение функции $y = x1,5− 3x +1$ на отрезке $[1;9]$ .

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x≥ 0$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 3√ - y= 2 x− 3

Найдем нули производной:

√- y′ = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[1;9]$ попадает нуль производной $x= 4$ . При $x ∈[1;4)$ производная отрицательна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x= 1$ ), то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈(4;9]$ производная положительна (подставляем $x= 9$ ), то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ функция имеет точку минимума $x =4$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

3 y(4)= 42 − 3⋅4+ 1= −3.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32290

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− 27x$ на отрезке $[0;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 3x − 27

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0;4]$ попадает нуль производной $x =3$ .

$PICT$

При $x∈ [0;3)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (3;4]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[0;4]$ функция имеет точку минимума $x =3$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(3)= 33 − 27⋅3= −54.

Ответ: -54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32291

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− 3x2+ 2$ на отрезке $[1;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 3x − 6x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(x − 2)= 0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[1;4]$ попадает нуль производной $x =2$ .

$PICT$

При $x∈ [1;2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (2;4]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;4]$ функция имеет точку минимума $x =2$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(2)= 23− 3⋅22+ 2= −2.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32292

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 +2x2+ x+ 3$ на отрезке $[−4;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x +4x+ 1

Найдем нули производной:

′ 2 1 y = 0 ⇒ 3x + 4x+ 1= 0 ⇔ x =− 1;− 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 4;−1]$ попадает нуль производной $x =− 1$ .

$PICT$

При $x∈ [− 4;− 1]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[−4;−1]$ наибольшее значение достигается в точке $x= −1$ , и оно равно

y(−1)= −1+ 2− 1+3 =3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32293

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− 2x2+ x+ 3$ на отрезке $[1;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 4x+ 1

Найдем нули производной:

′ 2 1 y= 0 ⇒ 3x − 4x+ 1= 0 ⇔ x = 1;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[1;4]$ попадает нуль производной $x =1$ .

$PICT$

При $x∈ [1;4]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;4]$ наименьшее значение достигается в точке $x= 1$ , и оно равно

y(1)= 1− 2+1+ 3= 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32294

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− x2− 40x+ 3$ на отрезке $[0;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 3 y =3x − 2x− 40

Найдем нули производной:

′ 3 10 y = 0 ⇒ 3x − 2x− 40 =0 ⇔ x= − 3 ;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0;4]$ попадает нуль производной $x =4$ .

$PICT$

При $x∈ [0;4]$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. Следовательно, на отрезке $[0;4]$ наименьшее значение доистигается в точке $x= 4$ , и оно равно

y(4)= 43− 42 − 40⋅4+ 3= −109.

Ответ: -109

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32295

Найдите наименьшее значение функции $y = 7+ 12x− x3$ на отрезке $[− 2;2].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 12− 3x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 4 ⇔ x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 2;2]$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[−2;2]$ наименьшее значение доистигается в точке $x= −2$ , и оно равно

y(−2)= 7− 24+ 8= −9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32296

Найдите наибольшее значение функции $y =7 + 12x − x3$ на отрезке $[−2;2].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 12− 3x2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 4 ⇔ x = ±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 2;2]$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[− 2;2]$ наибольшее значение достигается в точке $x = 2$ , и оно равно

y(2)= 7+ 24− 8= 23.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32297

Найдите наименьшее значение функции $y = 9x2 − x3$ на отрезке $[−1;5].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(6 − x)= 0 ⇔ x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[−1;5]$ попадает нуль производной $x =0$ .

$PICT$

При $x∈ [− 1;0)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (0;5]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[−1;5]$ функция имеет точку минимума $x =0$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(0)=0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32298

Найдите наибольшее значение функции $y = 9x2− x3$ на отрезке $[2;10].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 18x − 3x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(6 − x)= 0 ⇔ x= 0;6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[2;10]$ попадает нуль производной $x= 6$ .

$PICT$

При $x∈ [2;6)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x∈ (6;10]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[2;10]$ функция имеет точку максимума $x = 6$ , в которой и достигается наибольшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(6)= 9⋅62− 63 =108.

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32299

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− 9x− 7 3$ на отрезке $[−3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = x − 9

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 3;3]$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. Следовательно, на отрезке $[−3;3]$ наименьшее значение доистигается в точке $x= 3$ , и оно равно

33 y(3)= 3-− 9⋅3 − 7 =− 25.

Ответ: -25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32300

Найдите наибольшее значение функции $y = x3− 9x− 7 3$ на отрезке $[− 3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = x2− 9

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 9 ⇔ x = ±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;3)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. Следовательно, на отрезке $[− 3;3]$ наибольшее значение доистигается в точке $x = −3$ , и оно равно

3 y(− 3) = −3-+ 9⋅3 − 7 = 11. 3

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32301

Найдите наименьшее значение функции $y = 5+ 9x − x3 3$ на отрезке $[−3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 9− x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 3;3]$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[−3;3]$ наименьшее значение доистигается в точке $x= −3$ , и оно равно

33 y(−3)= 5− 9⋅3+ 3-= −13.

Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32302

Найдите наибольшее значение функции $y = 5+9x− x3 3$ на отрезке $[−3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 9− x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 3;3]$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[−3;3]$ наибольшее значение доистигается в точке $x= 3$ , и оно равно

33 y(3)= 5+ 9⋅3− 3-= 23.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32303

Найдите наименьшее значение функции $y = x32 − 3x+ 1$ на отрезке $[1;9].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 3 1 y= 2x 2 − 3

Найдем нули производной:

√- y′ = 0 ⇒ x = 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x ∈[1;4)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (4;9]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наименьшее значение достигается в точке $x= 4$ , и оно равно

y(4)= 432 − 3⋅4+ 1= −3.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32304

Найдите наименьшее значение функции $y = 2x32 − 3x+ 1 3$ на отрезке $[1;9].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 y = x2 − 3

Найдем нули производной:

′ √- y = 0 ⇒ x = 3 ⇔ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;9]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наименьшее значение достигается в точке $x= 9$ , и оно равно

2 3 y(9)= 3 ⋅92 − 3⋅9+ 1= −8.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32306

Найдите наименьшее значение функции $y = 2x32 − 3x+ 1 3$ на отрезке $[1;9].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 y = x2 − 3

Найдем нули производной:

′ √- y = 0 ⇒ x = 3 ⇔ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;9]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наименьшее значение достигается в точке $x= 9$ , и оно равно

2 3 y(9)= 3 ⋅92 − 3⋅9+ 1= −8.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32307

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 3x+ 4$ на отрезке $[− 2;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 3

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 1 ⇔ x =±1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 2;0]$ попадает нуль производной $x =− 1$ .

$PICT$

При $x∈ [− 2;−1)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−1;0]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−2;0]$ функция имеет точку максимума $x= −1$ , в которой и достигается наибольшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(−1)= −13+ 3+4 =6.

Ответ: 6

12.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций