Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций

Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#137841Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 7+ 12x − 4x√x-$ на отрезке $[0;12].$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥ 0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ ( 32)′ 12 y = 7+ 12x − 4x = 12 − 6x

Найдем нули производной:

√- y′ = 0 ⇒ 6 x= 12 ⇔ x = 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [0;4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (4;12]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x= 4$ , и оно равно

√ - y(4)= 7+ 12⋅4− 4⋅4 ⋅ 4= 23

Ответ: 23

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#137842Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x√x − 9x + 25$ на отрезке $[1;50].$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

′ ( 32 )′ 3 12 y = x − 9x+ 25 = 2x − 9

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 3√x − 9= 0 ⇔ x = 36 2

$PICT$

При $x∈ [1;36)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (36;50]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = 36$ , и оно равно

y(36)= 36⋅6− 9⋅36+ 25= −83

Ответ: -83

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#137843Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x√x − 6x + 3$ на отрезке $[0;40].$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

′ ( 32 )′ 3 12 y = x − 6x+ 3 = 2x − 6

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 3√x − 6= 0 ⇔ x = 16 2

$PICT$

При $x∈ [0;16)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x ∈(16;40]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x= 16$ , и оно равно

y(16)= 16⋅4− 6⋅16+ 3 =− 29

Ответ: -29