Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.06 Поиск точек экстремума у смешанных функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32453Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

5 y = ln(x+5) − 5x

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −5$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 5(x +5)4 5 y = (x+-5)5-− 5= x+-5 − 5

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x+ 5= 1 ⇔ x =−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−5;− 4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈ (−4;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −4$ является точкой максимума.

Ответ: -4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32454Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

y = 8ln(x+ 7)− 8x+ 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −7$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 8 y = x+-7 − 8

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x+ 7= 1 ⇔ x =−6

$PICT$

При $x∈ (−7;− 6)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈ (−6;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −6$ является точкой максимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32455Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

2 y =2x − 13x +9lnx+ 8

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 9 4x2 − 13x+ 9 y = 4x− 13+ x =----x-----

Найдем нули производной:

9 y′ = 0 ⇒ 4x2− 13x +9 =0 ⇔ x= 1;4

$PICT$

При $x∈ (0;1)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x ∈(1;9) 4$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(9;+∞ ) 4$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =1$ является точкой максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#32456Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $2 y = ln(x+ 4) +2x +7.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ⁄= −4$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2(x+-4) -2--- y = (x +4)2 + 2 = x+ 4 + 2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 4= −1 ⇔ x = −5

$PICT$

При $x∈ (−∞; −5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈ (− 5;− 4)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = −5$ является точкой максимума.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32457Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

3 y =2ln(x +4) − 8x− 19

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −4$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 6(x +4)2 6 y = (x+-4)3-− 8= x+-4 − 8

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x +4 =0,75 ⇔ x =−3,25

$PICT$

При $x∈ (−4;− 3,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−3,25;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −3,25$ является точкой максимума.

Ответ: -3,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32458Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $2 y = 0,5x − 7x+ 12ln x+ 8.$

Показать ответ и решение

12 x2− 7x+ 12 y′ = x− 7+-x = ----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 − 7x +12 = 0 ⇔ x= 3;4

$PICT$

При $x∈ (0;3)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(3;4)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x ∈(4;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#32459Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $2 y =2x − 25x+ 39lnx− 54.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

39 4x2− 25x+ 39 y′ = 4x− 25+-x = -----x------

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 25x + 39 = 0 ⇔ x= 3; 13 4

$PICT$

При $x∈ (0;3)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. При $( 13) x∈ 3;4$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $(13 ) x∈ 4-;+ ∞$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#793Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $1 5 y = --⋅ ln(x2 + 10) +-------- 2 x2 + 10$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

′ 1- ---2x--- ---10x---- ----x3---- y = 2 ⋅x2 + 10 − (x2 + 10 )2 = (x2 + 10)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

3 ----x-----= 0 ⇔ x = 0. (x2 + 10)2

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#794Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

y = x⋅ x-+x-2+-1x e e

на промежутке $[0;2].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную функции:

x x y′ = x+ex2+ x ⋅ e-−-ee(2xx+-2)− e1x = x + 2 1 − (x+ 2) 1 1− x2 = --ex--+ x⋅----ex----− ex = -ex--

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует:

[ 1 − x2 x= − 1 --ex- = 0 ⇔ x= 1

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $[0;2]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на промежутке $[0;2]:$

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ — точка максимума функции $y$ на промежутке $[0;2].$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#795Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $3 y = 4x--+-5-+ 10x ⋅ x +-1- e2x e2x$ на промежутке $[− 10;3]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

12x2 ⋅ e2x − 2e2x ⋅ (4x3 + 5 ) x + 1 e2x − 2e2x(x + 1) y′ =-------------4x------------+ 10 ⋅ --2x-+ 10x ⋅--------4x-------= 2 e e e = − 8x-(x-+-1)- e2x

[ x2(x + 1) x = − 1 − 8----2x----= 0 ⇔ e x = 0

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом промежутке $[− 10;3]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 10; 3]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка максимума функции $y$ на $[− 10; 3]$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#1647Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции

$xe−-0,5x y = x + 1$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

( ) ′ x − 0,5x ′ 1 −0,5x −0,5x x e−0,5x 2 y = ------⋅ e = -------2e − 0,5e ------= -------2(− 0,5x − 0,5x + 1). x + 1 (x + 1) x + 1 (x + 1)

e−0,5x 2 2 -------2(− 0,5x − 0,5x + 1) = 0 ⇔ − 0,5x − 0,5x + 1 = 0 (x + 1)

– на ОДЗ (так как $et > 0$ при любом $t$ ), откуда находим корни $x1 = − 2, x2 = 1$ . Производная функции $y$ не определена при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: -2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#1648Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции

$x -6e-- x 6 y = e + 1 − ln((e + 1) )$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $ex + 1 > 0$ – верно при любом $x$ . Решим на ОДЗ:

Заметим, что

-6--- e + 1

– просто число, тогда:

( ) ′ x x ( ) y ′ = --6--ex − ln((ex + 1 )6) = -6e--− 6--e--- = 6ex -1---− --1--- . e + 1 e + 1 ex + 1 e + 1 ex + 1

( ) x 1 1 1 1 6e ----- − -x---- = 0 ⇔ ----- − -x---- = 0 e + 1 e + 1 e + 1 e + 1

(так как $x e > 0$ при любом $x$ ), что равносильно $----ex-−-e----- (e + 1 )(ex + 1) = 0$ , откуда находим $x = 1$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#1649Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции

$y = (0,5x2 − 3x) ln x − 0,25x2 + 3x + 2,718281828$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ . Решим на ОДЗ:

Заметим, что $2,718281828$ – просто число, тогда:

′ y = (x − 3)lnx + (0,5x − 3 ) − 0,5x + 3 = (x − 3)lnx.

(x − 3) ln x = 0,

откуда находим корни $x1 = 1, x2 = 3$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 3$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#1650Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции

√- y = x x − 1,5lnx+ 2

Показать ответ и решение

ОДЗ функции $x > 0.$ Найдем производную функции и исследуем ее, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.

′ ( 3 3 )′ 3 1 3 1 3 x√x − 1 y = x2 − 2 ln x+ 2 = 2x2 − 2 ⋅x = 2 ⋅--x---

Найдем критические точки, то есть внутренние точки области определения, где производная равна нулю или не существует:

′ 3 x√x-− 1 √ - y = 0 ⇒ 2 ⋅ x = 0 ⇒ x x− 1= 0 ⇒ x =1

Следовательно, при $x> 0$ производная равна нулю в точке $x =1$ , следовательно, $x= 1$ разбивает область определения производной на промежутки, на каждом из которых она принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, при $0< x< 1$ производная отрицательна, значит, функция $y = y(x)$ убывает; при $x> 1$ производная положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, $x= 1$ — точка минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#18618Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = (3− 2x)cosx+ 2sinx+ 10,$ принадлежащую промежутку $( π) 0;2 .$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки данной функции

f(x)= (3− 2x)cosx +2sinx+ 10

Для этого посчитаем ее производную:

$pict$

Теперь посчитаем нули производной:

$pict$

Посмотрим теперь, какие из этих точек лежат в промежутке $(0; π2).$

$pict$

Получили, что внутри данного промежутка лежит только точка $3 x= 2.$ Проверим теперь, является ли она точкой минимума. Для начала заметим, что $sinx >0$ в промежутке $( ) 0; π2 .$

При $( ) x∈ 0; 32$ имеем:

f′(x)= (2x− 3)sinx <0

При $(3 π) x∈ 2;2$ имеем:

′ f(x)= (2x− 3)sinx >0

Тогда в точке $3 x= 2$ производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при переходе слева направо, то есть $x =1,5$ является точкой минимума.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#20719Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = (3 − 2x)cosx+ 2sin x+ 4,$ принадлежащую промежутку $( ) 0; π . 2$

Показать ответ и решение

Найдём производную функции $y :$

′ y = −3 sinx− 2cosx+ 2xsin x+ 2cosx= (2x− 3)sinx

При $( ) x∈ 0; π 2$ имеем $sinx > 0,$ тогда производная имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Получим, что $x= 1,5$ — единственная точка минимума на промежутке $( π ) 0;-2 .$

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#20866Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $f(x)= 3ln(2x +11)− 5x.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ функции $f(x):$

2x+ 11> 0 x> − 11 2 x> −5,5

Значит, функция определена на промежутке $(−5,5;+∞ ).$

Найдем критические точки заданной функции, для этого вычислим ее производную:

f′(x)= (3ln(2x+ 11)− 5x)′ = 3(ln(2x+ 11))′− 5= 1 6 =3 ⋅2x+-11 ⋅2− 5 = 2x+-11 − 5

Далее найдем нули производной:

f′(x)= 0 6 2x+-11 − 5 = 0 2x6+-11 = 5 { 6= 10x+ 55 2x+ 11⁄= 0 { x = −4,9 x ⁄= −5,5 x= −4,9

Так как производная непрерывна, то $(−5,5;− 4,9)$ и $(−4,9;+ ∞ )$ — промежутки знакопостоянства производной.

Тогда при $x∈ (−5,5;−4,9)$ производная $f′(x)> 0,$ а при $x ∈(−4,9;+ ∞ )$ производная $f′(x)< 0.$

Значит, на промежутке $(− 5,5;−4,9)$ функция возрастает, а на промежутке $(− 4,9;+∞ )$ — убывает. Следовательно, $x = −4,9$ — точка максимума.

Ответ: -4,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#58802Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y =2x2 − 13x+ 9lnx +8.$

Показать ответ и решение

По определению выражение, стоящее под знаком логарифма, больше 0, то есть $x > 0.$

Найдем производную исходной функции:

′ 9 y =4x − 13 + x

Найдем нули производной:

4x− 13+ 9 = 0 x 4x2−-13x+-9 =0 x {4x2− 13x+ 9= 0 x⁄= 0

Решим квадратное уравнение:

2 D = 13 − 4⋅4⋅9= 25 x= 13-±5 8 [x = 1 x = 2,25

Так как производная непрерывна, то $(0; 1),$ $(1; 2,25)$ и $(2,25; +∞ )$ — промежутки знакопостоянства производной.

Найдем знак производной на каждом из этих промежутков:

′ 4(x−-1)(x−-2,25)- y = x

$PICT$

Тогда при $x∈ (0; 1)$ и $x∈ (2,25; +∞ )$ производная положительна, а при $x ∈(1; 2,25)$ производная отрицательна. Значит, на промежутках $(0; 1)$ и $(2,25; + ∞ )$ функция возрастает, а на промежутке $(1; 2,25)$ — убывает. Следовательно, $x = 1$ — точка максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#74180Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 2ln(x+ 11)9 − 6x − 156.$

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ функции $y :$

(x + 11)9 > 0,

x> −11.

Поскольку $9$ — нечетная степень, её можно без потерь в области допустимых значений вынести в качестве множителя перед логарифмом:

y = 18ln(x + 11)− 6x− 156.

Найдём производную функции $y′ :$

y′ =--18--− 6 − 0 =-18--− 6. x+ 11 x+ 11

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки:

--18- x +11 − 6= 0,

--3--= 1, x+ 11

x+ 11= 3,

x =− 8.

Найдена единственная точка экстремума функции, следовательно, она и является точкой максимума. Рекомендую убедиться в этом, проведя исследование поведения функции в зависимости от знака производной.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#76268Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 1x2+ 10lnx− 7x+ 3. 2$

Показать ответ и решение

Функция $y$ определена при $x> 0.$ Найдем производную:

y′ = x+ 10 − 7= (x−-2)(x-− 5) x x

Производная определена при $x >0.$ Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;2)$ производная положительна, следовательно, функция $y$ возрастает. При $x∈ (2;5)$ производная отрицательна, следовательно, $y$ убывает. При $x ∈(5;+∞ )$ производная положительна, следовательно, $y$ возрастает. Отсюда следует, что $x = 5$ является точкой минимума функции на области определения $x> 0.$

Ответ: 5