Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.02 Поиск точек экстремума у сложных функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#137860Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 5x− ln(x+ 3)5+ 6.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −3$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 5(x+ 3)4 5 y = 5− -(x-+3)5-= 5− x+-3-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 3 =1 ⇔ x= −2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (− 2;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= − 2$ является точкой минимума.

Ответ: -2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#137861Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = ln(x+ 3)7 − 7x − 9.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −3.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 7(x+ 3)6 7 y = -(x-+3)7-− 7= x+-3-− 7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 3 =1 ⇔ x= −2

$PICT$

При $x∈ (−3;−2)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (−2;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= − 2$ является точкой максимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#881Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции $y = cos(arcsin(x ))$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ∈ [− 1;1]$ .

′ ---1---- ---x---- y = − sin (arcsin x) ⋅ √1-−-x2-= − √1-−--x2-

– на ОДЗ.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− √--x----= 0 ⇔ x = 0. 1 − x2

Производная не существует при $x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [1;+ ∞ )$ , но эти точки не являются внутренними для области определения.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#887Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции $y = sin(cos πx)$ , лежащую на отрезке $[− 2,5;− 1,8]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

y′ = cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx )

⌊ πx = πn, n ∈ ℤ cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx ) = 0 ⇔ ⌈ π- cosπx = 2 + πk, k ∈ ℤ

Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких $k ∈ ℤ$ , следовательно, производная равна $0$ только при $x = n, n ∈ ℤ$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y ′$ (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на $[− 2,5;− 1,8]$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ на $[− 2,5;− 1,8]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального максимума функции $y$ на отрезке $[− 2,5;− 1,8]$ .

Ответ: -2