Поиск точек экстремума у сложных функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#316

Найдите точку минимума функции $y = √x2−-12x+-40.$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2− 12x +40 ≥ 0.$

1) Найдем производную:

2x − 12 x− 6 y′ =-√-2--------- = √-2---------- 2 x − 12x+ 40 x − 12x+ 40

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

----x-− 6---- √x2-−-12x-+-40-= 0

Отсюда на ОДЗ получаем

x− 6 =0 ⇔ x= 6

Далее имеем:

x2− 12x +40 = x2− 12x +36 +4 = 2 = (x − 6) + 4> 0

Тогда производная функции $y$ определена при любом $x.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = 6$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#317

Найдите точку максимума функции $y = √−x2-+2-− 6x.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $− x2+ 2− 6x≥ 0,$ что равносильно $x2 +6x − 2 ≤ 0,$ откуда находим $− 3 − √11-≤ x≤ − 3+ √11.$

1) Найдем производную:

−2x− 6 x +3 y′ = √---2--------= −√---2-------- 2 −x + 2− 6x −x + 2− 6x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

′ ----x+-3---- y = 0 ⇔ − √−-x2+-2−-6x-= 0 ⇔ x +3 = 0

— на ОДЗ, откуда находим $x = −3.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = −3$ — точка максимума функции $y.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1271

Найдите точку максимума функции

√ ---------------- y = − 79 − 18x − x2

Показать ответ и решение

1 способ.

Заметим, что

x2 + 18x + 79 = x2 + 18x + 81 − 2 = (x + 9 )2 − 2

Следовательно, $∘ -------------- y = − (x + 9)2 + 2$ . Так как $(x + 9)2 ≥ 0$ , то $− (x + 9)2 + 2 ≤ 2$ .
Заметим, что при $x < − 9$ функция $y(x )$ является возрастающей, так как при увеличении $x$ значение $y(x )$ также растет. А при $x > − 9$ функция является убывающей. Следовательно, $x = − 9$ – точка максимума.

2 способ.

Найдем производную функции.

√ ---------------- 1 y′ = ( − 79 − 18x − x2)′ ⋅ (− 79 − 18x − x2)′ =-√----------------⋅ (− 2x − 18) 2 − 79 − 18x − x2

Найдем нули производной:

y ′ = 0 ⇒ x = − 9

Заметим, что $x = − 9$ подходит по ОДЗ ( $− 79 − 18x − x2 ≥ 0$ ). Найдем знаки производной справа и слева от точки $x = − 9$ :
$PIC$
Таким образом, по определению точка $x = − 9$ является точкой максимума.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2071

Найдите точку максимума функции $2 y = e−x +2x$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y ′ = e−x2+2x ⋅ (− 2x + 2) = − 2 (x − 1)e −x2+2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 − 2(x − 1)e−x +2x = 0 ⇔ x = 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2743

Найдите точку минимума функции $2 y = ex+1$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = ex2+1 ⋅ 2x = 2xex2+1

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2+1 2xe = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#318

Найдите точку локального максимума функции

$1 y = 1716x−3x3+12$ .

Показать ответ и решение

1)

1 y′ = ln 17 ⋅ (16 − x2)1716x− 3x3+12.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ 2 16x− 1x3+12 2 y = 0 ⇔ ln 17 ⋅ (16 − x )17 3 = 0 ⇔ 16 − x = 0

(так как $17t > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = ±4$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#319

Найдите точку максимума функции

$x2 -1- y = − e − ex2$ .

Показать ответ и решение

1)

y′ = (− ex2 − e−x2) = − 2xex2 + 2xe−x2 = − 2xe−x2(e2x2 − 1).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x2 2x2 x2 x2 − 2xe (e − 1 ) = 0 ⇔ − x(e + 1)(e − 1) = 0

(так как $et > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = 0$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1645

Найдите точку минимума функции $y = log (x2+16x +100). 7$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2+ 16x +100 >0.$

1) Найдем производную:

1 2x+ 16 y′ = ln-7 ⋅x2+-16x+-100

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

-1- ⋅---2x-+-16----= 0 ln7 x2+ 16x + 100

Отсюда на ОДЗ получаем

2x +16 = 0 ⇔ x= −8

Далее имеем:

2 2 x + 16x + 100 = x + 16x +64 +36 = = (x+ 8)2+36 > 0

Тогда производная определена для любого $x.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = −8$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1646

Найдите точку минимума функции

$y = ex2−2016x+2017$ .

Показать ответ и решение

1)

y ′ = ex2−2016x+2017 ⋅ (2x − 2016).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2−2016x+2017 e ⋅ (2x − 2016 ) = 0 ⇔ 2x − 2016 = 0

(так как $t e > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = 1008$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1008$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: 1008

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2664

Найдите точку минимума функции $y = log (x2− 10x +201). 2016$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2− 10x +201 >0.$

1) Найдем производную:

1 2x − 10 y′ = ln2016 ⋅ x2− 10x-+201

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

--1---⋅---2x−-10---= 0 ln 2016 x2− 10x+ 201

Отсюда получаем $2x− 10= 0,$ то есть $x = 5.$

Далее имеем:

2 2 x − 10x+ 201= x − 10x+ 25+ 176= = (x − 5)2+ 176> 0

Тогда производная определена для любого $x.$

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y :$

$PIC$

3) Изобразим эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = 5$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21450

Найдите точку минимума функции $2x2−6x+4,5 f(x)= e .$

Показать ответ и решение

Найдем производную заданной функции:

′ ( 2x2−6x+4,5)′ f (x)= e = 2x2−6x+4,5 ( 2 )′ = e ⋅2x − 6x+ 4,5 = = e2x2−6x+4,5⋅(4x − 6)

Легко видеть, что первый множитель определен и не равен нулю при любом $x ∈ℝ.$ Второй множитель зануляется при $x= 1,5.$

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Критическая точка встречается ровно один раз, следовательно, в ней знак будет меняться.

$x1+−,5$

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежутке $(−∞; 1,5)$ производная функции $f(x)$ отрицательна, то есть исходная функция будет убывать. На промежутке $(1,5;+∞ )$ производная положительна, то есть исходная функция будет возрастать.

$x1+−,5$

По эскизу видно, что точка $x =1,5$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#37908

Найдите точку минимума функции $y = 8x2+4x+20.$

Показать ответ и решение

Функция $y =8x2+4x+20$ является композицией двух функций $f(x)= 8x$ и $g(x)= x2+ 4x+ 20= (x+ 2)2 +16,$ то есть $y = f(g(x)).$

Так как $f(x)$ — возрастающая функция, $g(x)$ убывает при $x < −2$ и возрастает при $x> − 2,$ то $y =f(g(x))$ убывает при $x < −2$ и возрастает при $x > −2$ (так как композиция возрастающих функций — возрастающая, а убывающей и возрастающей — убывающая).

Следовательно, $x =− 2$ — точка минимума функции $y =f (g(x)).$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#881

Найдите точку локального максимума функции $y = cos(arcsin(x ))$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ∈ [− 1;1]$ .

1)

′ ---1---- ---x---- y = − sin (arcsin x) ⋅ √1-−-x2-= − √1-−--x2-

– на ОДЗ.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− √--x----= 0 ⇔ x = 0. 1 − x2

Производная не существует при $x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [1;+ ∞ )$ , но эти точки не являются внутренними для области определения.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#887

Найдите точку локального максимума функции $y = sin(cos πx)$ , лежащую на отрезке $[− 2,5;− 1,8]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx )

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

⌊ πx = πn, n ∈ ℤ cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx ) = 0 ⇔ ⌈ π- cosπx = 2 + πk, k ∈ ℤ

Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких $k ∈ ℤ$ , следовательно, производная равна $0$ только при $x = n, n ∈ ℤ$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y ′$ (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):

$PIC$