12.01 Поиск точек экстремума у элементарных функций - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#1639Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции $1 y = -x3 − 8x2 + 55x + 11 3$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = x2 − 16x + 55$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

$2 x − 16x + 55 = 0$ , откуда находим корни $x1 = 5, x2 = 11$ . Таким образом,

′ y = (x − 5)(x − 11 ).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 5$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#1640Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции $y = x1,25 − 5x + 12$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = 1,25x0,25 − 5$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

1,25x0,25 − 5 = 0 ⇔ 1,25x0,25 = 5.

Возводя последнее уравнение в 4 степень, находим $x = 256$ . Проверкой убеждаемся, что $x = 256$ – корень уравнения $0,25 1,25x − 5 = 0$ .

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 256$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 256

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#1641Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции

$y = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x − 1$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 4x3 + 12x2 + 12x + 4 = 4(x3 + 3x2 + 3x + 1 ) = 4 (x + 1 )3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

3 3 4(x + 1) = 0 ⇔ (x + 1 ) = 0,

откуда находим $x = − 1$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#1650Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции

√- y = x x − 1,5lnx+ 2

Показать ответ и решение

ОДЗ функции $x > 0.$ Найдем производную функции и исследуем ее, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.

′ ( 3 3 )′ 3 1 3 1 3 x√x − 1 y = x2 − 2 ln x+ 2 = 2x2 − 2 ⋅x = 2 ⋅--x---

Найдем критические точки, то есть внутренние точки области определения, где производная равна нулю или не существует:

′ 3 x√x-− 1 √ - y = 0 ⇒ 2 ⋅ x = 0 ⇒ x x− 1= 0 ⇒ x =1

Следовательно, при $x> 0$ производная равна нулю в точке $x =1$ , следовательно, $x= 1$ разбивает область определения производной на промежутки, на каждом из которых она принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, при $0< x< 1$ производная отрицательна, значит, функция $y = y(x)$ убывает; при $x> 1$ производная положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, $x= 1$ — точка минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#2194Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции

$y = x3 − 15x2 + 48x + e$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 3x2 − 30x + 48 = 3(x2 − 10x + 16)$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 3 (x − 10x + 16) = 0 ⇔ x − 10x + 16 = 0,

откуда находим $x = 2, x = 8 1 2$ . Таким образом,

y′ = 3(x − 2)(x − 8).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 2$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#58788Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 24x2+11.$

Показать ответ и решение

Найдем производную функции:

′ ( 3 2 )′ 2 y= x − 24x + 11 = 3x − 48x

Нули производной:

′ 2y = 0 3x − 48x = 0 x(x− 16)= 0 [x= 0 x= 16

Нули производной разбивают область определения функции (она равна $ℝ$ ) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:

$PICT$

Следовательно, функция убывает на промежутке $(0;16)$ и возрастает на промежутке $(16;+∞ ).$ Тогда точка минимума функции равна $x = 16.$

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#72208Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 18x − 4x √x-+ 12.$

Показать ответ и решение

Представим $4x√x--$ как $4x1 ⋅x12 = 4x1,5$ по свойству степеней.

Вычислим производную функции $y′ :$

y′ = 18− 6x0,5 = 18− 6√x.

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки производной:

√-- 18− 6 x = 0,

√-- 18 = 6 x,

√-- 3 = x,

9 = x.

Получили единственную критическую точку производной $x = 9$ . Именно она и является точкой максимума функции, так как при $x < 9$ производная положительна, то есть функция растёт до точки $x = 9,$ а при $x > 9$ производная отрицательна, то есть функция убывает после точки $x = 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#74176Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x4 − 2x3− 3,5x2 +21 4$ на отрезке $[−0,5;13].$

Показать ответ и решение

Найдём производную функции $y′$ :

′ 4 3 2 3 2 y= 4 ⋅x − 3⋅2x − 2⋅3,5x +0 = x − 6x − 7x.

Приравняем производную $′ y$ к нулю и найдём критические точки:

x3− 6x2− 7x= 0,

x(x2 − 6x − 7)= 0.

По теореме Виета найдём нули квадратного трехчлена:

{ x1⋅x2 = −7, x1+ x2 = 6.

{ x1 = −1, x2 = 7.

Таким образом, имеем три критические точки:

$⌊ x1 = 0, |⌈x2 = −1, x3 = 7.$

Расположим точки на числовой прямой и найдём точки локальных минимума и максимума функции:

$PIC$

$x= 0$ — точка локального максимума функции на отрезке.

$x= 7$ — точка локального минимума функции на отрезке.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#74178Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 14 +15x − 4x√x.$

Показать ответ и решение

Запишем $4x√x$ как $4x32.$

Найдём производную функции $y′ :$

′ 3 √- √- y = 0+ 15 − 2 ⋅4 x = 15− 6 x.

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки:

√ - 15− 6 x= 0,

√ - x= 2,5,

x= 6,25.

Найдена единственная точка экстремума функции, следовательно, она и является точкой максимума. Рекомендую убедиться в этом, проведя исследование поведения функции в зависимости от знака производной.

Ответ: 6,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#83442Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3− 108x +11.$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 3x2− 108 = 3(x2− 36)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ( 2 ) 3 x − 36 = 0 x2− 62 = 0 (x+ 6)(x − 6)= 0 x = ±6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$x−6+−+6$

Следовательно, $x =− 6$ является точкой максимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#137826Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3− 27x +14.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 27

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 27= 0 2 x[− 9= 0 x= −3 x= 3

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x3−3$ $′ yyx3−+−+3$

5.

Видим, что $x = −3$ является точкой максимума, а $x= 3$ — точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#137827Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3− 108x +23.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 108

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 108 = 0 2 x[− 36= 0 x= −6 x= 6

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x6−6$ $′ yyx6−+−+6$

5.

Видим, что $x = −6$ является точкой максимума, а $x= 6$ — точкой минимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#137828Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3− 300x +5.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 300

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 300 = 0 2 x[− 100= 0 x = −10 x = 10

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x1−010$ $′ yyx1−+−+010$

5.

Видим, что $x = −10$ является точкой максимума, а $x= 10$ — точкой минимума.

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#137829Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 300x + 14.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 300

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 300 = 0 2 x[− 100= 0 x = −10 x = 10

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x1−010$ $′ yyx1−+−+010$

5.

Видим, что $x = −10$ является точкой максимума, а $x= 10$ — точкой минимума.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#137830Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 14x2+49x +3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 28x+ 49

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 28x + 49 = 0 2 D = (−28) − 4 ⋅3√⋅49= 784− 588 = 196 x= 28-±--196= 28-±14 2⋅⌊3 6 x =7 ⌈x = 7 3

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x77 3$ $7′ yyx73+−+$

5.

Видим, что $7 x = 3$ является точкой максимума, а $x =7$ — точкой минимума.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#137831Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 20x2+100x +23.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 40x + 100

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 40x+ 100= 0 2 D = (− 40) − 4⋅3⋅1√00-=1600− 1200= 400 x= 40-±--400= 40-±20 2⋅⌊3 6 x= 10 ⌈x= 10 3

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x1100 3$ $1′0 yyx1+−+03$

5.

Видим, что $10 x = 3-$ является точкой максимума, а $x= 10$ — точкой минимума.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#137832Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 18x2+81x +17.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2− 36x+ 81

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2− 36x + 81 = 0 2 D = (− 36) − 4⋅3⋅√81-=1296− 972= 324 x= 36-±--324= 36-±18 2⋅[3 6 x = 9 x = 3

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x93$ $′ yyx93+−+$

5.

Видим, что $x = 3$ является точкой максимума, а $x= 9$ — точкой минимума.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#137833Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3+14x2+ 49x+ 8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2+ 28x+ 49

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2+ 28x + 49 = 0 2 D = 28 − 4⋅3⋅4√9-=784− 588= 196 x= −-28-±--196= −-28±-14 2⌊⋅3 6 x = − 7 ⌈x = −37

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x−− 77 3$ $′7 yyx−−+−+73$

5.

Видим, что $x = −7$ является точкой максимума, а $x= − 7 3$ — точкой минимума.

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#137834Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3+10x2+ 25x+ 16.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2+ 20x+ 25

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2+ 20x + 25 = 0 2 D = 20 − 4⋅3⋅2√5-=400− 300= 100 x= −-20-±--100= −-20±-10 2⌊⋅3 6 x = − 5 ⌈x = −35

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x−− 55 3$ $′5 yyx−−+−+53$

5.

Видим, что $x = −5$ является точкой максимума, а $x= − 5 3$ — точкой минимума.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#137835Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3+16x2+ 64x+ 12.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

1.

Область определения функции $x ∈ℝ.$

2.

Найдем производную:

y′ = 3x2+ 32x+ 64

3.

Найдём критические точки.

Точки, в которых производная равна нулю:

3x2+ 32x + 64 = 0 2 D = 32 − 4⋅3⋅6√4=-1024− 768 = 256 x= −-32-±--256= −-32±-16 2⌊⋅3 6 x = − 8 ⌈x = −38

Точек, в которых производная не существует, нет.

4.

Рисуем координатную ось и отмечаем на ней область определения и критические точки. Затем расставляем знаки производной на трёх получившихся промежутках и отмечаем, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает:

$x−− 88 3$ $′8 yyx−−+−+83$

5.

Видим, что $x = −8$ является точкой максимума, а $x= − 8 3$ — точкой минимума.

Ответ: -8