Тема 13. Решение уравнений

13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#125844Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√ - √- √ - 2sin2x + 2sin(2π+ x)− 3sin2x= 6cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулами

$sin2α = 2sinα cosα,$
$sin(α+ 2π)= sin α.$

Тогда имеем:

√ - √- √ - 2sin2x + 2sin(2π+ x)− 3 sin2x= 6cosx 2 sin2x+ √2 sinx =√6-cosx+ 2√3sinxcosx √- √- √- sinx((2sinx√+- 2)=)(3 cosx(2s√in)x+ 2) sinx − 3cosx 2sin x+ 2 = 0

То есть выполнено одно из условий:

1.: $sinx − √3cosx= 0,$
2.: $√ - 2sinx + 2= 0.$

Решим оба случая. Первый:

sinx− √3-cosx= 0 √- sin x= 3√cosx tgx = 3

Данное преобразование возможно, так как, если $cosx= 0,$ то и $sin x= 0,$ а это противоречит ОТТ.

Тогда

x= π-+ πk, k ∈ ℤ. 3

Второй:

√- 2sin x+ 2√=0 sin x= − -2- ⌊ π 2 |x= − 4 + 2πk, k ∈ℤ ⌈ 3π x= − 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

Тогда

⌊ x= − π+ 2πk, k ∈ℤ || 43π ||x= − 4-+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π- x= 3 + πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[3π ] -2 ;3π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$377πππ 32π43$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π-;3π 2$ лежат точки $7π; 4$ $7π. 3$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $7π; 7π 4 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#125846Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) sin −2x+ π- − sin(4π − x)= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;− 2π .$

Источники: ЕГЭ 2025,основная волна 26.05, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле синуса двойного угла получаем:

( π-) 2 sin −2x+ 2 = cos2x= 1− 2sin x.

По формуле приведения:

sin(4π − x)= sin(−x)= − sinx.

Сделаем полученные замены:

1− 2sin2x − (− sinx) =0 1− 2sin2x+ sin x= 0 (1− sinx)(2sinx + 1) =0 [ 1− sinx = 0 2sinx + 1= 0 ⌊sinx = 1 ⌈ 1 sinx = −2 ⌊ π- |x= 2 + 2πk, k ∈ ℤ ||x= − π-+2πk, k ∈ℤ ||⌈ 6 x= − 5π+ 2πk, k ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π ] − 2 ;−2π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−− 2711ππ37ππ 266$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 7π; 2$ $− 17π; 6$ $− 13π-. 6$

Ответ:

a) $π+ 2πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 7π ; 2$ $− 17π; 6$ $− 13π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#112967Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√ - √- √ - 2sin2x + 2sin(2π+ x)− 3sin2x= 6cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулами

$sin2x = 2sinx cosx,$
$sin(α+ 2π)= sin α.$

Тогда имеем:

$pict$

То есть выполнено одно из условий:

1.: $√- sinx − 3cosx= 0,$
2.: $√ - 2sinx + 2= 0.$

Решим оба случая. Первый:

$pict$

Данное преобразование возможно, так как, если $cosx= 0,$ то и $sin x= 0,$ а это противоречит ОТТ.

Тогда

x= π-+ πk, k ∈ ℤ. 3

Второй:

$pict$

Тогда

⌊ π- |x= − 4 + 2πk, k ∈ℤ ||x= − 3π+ 2πk, k ∈ ℤ |⌈ π 4 x= 3-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π;3π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$33ππ 77ππ 2 43$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π- 2 ;3π$ лежат точки $7π 4 ;$ $7π 3 .$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 4$ $− 3π+ 2πk; 4$ $π+ πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $7π 7π 4 ; 3 .$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#112987Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- 3sin2x+ 3cos2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

$pict$

Получили элементарное тригонометрическое уравнение, его решение:

2π 2x= 3-+ πk, k ∈ ℤ π πk x= 3-+ -2 , k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π; 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$54ππ 117ππ- π23 63$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат точки $4π ; 3$ $11π; 6$ $7π-. 3$

Ответ:

а) $π+ πk-, 3 2$ $k ∈ ℤ$

б) $4π; 11π; 7π 3 6 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#127714Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) log3 x2− 2x = 1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log20,4;log25].$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

x2− 2x =31 2 x − 2x = 3 x2− 2x+ 1= 4 (x− 1)2 = 22 2 2 (x − 1) − 2 = 0 (x− 3)(x +1)= 0 x1 = − 1; x2 = 3

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $3> 0,$ то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Заметим, что

3 =log223 = log28 >log25.

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x = 3$ не попадает в отрезок $[log 0,4;log 5]. 2 2$

При этом для $x= −1$ имеем:

−1 = log22−1 = log2 1= log2 5-> log2 4-= log20,4, 2 10 10 −1= log 2−1 = log 1 < log 5. 2 22 2

Поэтому получаем, что корень $x = −1$ принадлежит отрезку $[log20,4;log25].$

Ответ:

a) $− 1; 3$

б) $− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#127771Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 6sin2x +5 sin π-− x − 2= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 5π;− 3,5π].$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения:

(π- ) sin 2 − x = cosx.

Из основного тригонометрического тождества:

sin2x =1 − cos2x.

С учетом этого имеем:

( 2 ) 6 1 − cos x + 5cosx− 2= 0 6− 6cos2x+ 5cosx− 2= 0 −6 cos2x+ 5cosx+ 4 =0

Сделаем замену $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

− 6t2+ 5t+ 4= 0

Найдем дискриминант:

D = 52− 4⋅(−6)⋅4= 25+ 96= 121= 112.

Тогда корни квадратного уравнения равны

t1 = −5-+11-= − 1 и t2 = −5-− 11-= 4. − 12 2 − 12 3

Так как $t= cosx∈ [− 1;1],$ то корень $t= 4> 1 3$ не подходит. Следовательно, сделав обратную замену, получим

cosx= − 1 ⇔ x= ± 2π+ 2πk, k ∈ℤ 2 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −5π;− 7π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$71π4π −−−5π23-$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;− 7π 2$ лежит точка $− 14π. 3$

Ответ:

a) $± 2π+ 2πk, k ∈ℤ 3$

б) $14π − -3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#127772Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 4sin2x +sin 3π + x + 1 =0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− 3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения:

( 3π ) sin 2-+ x = − cosx.

Из основного тригонометрического тождества:

sin2x =1 − cos2x.

С учетом этого имеем:

4 (1 − cos2x)+ (− cosx)+ 1= 0 2 4− 4cos2x − cosx +1 = 0 −4cos x− cosx + 5= 0

Сделаем замену $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

−4t2− t+5 = 0

Найдем дискриминант:

D = (−1)2− 4⋅(− 4)⋅5= 1+ 80= 81= 92.

Тогда корни квадратного уравнения равны

t1 = 1-+9 = − 5 и t2 = 1−-9 = 1. − 8 4 −8

Так как $t= cosx∈ [− 1;1],$ то корень $t= − 5< − 1 4$ не подходит. Следовательно, сделав обратную замену, получим

cosx = 1 ⇔ x= 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2- ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$3π −−−32π2π$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 3π;− 3π 2$ лежит точка $− 2π.$

Ответ:

a) $2πk, k ∈ ℤ$

б) $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#127860Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) log2 x2− 2x = 3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log20,1;log213].$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

x2− 2x =23 2 x − 2x = 8 x2− 2x+ 1= 9 (x− 1)2 = 32 2 2 (x − 1) − 3 = 0 (x− 4)(x +2)= 0 x1 = − 2; x2 = 4

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $8> 0,$ то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Заметим, что

4 = log224 = log216 >log213.

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x = 4$ не попадает в отрезок $[log 0,1;log 13]. 2 2$

При этом для $x= −2$ имеем:

−2 = log22−2 = log2 1> log2 1-= log2 0,1, 4 10 − 2= log 2−2 =log 1 <log 13. 2 24 2

Поэтому получаем, что корень $x = −2$ принадлежит отрезку $[log20,1;log213].$

Ответ:

a) $− 2; 4$

б) $− 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#127861Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) log2 x2+ 2x = 3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log30,1;log313].$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

x2+ 2x =23 2 x + 2x = 8 x2+ 2x+ 1= 9 (x+ 1)2 = 32 2 2 (x +1) − 3 = 0 (x− 2)(x +4)= 0 x1 = − 4; x2 = 2

б) Заметим, что

−4= log33− 4 = log3-1 < log3-1 = log30,1. 81 10

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x =− 4$ не попадает в отрезок $[log30,1;log3 13].$

При этом для $x= 2$ имеем:

2= log332 = log3 9> log3-1 = log30,1, 10 2= log332 =log39< log313.

Поэтому получаем, что корень $x = 2$ принадлежит отрезку $[log30,1;log313].$

Ответ:

a) $− 4; 2$

б) $2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#127862Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $6log28x − 5 log8x+ 1 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;2,5].$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $log8x.$

Сделаем замену $log8x= t,$ тогда уравнение примет вид

6t2− 5t+ 1 =0

Найдем дискриминант:

2 D = (−5) − 4⋅6⋅1 =25 − 24 =1.

Тогда корни квадратного уравнения равны

5+ 1 1 5− 1 1 t1 = -12-= 2 и t2 =-12- = 3.

Сделав обратную замену, получим

⌊ |log8x = 1 ⌈ 21 log8x = 3 ⌊ 1 ⌈log8x = log882 log8x = log8813 [ √- log8x = log82 2 log8x = log82 [ √ - x= 2 2 x= 2

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $√ - 2 2> 0$ или $2> 0,$ то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Для определения принадлежности корня $√ - x= 2 2$ отрезку $[1;2,5]$ сравним $√ - 2 2$ и 2,5:

√- 2 2∨ 2,5 8 >6,25

Поэтому получаем, что корень $√ - 2 2$ не принадлежит отрезку $[1;2,5].$

При этом корень $x = 2$ принадлежит отрезку $[1;2,5].$

Ответ:

a) $√- 2; 2 2$

б) $2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#120317Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $log5(cosx+ sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx+ sin2x + 25)= 2 5 cosx+ sin2x +25 = 52 cosx+ 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1+ 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sin x= − 1 2 ⌊x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 ||x= − π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 6 x= − 5π+ 2πk, k ∈ ℤ 6

Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7517ππ9ππ 2π2262-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π 2π; 2$ лежат точки $5π 2 ;$ $19π 6 ;$ $7π 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 6$ $− 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $5π; 2$ $19π; 6$ $7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#120318Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $log5(cosx− sin2x +25)= 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Избавимся от логарифма и сведем уравнение к простейшим тригонометрическим:

log (cosx− sin2x + 25)= 2 5 cosx− sin2x +25 = 52 cosx− 2sinx cosx +25 = 25 cosx(1− 2sinx) =0 ⌊ ⌈cosx= 0 sinx = 1 2 ⌊x = π-+πk, k ∈ ℤ || 2 ||x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 6 x = 5π +2πk, k ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π;4π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$54517πππ7ππ 2262$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π- 2 ;4π$ лежат точки $5π 2 ;$ $17π 6 ;$ $7π 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 17π; 7π 2 6 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#130105Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 4cos3x + sin x− π- = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;2π].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения:

( π-) sin x− 2 = − cosx.

Тогда имеем:

( π) 4cos3x+ sin x − 2- =0 4cos3x+ (− cosx)= 0 3 4co(sx − cosx =) 0 cosx 4cos2x− 1 = 0 [cosx = 0 2 4cosx − 1 = 0 ⌊cosx= 0 ⌈ 1 cosx= ±2 ⌊ π |x= -2 + πk, k ∈ ℤ || π- ||x= ± 3 +2πk, k ∈ℤ |⌈x= ± 2π+ 2πk, k ∈ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[π;2π],$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$354πππ π2π233$

Следовательно, на отрезке $[π;2π]$ лежат точки $4π; 3$ $3π; 2$ $5π . 3$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $± π+ 2πk; 3$ $± 2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $4π; 3$ $3π; 2$ $5π- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#130106Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 4cos3x + 3sin x − π-= 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2π;− π].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Сибирь

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения:

( π-) sin x− 2 = − cosx.

Тогда имеем:

( π ) 4 cos3x+ 3sin x− 2- = 0 4cos3 x+ 3(− cosx)= 0 3 4cos( x− 3cosx=) 0 cosx 4cos2x− 3 = 0 [cosx = 0 2 4cosx − 3 = 0 ⌊cosx= 0 ⌈ √3 cosx= ±-2- ⌊ π |x= -2 + πk, k ∈ ℤ || π- ||x= ± 6 +2πk, k ∈ℤ |⌈ 5π x= ± 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[−2π;−π],$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−π2π3π117ππ- 266$

Следовательно, на отрезке $[−2π;−π ]$ лежат точки $− 11π; 6$ $− 3π; 2$ $7π − 6-.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $± π+ 2πk; 6$ $± 5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 11π ; 6$ $− 3π; 2$ $− 7π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#130107Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- √- 2sin3x− 2sinx+ cos2 x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Вынесем $√- 2 sinx$ за скобки в первых двух слагаемых:

√ - ( 2 ) 2 2sinx sin x− 1 + cos x = 0.

Из основного тригонометрического тождества имеем:

2 2 sin x− 1= − cos x

Тогда получаем:

√- − 2 sinx ⋅cos2x+ cos2x = 0 cos2x (−√2-sinx +1) = 0 [ cos2x= 0 − √2sinx+ 1= 0 ⌊ cosx = 0√- ⌈ sinx = -2- 2 ⌊ x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 || x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ || 4 ⌈ x= 3π +2πk, k ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π ] − 2-;−π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$−−−−−π3π5π7π5π- 2244$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежат точки $− 5π; 2$ $− 7π; 4$ $− 3π; 2$ $5π − 4-.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− 5π ; 2$ $− 7π; 4$ $− 3π ; 2$ $− 5π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#130108Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- √ - 2cos3x− 2cosx +sin2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Вынесем $√- 2 cosx$ за скобки из первых двух слагаемых:

√ - ( 2 ) 2 2cosx cos x− 1 + sin x = 0.

Из основного тригонометрического тождества имеем:

2 2 cos x− 1= − sin x

Тогда имеем:

√ - 2 2 − 2cos(x ⋅sin x+ sin)x = 0 sin2x − √2cosx +1 = 0 [ sin2√x = 0 − 2cosx+ 1= 0 ⌊ ⌈sin x= 0√- cosx= -2- ⌊ 2 x = πk, k ∈ ℤ || π ⌈x = ±4-+ 2πk, k ∈ ℤ

$3451πππ5π 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π-;4π 2$ лежат точки $3π;$ $15π ; 4$ $4π.$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 4$ $− π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $3π;$ $15π ; 4$ $4π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#130109Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sin3x − 2 sinx+ cos2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;− 2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Вынесем $2sin x$ за скобки в первых двух слагаемых:

2sin x(sin2x− 1)+ cos2 x= 0.

Из основного тригонометрического тождества имеем:

2 2 sin x− 1= − cos x

Тогда имеем:

− 2sinx ⋅cos2x +cos2x= 0 cos2x (− 2sinx + 1) =0 [ 2 cos x= 0 − 2sinx + 1= 0 ⌊ ⌈cosx = 01 sinx = 2 ⌊ π | x= 2-+ πk, k ∈ ℤ || π- || x= 6 + 2πk, k ∈ ℤ |⌈ 5π x= 6 +2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;−2π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$571ππ9π −−−− 2π226-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π − 2 ;−2π$ лежат точки $7π − 2 ;$ $19π − 6 ;$ $− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 6$ $5π + 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $− 7π ; 2$ $− 19π; 6$ $− 5π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#130110Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2cos3x − 2cosx + sin2x= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

а) Вынесем $2cosx$ за скобки в первых двух слагаемых:

2cosx(cos2x − 1) +sin2x= 0.

Из основного тригонометрического тождества имеем:

2 2 cos x− 1= − sin x

Тогда имеем:

2 2 − 2cosx⋅sin x +sin x= 0 sin2x (− 2cosx + 1) =0 [sin2x = 0 − 2cosx + 1= 0 ⌊sin x= 0 ⌈ 1 cosx= 2 ⌊ |x = πk, k ∈ ℤ |⌈x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π 2 ;3π ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$357πππ 32ππ233$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π;3π 2$ лежат точки $5π-; 3$ $2π;$ $7π ; 3$ $3π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 3$ $2π;$ $7π; 3$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#89712Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $sin 2x − sin(x − π)= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π ;5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin2x− sin(x− π)= 0 2 sinxcosx+ sin x= 0 sin x⌊(2 cosx +1) =0 sin x= 0 ⌈ 1 cosx= − 2 ⌊x= πk, k ∈ℤ ⌈ 2π x= ± 3-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π;5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7415ππ4ππ 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π-;5π 2$ лежат точки $4π;$ $14π ; 3$ $5π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 2π +2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $4π;$ $14π ; 3$ $5π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#89942Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- sin 2x − 3cos(π − x) = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а)

sin2x − √3cos(π − x) =0 √- 2sin xc(osx+ 3cos)x =0 cosx 2sin x+ √3 =0 ⌊ √- sinx= − -3- ⌈ 2 cosx = 0 ⌊x= − π+ 2πk, k ∈ℤ | 3 |||x= − 2π+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π 3 x= 2-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π , 2$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

$7π8π5π- −−−−4π232$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 4π;− 5π 2$ лежат точки $− 7π; 2$ $− 8π; 3$ $− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− π+ 2πk; 3$ $− 2π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $− 7π ; 2$ $− 8π; 3$ $− 5π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2