Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Тема 13. Решение уравнений

13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#81523Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log sinx+ log sinx= log sin2x⋅log √sinx. 2 3 2 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] −1;-2 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения: $sinx> 0.$ Сделаем замену $sin x= y,$ тогда уравнение примет вид

1 log2y + log3y = 2log2y⋅2 log3y log2y + log32⋅log2y = log2y⋅log3y l⌊og2y(1+ log32 − log3y)= 0 log y = 0 ⌈ 2 log3y = 1+ log32= log36 ⌊ y = 1 ⌈ y = 6

Так как $y ∈ (0;1],$ то

y = 1 ⇒ sinx= 1 ⇔ x = π-+2πn,n∈ ℤ 2

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π] −1;-2 ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

Заметим, что $π ∈(3,1;3,2),$ следовательно, $( ) 1∈ 0; π . 2$

$π−1;−1+ 2π 2$ $−5π1+ 2π 2$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 1; 5π 2$ лежат числа $π-; 5π. 2 2$

Ответ:

а) $π+ 2πn, 2$ $n ∈ ℤ$

б) $π 2-;$ $5π -2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#81535Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( 2 )6sin2x+11cosx+1 1 − 5 cosx = 1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $cosx= y,$ тогда уравнение примет вид

( 2 )7+11y−6y2 1− 5 y =1 ⌊(| 2 |{ 1− 5y > 0 |||( 2 |⌈ 7+211y− 6y = 0 1 − 5y = 1 ⌊(| 5 |{ y < 2 |||( 2 |⌈ 6y − 11y − 7 = 0 y = 0 ⌊( 5 |||||| y < 2 |||{ ⌊ 1 ||||| |y = −2 |||||| |⌈ 7 |⌈( y = 3 y = 0 ⌊ y = 0 || |||y = − 1 |⌈ 2 y = 7 3

Так как $y = cosx∈ [−1;1],$ то получаем

⌊ ⌊ π- | y = 0 || x= 2 + πn,n ∈ ℤ ⌈ 1 ⇒ ⌈ 2π- y = −2 x= ± 3 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π;2π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$2324πππππ 2233$

Следовательно, на отрезке $[π-;2π ] 2$ лежат числа $π; 2π ; 4π-; 3π. 2 3 3 2$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ;± 2π+ 2πm,m ∈ ℤ 2 3$

б) $π 2π 4π 3π 2-;3-;3-;-2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#82105Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

√---------- ∘----------- 5c2o2sx−2tg2x−12−3 c1o1sx−3−tg2x − --2-4-11----=51+3 c1os1x− co1s2x−2 5tg x−cosx+6

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $1+ tg2x = --12-, cos x$ откуда $tg2x = -12-− 1. cos x$ Следовательно, уравнение примет вид

∘----------- ∘----------- 5c2o2sx− co2s2x− 10−3 c1o1sx− co1s2x−2 − 4 ⋅5 1co1sx−co1s2x−5 = 5⋅53 c11osx−co1s2x−2

Заметим, что можно сделать замену

∘--------------- (|| -11-- --1-- ||||y = cosx − cos2x − 2 { y2−3 |||a = 5 |||( 3y b =5

Учтем, что $y ≥ 0,$ $a> 0,$ $b> 0.$

Тогда уравнение примет вид

a2 − 4a − 5b= 0 |:b b ( a)2 a ( a ) b − 4⋅b − 5 = 0 t= b >0 t2− 4t − 5 =0 ⌊ ⌈ t= −1 t= 5 a b = 5 5y2− 3y−3 = 5 y2− 3y− 4= 0 ⌊ ⌈ y = −1 y = 4 y = 4

Сделаем обратную замену, положив $z = c1osx :$

∘ ---------- 11z − z2 − 2 = 4 z2− 11z+ 18 = 0 ⌊ ⌈ z = 2 z = 9

Следовательно, получаем

⌊ 1 ⌊ π- || cosx = 2 ||x =± 3 + 2πn,n ∈ ℤ ⌈ 1 ⇔ ⌈ 1 cosx = 9 x =± arccos9 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π; 5π , 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$557πππ 1 1 π−a2 arc33rccocso9s9+ +2π2π$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат числа

− arccos 1 + 2π; 5π; 7π; arccos 1+ 2π 9 3 3 9

Ответ:

а) $± π+ 2πn,n ∈ℤ; ±arccos 1+ 2πm,m ∈ ℤ 3 9$

б) $1 5π 7π 1 − arccos9 + 2π;-3 ;-3 ; arccos9 + 2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#82246Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) log22-12 sin-x+-cosx 3 log2cosx + log2cos x+ 4= 4log2(sinx +2 cosx)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2π].$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

( ) log22-12 sinx+-cosx log2cosx + 3log2cosx= 4 (log2(sinx + 2cosx)− 1) ( ) ( ) log22-12 sinx+-cosx-+ 3log cosx= 4 log 1 sinx +cosx log2cosx 2 2 2

Сделаем замену $( ) a = log2 12 sinx+ cosx ,$ $b= log2cosx.$ Тогда $b⁄= 0$ и уравнение примет вид

2 a-+ 3b= 4a |:b⁄= 0 b (a )2 a b − 4⋅b +3 =0 ⌊ | a= 3 |⌈ b a= 1 b

Заметим, что

a log2(1sin x+ cosx) ( 1 ) b =-----2log-cosx---- = logcosx 2 sin x+ cosx 2

Сделаем обратную замену:

(⌊ 1 ||||| 2 sin x+ cosx = cos3x ⌊ (1 ) |||||⌈ 1 |logcosx 2 sinx+ cosx =3 |||{ 2 sin x+ cosx = cosx |⌈ ( ) ⇔ 1sinx + cosx > 0 logcosx 1 sinx+ cosx =1 ||||| 2 2 ||||cosx >0 ||(cosx ⁄=1

Получаем

(|⌊ sinx = 2cosx(cos2 x− 1) (|⌊ (2 sinxcosx+ 1)sin x= 0 (| ⌊sin x= 0 |||||⌈ |||||⌈ ||||| ⌈ { sinx = 0 { sinx = 0 { sin 2x= −1 |||cosx> 0 ⇔ |||cosx> 0 ⇔ ||| cosx > 0 |||( |||( |||( cosx⁄= 1 cosx⁄= 1 cosx ⁄= 1

Тогда

(||⌊ |||||| x= πn,n ∈ℤ ||{⌈ π- π | x= − 4 + πn,n ∈ℤ ⇔ x= − 4-+2πm, m ∈ℤ ||||cosx >0 |||( cosx ⁄=1

б) Отберем корни с помощью неравенства:

π 7π 0≤ −-4 + 2πm ≤ 2π ⇒ m = 1 ⇒ x= 4-

Ответ:

а) $− π+ 2πm, m ∈ℤ 4$

б) $7π -4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#83756Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

log cos2x =log (cos2x − cosx+ sin xcosx) cosx cosx−0,5

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 3π; 5π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

( ||||cosx> 0 ||||cosx⁄= 1 ( ||||| |||| cosx > 0,5 {cos2x> 0 ⇔ { cosx ⁄= 1 |||cosx− 0,5> 0 ||| ( 1)2 |||| |( cosx− 2 = cos2x− cosx+ sinx cosx |||||cosx− 0,5⁄= 1 |(2 = logcosx−0,5(cos2x− cosx+ sinx cosx)

Рассмотрим второе уравнение:

2 1 2 cos x− cosx+ 4 =cos x− cosx+ sinx cosx sinxcosx= 1 4 sin2x= 1 ⌊ π2 | x= 12 + πn,n ∈ ℤ |⌈ x= 5π + πm,m ∈ ℤ 12

Пересечем полученный ответ с условиями $cosx> 0,5$ и $cosx⁄= 1 :$

$π- 12 + 2πn$

Следовательно, $x = π-+ 2πn,n∈ ℤ. 12$

б) Отберем корни на отрезке $[ 3π 5π] − 2-;-2$ с помощью неравенства:

3π π 5π 19 29 − 2-≤ 12-+ 2πn≤ -2 ⇔ −24 ≤ n≤ 24

Так как $n ∈ℤ,$ то $n =0;1.$ Следовательно, $x = π-; 25π. 12 12$

Ответ:

а) $π-+ 2πn,n∈ ℤ 12$

б) $π 25π 12;-12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#85237Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log (3sin4x + cos4x +2)= 4 +log 3. cosx cosx$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;2π].$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

log (3sin4x + cos4x+ 2)= log (3cos4x) cosx cosx

Выпишем ограничения на основания логарифмов:

( { cosx > 0 ( cosx ⁄= 1

При этих ограничениях уравнение равносильно

3sin4x+ cos4x+ 2= 3cos4x 2 2 2 2 2 3(sin x − cos x)(sin x+ cos x)+ 2cos 2x− 1+ 2= 0 2cos22x− 3cos2x+ 1= 0 ⌊ ⌈cos2x= 1 cos2x= 1 ⌊ 2 |x= πm, m ∈ℤ |⌈ π x= ± 6-+πn,n ∈ ℤ

Учитывая ограничения, изобразим полученные серии на окружности:

$−−π2π5πππ+5+mπ++22π2π+2mπn2πnπnn 6666$

Таким образом, $π x = ±6-+ 2πn,n∈ ℤ.$

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Для первой серии имеем:

−3π ≤ π+ 2πn ≤2π ⇒ n= −1;0 ⇒ x = − 11π; π 6 6 6

Для второй серии имеем:

π 13π π 11π −3π ≤ − 6 + 2πn ≤ 2π ⇒ n= − 1;0;1 ⇒ x =− -6-;−-6;-6-

Ответ:

а) $± π+ 2πn,n ∈ℤ 6$

б) $13π 11π π π 11π − -6- ;− -6-;−6-;6;-6-$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#85241Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( √-) ( √-) log1 sinx + -5- + log1 sinx − -5- = 2 3 6 3 6

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π] −π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно системе

( ( ) ||{ log sin2x − 5- = 2 13 √- 36 ||( sinx − -5-> 0 6 ( 5 1 |{ sin2x − 36 = 9 | √5 ( sinx − -6-> 0 ( |{ sin2x = 1 √4 |( sinx − -5-> 0 6 ( 1 |{ sinx = ±2 |( √5- sinx − 6 > 0 sinx= 1 2 ⌊ π- |⌈x = 6 + 2πn,n ∈ ℤ x= 5π + 2πn,n ∈ ℤ 6

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π ] −π;2- ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$ππ- 2−6 π$

Следовательно, на отрезке $[ ] − π; π 2$ лежит число $π. 6$

Ответ:

а) $π+ 2πn, 5π+ 2πn, n ∈ ℤ 6 6$

б) $π 6-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#39636Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

6 +log2(4cosx)⋅log2(16sin2x) =log2(64cos3x)+ log2(256sin4x) .

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ] − π-; 3π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{ cosx >0 sinx⁄= 0

Сделаем замену $log (4 cosx)= t, 2$ $log (16sin2 x)= m. 2$ Тогда уравнение примет вид

6+ tm = 3t+ 2m ⇔ t(3− m)+ 2(m − 3) =0 ⇔ (t− 2)(3 − m )= 0

Таким образом, получаем

(| ⌊cosx = 1 [ |||{ ⌈ log2(4cosx2)= 2 ⇒ sinx = ±√12 ⇔ x= ± π-+2πn, n∈ ℤ log2(16sin x)= 3 |||| cosx > 0 4 ( sinx ⁄=0

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Первая серия решений:

− π-≤ − π-+ 2πn≤ 3π ⇔ − 1 ≤ n≤ 7 ⇒ n= 0 ⇒ x = − π 2 4 2 8 8 4

Вторая серия решений:

− π≤ π-+ 2πn≤ 3π ⇔ − 3 ≤ n≤ 5 ⇒ n= 0 ⇒ x = π- 2 4 2 8 8 4

Ответ:

а) $± π+ 2πn, n∈ ℤ 4$

б) $π π − -4;4-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2