Тема 13. Решение уравнений

13.09 Логарифмические: сведение к простейшему уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#72968Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение

log9(x +1)− log9(1− x)= log9(2x+ 3).

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| x+ 1> 0 { 1− x> 0 |( 2x+ 3> 0

( |{x > −1 |(x < 1 x > −1,5

Итоговая ОДЗ: $x∈ (−1;1)$

Так как в ОДЗ мы определили, что $x= 1$ не входит в область допустимых значений, т.к $x$ строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть уравнения, не боясь потерять корни:

log9 x+-1= log9(2x+ 3), 1− x

x-+1- 1 − x = 2x+ 3,

x-+-1+-(2x-+3)(x−-1)= 0, 1 − x

2 x-+1-+-2x--+3x-− 2x-− 3 = 0. 1 − x

С учетом, что $x⁄= 1,$ знаменатель можно отбросить:

2x2 +2x − 2 = 0,

x2 +x − 1 = 0.

Посчитаем дискриминант: $D = 1+ 4= 5,$ $√ -- √ - D = 5,$
$√- x1 = −1+--5-, 2$
$−1− √5 x2 = ---2---.$

Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:

1.

$x1$ и $1:$

−1 + √5 ---2--- ∨1,

√- −1 + 5∨ 2,

√ - 5∨ 3,

$5< 9,$ откуда $0< −1+√5 < 1, 2$ следовательно, $x 1$ входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.

2.

$x2$ и $− 1:$

√- −-1−--5 ∨− 1, 2

− 1− √5 ∨− 2,

√ - − 5∨ −1,

$− √5 < −√1,$ откуда $−1−√5 < −1, 2$ следовательно, $x 2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Ответ:

$√- -5-− 1 x = 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#72969Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение

1 3 lg(5− x)− 3 lg(35− x) =0.

Показать ответ и решение

Внесем $13$ внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую часть:

lg(5− x)= lg(35− x3)13,

3∘ -----3-- lg(5− x)= lg (35 − x ),

3∘ -----3-- 5 − x = (35− x ),

3 3 (5 − x)= 35− x ,

2 3 3 125− 75x+ 15x − x = 35− x ,

2 15x − 75x+ 90= 0,

2 x − 5x+ 6= 0.

По теореме Виета корнями являются: $x1 =2$ и $x2 = 3.$

Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:

1.

Подставим $x1 = 2$ в исходное уравнение:

lg(5− 2)− 1lg(35− 23) =0, 3

lg3− lg(35 − 8)13 = 0,

lg3 − lg3= 0.

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2 1$ является корнем нашего уравнения.

2.

Подставим $x2 = 3$ в исходное уравнение:

1 3 lg(5− 3)− 3 lg(35− 3) =0,

13 lg 2− lg(35− 27) = 0,

lg2 − lg2= 0,

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 3 2$ является корнем нашего уравнения

Ответ:

$x = 2;x = 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#72970Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2 2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;4,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{x − 2 > 0 2 (x− 4) > 0

{ x> 2 x⁄= 4

Итоговая ОДЗ: $x∈ (2;4)∪ (4;+ ∞).$

Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:

2 2 log3(x− 2) +log3(x − 4) = 0,

log3((x− 2)2(x− 4)2)= log31,

(x− 2)2(x− 4)2 = 1,

(x − 2)2(x − 4)2− 1 =0.

Применим формулу разности квадратов:

((x − 2)(x− 4)− 1)((x− 2)(x− 4)+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 8− 1)(x2− 6x+ 8+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x2− 6x+ 9)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x− 3)2 = 0.

Получаем два случая:
1) $x2 − 6x +7 = 0$ и 2) $(x− 3)2 = 0.$

Корнями первого уравнения являются числа $√ - x1 = 3+ 2$ и
$√ - x2 =3 − 2.$ Корнем второго уравнения является число $x3 = 3.$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

$√ - x1 = 3+ 2> 4,$ так как $√- 2 >1,$ следовательно, $x1 ∈$ ОДЗ.

$x = 3− √2. 2$ Сравним $3 − √2$ и $2 :$

√- 3− 2 ∨2,

√ - − 2∨ −1,

√ - √ - − 2< − 1,

√- 3− 2< 2,

поэтому $x2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

$x = 3 3$ очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.

б) Отберем корни на промежутке $[π;4,5].$

Мы знаем, что $3 < π < 4,$ тогда $x3 = 3 < π,$ поэтому $x3 ∕∈ [π;4,5].$

Корень $x1 = 3+ √2> 4 >π$ , так как $√2> 1.$

Тогда сравним $x2$ и $4,5:$

3+ √2-∨4,5,

√2∨ 1,5,

2< 2,25,

поэтому $√ - 3+ 2< 4,5,$ следовательно, $√- 3+ 2 ∈[π;4,5].$

Ответ:

а) $√- x = 3;x = 3+ 2;$

б) $√ - x =3 + 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#72971Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

x x log3(9 + 9)= x+ log3 (28− 2⋅3 ).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− √2;√2].$

Показать ответ и решение

а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:

x x x log3(9 + 9)= log33 + log3(28− 2⋅3 ),

x x x log3(9 + 9)= log3(3 (28 − 2 ⋅3)),

2x x 2x 3 + 9= 28⋅3 − 2⋅3 ,

2x x 3⋅3 − 28⋅3 + 9= 0.

Замена $t= 3x :$

3t2− 28t+9 = 0,

3t2− 28t+9 = 0,

решая квадратное уравнение, находим его корни: $t1 = 13$ и $t2 = 9.$

Обратная замена:

1) $1 t1 = 3,$ $x −1 3 =3 ,$ $x = −1;$

2) $t2 = 9,$ $x 2 3 = 3 ,$ $x =2.$

Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:

При $x= − 1:$

− 1 −1 log3(9 +9) =− 1+ log3(28− 2⋅3 ),

( ) log3 1 + 9 = log3 1+ log3(28− 2⋅3−1), 9 3

82 1 ( 2) log3 9-= log33 + log3 28 − 3 ,

82 1 82 log3 9 = log33 + log3 3 ,

( ) log3 82 =log3 1 ⋅ 82 , 9 3 3

log3 82= log3 82, 9 9

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = −1$ является корнем уравнения.

При $x= 2 :$

log3(92+ 9)= 2+ log3(28− 2⋅32),

log (81+ 9) =log 9+ log (28− 18), 3 3 3

log 90= log 9 +log 10, 3 3 3

log390= log3(9 ⋅10),

log390= log390,

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2$ является корнем уравнения.

б) Отберем корни на промежутке $√- √- [− 2; 2]:$

$√- √- x= − 1∈ [− 2; 2],$ так как $√- √- √- − 2< − 1 <0 < 2.$

$√ -√ - x= 2 ∕∈[− 2; 2],$ так как $√ - 2 > 2.$

Ответ:

а) $x = −1;x= 2;$

б) $x =− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#75431Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

--x2 −-4 2 ln(x− 1) = (x − 6)⋅logx−1 e+ 1.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[eπ − 1;π2].$

Показать ответ и решение

а) Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

( |{ ln(x − 1) ⁄= 0, x− 1 > 0, |( x− 1 ⁄= 1.

(| {x − 1 ⁄= 1, |(x > 1, x ⁄= 2.

( |{ x ⁄= 2, x > 1, |( x ⁄= 2.

Таким образом, $x ∈ (1;2)∪ (2;+ ∞).$

Используя формулу перехода к новому основанию $--1- loga c = logca,$ преобразуем правую часть уравнения. Напомним, что $lnx$ — это натуральный логарифм $x,$ то есть логарифм $x$ по основанию $e.$

x2 − 4 1 -------- = (x2 − 6)⋅------- + 1, ln(x − 1) ln(x− 1)

-x2 −-4- (x2 −-6) ln(x−-1) ln (x − 1) = ln (x − 1) + ln(x− 1),

x2 − 4 = x2 − 6+ ln(x− 1),

2 = ln(x− 1),

lne2 = ln(x − 1),

e2 = x − 1,

x = e2 + 1.

б) Единственный корень уравнения, левая и правая граница отрезка — иррациональные числа. Проведём необходимые сравнения:

Предупреждение: без данных сравнений даже за верный ответ поставят 0 баллов как за недостаточно обоснованное решение.

eπ− 1 ≤ e2 + 1 ≤ π2,

2 2 eπ ≤ e + 2 ≤ π + 1.

Перейдём к системе. Рассмотрим, верна ли она при найдённом значении $x$ :

{e π ≤ e2 + 2, 2 2 e + 2 ≤ π + 1.

Заметим, что $2,7 ≤ e ≤ 2,8$ и $3,1 ≤ π ≤ 3,2,$ откуда имеем:

{ eπ < 2,8 ⋅3,2 = 8,96 < 9,29 = 2,72 + 2 < e2 + 2, 2 2 2 2 e + 2 < 2,8 + 2 = 9,84 < 10,61 = 3,1 + 1 < π + 1.

Система верна, следовательно, корень лежит на отрезке.

Ответ:

а) $e2 + 1,$
б) $e2 + 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2