Тема 13. Решение уравнений

13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126434Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 1− cos 2x− 7π − 2cosx = 2sinx. 2$

б) Найдите все решения уравнения, принадлежащие отрезку $[−3π;0].$

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения и по формуле синуса двойного угла получаем:

( 7π) cos 2x− -2 = − sin2x =− 2sinx cosx

По основному тригонометрическому тождеству имеем $1 = cos2x +sin2 x$

Преобразуем уравнение:

cos2x + sin2x− (−2sin xcosx)− 2cosx = 2sinx cos2x+ sin2x +2 sinxcosx= 2 cosx +2sinx

По формуле квадрата суммы $a2+ 2ab+ b2 = (a + b)2.$ Тогда получаем:

cos2x+ 2sin xcosx+ sin2x =2(cosx+ sinx) 2 (cosx +sinx) − 2(cosx+ sinx) =0 (cosx+ sinx)(cosx + sinx− 2)= 0 [ cosx+ sinx = 0 cosx+ sinx = 2

Так как $cosx≤ 1$ и $sinx ≤ 1,$ то второе равенство может быть выполнено только если $cosx = sinx = 1,$ что противоречит ОТТ.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

cosx+ sinx = 0 sin x= − cosx |:cosx ⁄= 0 tgx = −1 π x = −4-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью двойного неравенства:

− 3π ≤ − π-+ πk ≤ 0 4 − 3≤ − 1+ k ≤ 0 4 −12≤ − 1+ 4k ≤ 0 −11 ≤4k ≤ 1 11 1 − 4-≤ k ≤ 4

Тогда целочисленными решениями неравенства являются $k = −2,$ $k = −1$ и $k = 0.$

Следовательно, на отрезке $[−3π;0]$ лежат точки $9π − -4 ,$ $5π − -4$ и $− π. 4$

Ответ:

a) $− π+ πk, 4$ $k ∈ ℤ.$

б) $− 9π ; 4$ $− 5π; 4$ $− π. 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2