Тема 15. Решение неравенств

15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#89981Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x−1 5 36 9x−1−-1 − 9x-− 1-≥ 81x−-10⋅9x+-9.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем первое слагаемое левой части, домножив числитель и знаменатель на 9:

9x−1 9⋅9x−1 9x 9x−1−-1 = 9-⋅9x−1−-9 = 9x−-9.

Положим $x t= 9 .$ Тогда неравенство примет следующий вид:

--t- − -5--≥ ----36---- t− 9 t− 1 t2− 10t+ 9 --t- -5-- ----36----- t− 9 − t− 1 − (t − 1)(t− 9) ≥0 t(t− 1)− 5(t− 9)− 36 ----(t−-1)(t−-9)----≥ 0 t2-− t−-5t+-45−-36≥ 0 (t− 1)(t− 9) t2− 6t+ 9 (t−-1)(t−-9) ≥ 0 --(t−-3)2--≥ 0 (t− 1)(t− 9)

Решим неравенство методом интервалов:

$t139+−−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

⌊ ⌊ x 0 |t <1 |9x <9 1 ⌈t =3 ⇔ ⌈9x =912 t >9 9 >9

Отсюда получаем ${ } x∈ (−∞; 0)∪ 1 ∪(1;+ ∞ ). 2$

Ответ:

${ } (−∞; 0)∪ 1 ∪(1;+∞ ) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#89982Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

3x+ 9 3x − 9 4⋅3x+1+ 144 3x−-9 + 3x-+9 ≥---9x-−-81---.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $t= 3x.$ Тогда неравенство примет вид:

t+-9 t−-9 --12t+144-- t− 9 + t+ 9 ≥ (t− 9)(t+ 9) 2 2 (t+-9)-+(t−-9)-− (12t+-144) ≥0 (t− 9)(t+ 9) (t2+ 18t+ 81)+ (t2 − 18t+ 81)− 12t− 144 -------------(t−-9)(t+-9)------------ ≥0 2 2t-−-12t+-18 ≥ 0 (t− 9)(t+ 9) -2(t−-3)2--- (t− 9)(t+ 9) ≥ 0

Заметим, что $x t= 3 >0,$ поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительно выражение $t+ 9$ и поделим на 2, получим

(t−-3)2 ≥ 0. t − 9

По методу интервалов получим:

$t39−−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ [ [ t= 3 3x =31 x= 1 t> 9 ⇔ 3x >32 ⇔ x> 2

Получим $x∈ {1}∪ (2;+∞ ).$

Ответ:

${1}∪ (2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#89983Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2x + 8 2x− 8 2x+4 + 96 2x-−-8 + 2x+-8 ≥-4x-−-64--.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Решение

Пусть $t= 2x.$ Тогда неравенство примет вид:

t+-8+ t−-8≥ --16t+-96-- t− 8 t+ 8 (t− 8)(t+ 8) (t+-8)2+-(t−-8)2−-(16t+-96) (t− 8)(t+ 8) ≥ 0 (t2+ 16t+ 64) +(t2− 16t+64)− 16t− 96 ----------------------------------≥ 0 (t− 8)(t+ 8) 2t2−-16t+-32 (t− 8)(t+ 8) ≥ 0 2 -2(t−-4)---≥ 0 (t− 8)(t+ 8)

Заметим, что $t= 2x >0,$ поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительно выражение $t+ 8$ и поделим на 2, получим

(t− 4)2 -t-− 8 ≥ 0.

По методу интервалов получим:

$t48−−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ [ x 2 [ t= 4 ⇔ 2x =23 ⇔ x= 2 t> 8 2 >2 x> 3

Получим $x∈ {2}∪ (3;+∞ ).$

Ответ:

${2}∪ (3;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 2,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#89984Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

7x +7 7x− 7 4⋅7x+ 96 7x-− 7-+ 7x+-7 ≥ 49x−-49-.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Пусть $t= 7x.$ Тогда неравенство примет вид:

t+-7 t−-7 ---4t+96--- t− 7 + t+ 7 ≥ (t− 7)(t+ 7) 2 2 (t+-7)+-(t−-7)−-(4t+-96) ≥ 0 (t− 7)(t+ 7) (t2+ 14t+ 49)+ (t2− 14t+ 49)− 4t− 96 ------------(t−-7)(t+-7)----------- ≥0 2 2t-−-4t+-2-≥ 0 (t− 7)(t+ 7) -2(t−-1)2--- (t− 7)(t+ 7) ≥ 0

Заметим, что $x t= 7 >0,$ поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительно выражение $t+ 7$ и поделим на 2, получим

(t−-1)2 ≥ 0. t − 7

По методу интервалов получим:

$t17−−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ [ [ t= 1 7x =70 x= 0 t> 7 ⇔ 7x >71 ⇔ x> 1

Получим $x∈ {0}∪ (1;+∞ ).$

Ответ:

${0}∪ (1;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#89985Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

6 ⋅9x− 1− 10 ---x− 12--- ≤ 1. 81 − 9

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Пусть $t= 9x−1 > 0.$ Тогда

x− 12 2(x− 12) 2x−1 2 81 = 9 = 9 = 9t.

Тогда неравенство примет вид

6t−-10- 9t2 − 9 ≤ 1 6t− 10 1 − 9(t2−-1) ≥ 0 2 9t-−-9−-6t-+10 ≥ 0 9(t− 1)(t+1) 9t2− 6t+ 1 9(t− 1)(t+1) ≥ 0 2 --(3t−-1)--- ≥ 0 9(t− 1)(t+1)

Решим неравенство методом интервалов:

$t−11+−−+1 3$

Следовательно, получаем

⌊ t <− 1 ⌊ || 1 ⌈9 x−1 = 1 |⌈t = 3 ⇒t>0 9x−1 > 31 ⇔ t >1 ⌊x − 1= − 1 ⌊x = 1 ⌈ 2 ⇔ ⌈ 2 x − 1> 0 x > 1

Таким образом, получаем

{ } x ∈ 1 ∪(1;+∞ ). 2

Ответ:

${ } 1 ∪(1;+∞ ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#99449Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2⋅4x−2 7 40 2-⋅4x−2−-1 ≥ 4x−-1 + 16x-− 9-⋅4x-+-8.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть, домножив числитель и знаменатель на 8:

2⋅4x−2 16 ⋅4x−2 4x 2-⋅4-x−2-− 1-= 16⋅4x−2−-8 = 4x−-8.

Положим $t= 4x.$ Тогда неравенство примет следующий вид:

-t--≥ --7-+ ----40--- t− 8 t− 1 t2− 9t+ 8 --t- -7-- ----40----- t− 8 − t− 1 − (t − 1)(t− 8) ≥0 t(t−-1)−-7(t−-8)−-40≥ 0 (t− 1)(t− 8) t2-− t−-7t+-56−-40 (t− 1)(t− 8) ≥ 0 2 t-−-8t+16-≥ 0 (t− 1)(t− 8) --(t−-4)2--≥ 0 (t− 1)(t− 8)

Решим неравенство методом интервалов:

$t148+−−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

⌊ ⌊ x 0 |t <1 |4x <41 ⌈t =4 ⇔ ⌈4x =4 3 t >8 4 >4 2 ( 3 ) x ∈(− ∞;0)∪ {1} ∪ 2;+∞

Ответ:

$( ) (−∞; 0)∪{1}∪ 3;+ ∞ 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#88576Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2log(x2−6x+10)2(5x + 3)≤ logx2−6x+10(4x + 7x+ 3).

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

(||x2 − 6x +10 > 0 |{x2 − 6x +10 ⁄= 1 ( 3 ) ||5x2 +3 > 0 ⇔ x∈ (−∞;− 1)∪ −4;3 ∪(3;+∞ ) |(4x2 +7x +3 > 0

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2log 2b a$ и равна на ОДЗ $log b. a$ Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

2 2 2 (x − 6x+ 10− 1)(5x + 3− 4x − 7x − 3) ≤0 (x− 3)2 ⋅x ⋅(x − 7) ≤0 x∈ [0;7]

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим окончательный ответ $x ∈[0;3) ∪(3;7].$

Ответ:

$[0;3)∪ (3;7]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#83769Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) ( ) log -1− 1 + log 1 +1 ≥ log (8x− 1). 3 x 3 x 3

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || 1− 1> 0 ||||{ x ( ) 1+ 1> 0 ⇔ x∈ 1 ;1 |||| x 8 ||( 8x − 1 > 0

На ОДЗ:

( 1 ) (1 ) log3 x − 1 +log3 x + 1 ≥ log3(8x− 1) ( )( ) log 1 − 1 1+ 1 ≥ log (8x − 1) 3 x x 3 ( ) ( ) 1− 1 1 + 1 ≥ 8x− 1 x x 3 1−-82x-≥ 0 x x∈ (−∞; 0) ∪(0;0,5]

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим

(1 1] x∈ 8 ;2

Ответ:

$( ] 1; 1 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#83770Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) log (2x2+ 1)+ log -1- +1 ≥ log (-x +1) 11 11 32x 11 16

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(||2x2+ 1 >0 |||| ||{ -1-+ 1> 0 ( 1) | 3x2x ⇔ x ∈ −16;− 32 ∪(0;+∞ ) ||||| 16 + 1> 0 ||( 32x ⁄= 0

На ОДЗ:

( 2 ) ( 1 ) ( x ) log11 2x + 1 + log11 32x +1 ≥ log11 16 +1 ( ) (2x2+ 1) -1- +1 ≥ -x +1 32x 16 x- 2 -1- x- 16 + 2x + 32x + 1 ≥ 16 + 1 2 1 2x + 32x-≥ 0 3 64x-+-1 ≥0 (32x ) (4x+-1)-16x2−-4x-+1- ≥ 0 32x

С учетом того, что $16x2 − 4x +1 > 0$ при всех $x,$ применим метод интервалов:

$PICT$

Отсюда получаем

( ] 1 x ∈ −∞;− 4 ∪ (0;+ ∞ )

Потом пересекаем с ОДЗ и получаем ответ

( ] x ∈ −16;− 1 ∪ (0;+ ∞ ) 4

Ответ:

$( ] −16;− 1 ∪(0;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#90997Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log5(5x− 27) -log5(x−-5)-≥ 1.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( (| 27 ( |{5x − 27 > 0, |{x > 5 , {x > 27, |(x − 5> 0, ⇔ ||x >5, ⇔ ( 5 log5(x − 5)⁄= 0 (x − 5 ⁄= 1 x ⁄= 6

Итоговая ОДЗ:

( ) 27 x ∈ 5 ;6 ∪ (6;+∞ ).

Переходим к решению неравенства на ОДЗ. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:

log5(5x−-27)− 1≥ 0 log5(x− 5) log5(5x−-27)−-log5(x-− 5) log5(x− 5) ≥ 0

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(5-− 1)((5x−-27)-− (x−-5))≥ 0 (5 − 1)(x− 5− 1) 4x− 22 -x−-6-≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$11 x6+−+2$

Отсюда получаем

( ] x ∈ −∞; 11 ∪ (6;+∞ ). 2

С учетом ОДЗ окончательно имеем:

(27 11] x∈ -5 ;-2 ∪(6;+ ∞ ).

Ответ:

$( ] 27; 11 ∪ (6;+ ∞) 5 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#90998Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (2x2− 17x +35)− 1 --2--log-(x+-6)------≤ 0. 2

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

[ ( 2 ( (|| x> 5 |{ 2x − 17x+ 35> 0, |{(2x− 7)(x − 5)> 0, |{ x< 3,5 | x+ 6 >0, ⇔ |x > −6, ⇔ | x> −6 ( log2(x+ 6)⁄= 0 (x +6 ⁄= 1 ||( x⁄= −5

Итоговая ОДЗ:

x∈ (−6;−5)∪ (− 5;3,5)∪(5;+∞ )

Переходим к решению неравенства на ОДЗ:

( ) log2-2x2−-17x+-35-− 1-≤ 0 log2(x+ 6) log(2x2− 17x+ 35)− log 2 --2----log(x+-6)-----2- ≤ 0 2

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(( ) ) (2−-1)--2x2−-17x+-35-−-2- (2 − 1)(x+ 6− 1) ≤ 0 2 2x-−-17x-+-33-≤ 0 x+ 5 (2x−-11)(x-− 3) ≤0 x+ 5

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−3+−+−151 2$

Значит, без учета ОДЗ

x ∈(−∞; −5)∪ [3;5,5].

С учетом ОДЗ окончательно имеем:

x∈ (−6;−5)∪ [3;3,5)∪ (5;5,5].

Ответ:

$(−6;−5)∪ [3;3,5)∪ (5;5,5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#90999Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (2x2− 13x +20)− 1 --2--log-(x+-7)------≤ 0. 3

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

[ ( 2 ( (|| x> 4 |{ 2x − 13x+ 20> 0, |{(x− 4)(2x − 5)> 0, |{ x< 2,5 | x+ 7 >0, ⇔ |x > −7, ⇔ | x> −7 ( log3(x+ 7)⁄= 0 (x +7 ⁄= 1 ||( x⁄= −6

Итоговая ОДЗ:

x∈ (−7;−6)∪ (− 6;2,5)∪(4;+∞ )

Переходим к решению неравенства на ОДЗ:

( ) log2-2x2−-13x+-20-− 1-≤ 0 log3(x+ 7) log(2x2− 13x+ 20)− log 2 --2----log(x+-7)-----2- ≤ 0 3

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(( ) ) (2−-1)--2x2−-13x+-20-−-2- (3 − 1)(x+ 7− 1) ≤ 0 2 2x-−-13x-+-18-≤ 0 2(x+ 6) (2x-− 9)(x−-2)≤ 0 x+ 6

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−24+−+−,65$

Значит, без учета ОДЗ получаем $x ∈(−∞; −6)∪ [2;4,5].$

С учетом ОДЗ окончательно имеем:

x∈ (−7;−6)∪ [2;2,5)∪ (4;4,5].

Ответ:

$x ∈(−7;−6)∪ [2;2,5)∪ (4;4,5].$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#91000Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (2x2− 13x +20)− 1 --2--log-(x+-7)------≤ 0. 7

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

[ ( 2 ( (|| x> 4 |{ 2x − 13x+ 20> 0, |{(x− 4)(2x − 5)> 0, |{ x< 2,5 | x+ 7 >0, ⇔ |x > −7, ⇔ | x> −7 ( log7(x+ 7)⁄= 0 (x +7 ⁄= 1 ||( x⁄= −6

Итоговая ОДЗ:

x∈ (−7;−6)∪ (− 6;2,5)∪(4;+∞ )

Переходим к решению неравенства на ОДЗ:

( ) log2-2x2−-13x+-20-− 1-≤ 0 log7(x+ 7) log(2x2− 13x+ 20)− log 2 --2----log(x+-7)-----2- ≤ 0 7

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(( ) ) (2−-1)--2x2−-13x+-20-−-2- (7 − 1)(x+ 7− 1) ≤ 0 2 2x-−-13x-+-18-≤ 0 6(x+ 6) (2x-− 9)(x−-2)≤ 0 x+ 6

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−24+−+−,65$

Значит, без учета ОДЗ получаем $x ∈(−∞; −6)∪ [2;4,5].$

С учетом ОДЗ окончательно имеем:

x∈ (−7;−6)∪ [2;2,5)∪ (4;4,5].

Ответ:

$x ∈(−7;−6)∪ [2;2,5)∪ (4;4,5].$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#91271Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x x x 2(50 + 8) >20 + 3⋅125 .

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

2(50x+ 8x)> 20x +3 ⋅125x ( x 2x) 3x 2x x 3x 2 ⋅2 ⋅5 + 2⋅2 − 2 ⋅5 − 3⋅5 > 0

Разделим обе части неравенства на $23x > 0:$

2x x 3x 2⋅ 52x + 2− 5x − 3 ⋅ 53x-> 0 2 2 2

Сделаем замену $( )x t = 5 > 0. 2$ Тогда неравенство примет вид

2 3 2t + 2− t− 3t > 0 3t3− 2t2+ t− 2< 0 3t3− 3t2 +t2+ t− 2< 0 3t2(t− 1) +(t− 1)(t+ 2)< 0 ( 2 ) (t− 1) 3t + t+2 <0

Рассмотрим уравнение $3t2 +t+ 2 =0.$ Найдем его дискриминант:

D = 12− 4 ⋅3⋅2= 1− 24= − 23 < 0

Значит, уравнение $2 3t + t+ 2= 0$ не имеет решений. Тогда так как коэффициент при $2 x$ больше 0, то при любом $x$ верно, что $2 3t + t+ 2> 0.$ Значит,

( ) (t− 1) 3t2+ t+2 <0 t− 1< 0 t< 1

Сделаем обратную замену:

t< 1 ( 5)x 2 < 1 x <0

Ответ:

$(−∞; 0)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#91272Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x 1−x --1- 9 − 3 − 3 + 9x−1 ≤6.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

x x 1−x -1-- 9 − 3 − 3 + 9x−1 ≤ 6 3 32 32x− 3x− 3x + 32x − 6 ≤0 ( 2 ) ( ) 32x + 3--+6 − 6− 3x+ -3 − 6≤ 0 32x 3x ( x 3 )2 ( x 3 ) 3 + 3x − 3 + 3x- − 12≤ 0

Сделаем замену $t =3x + 3x-> 0. 3$ Тогда неравенство примет вид

t2− t− 12≤ 0 (t− 4)(t+ 3)≤ 0 −3 ≤ t≤4

Сделаем обратную замену:

− 3≤ 3x+ 3x ≤ 4 3

Мы знаем, что $3x + 3x-> 0, 3$ поэтому осталось решить неравенство

3x + 3-≤ 4 3x

Домножим обе его части на $3x > 0 :$

2x x 3 + 3≤ 4⋅3 32x − 4 ⋅3x +3 ≤ 0 (3x− 1)(3x − 3)≤ 0 1≤ 3x ≤3 0 ≤ x≤ 1

Ответ:

$[0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#91273Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log7(6x− 20) -log7(x−-3)-≥ 1.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( (| 10 ( |{6x − 20 > 0, |{x > 3 , {x > 10, |(x − 3> 0, ⇔ ||x >3, ⇔ ( 3 log7(x − 3)⁄= 0 (x − 3 ⁄= 1 x ⁄= 4

Итоговая ОДЗ: $( ) x∈ 10-;4 ∪(4;+∞ ). 3$

log (6x− 20) -lo7g-(x−-3)-− 1≥ 0 7 log7(6x−-20)−-log7(x-− 3) ≥ 0 log7(x− 3)

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(7-− 1)((6x−-20)-− (x−-3))≥ 0 (7 − 1)(x− 3− 1) 5x−-17 x− 4 ≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$17 x4+−+5$

Отсюда получаем $( ] 17 x∈ − ∞; 5 ∪(4;+∞ ).$ С учетом ОДЗ окончательно имеем:

( ] x∈ 10; 17 ∪(4;+ ∞ ). 3 5

Ответ:

$( ] 10; 17 ∪ (4;+ ∞) 3 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#91736Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 ⋅32x+1− 7⋅6x +2 ⋅4x ---3-⋅9x-− 3x-⋅2-x+1-- − 1≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

2⋅32x+1 − 7 ⋅6x + 2⋅4x ---3⋅9x−-3x⋅2x+1---− 1≤ 0 2x x x 2x 2x x x 6⋅3--−-7⋅3-⋅2-+-2⋅2--−-3⋅3--+-2⋅3--⋅2--≤ 0 3⋅32x− 2⋅3x⋅2x 3⋅32x−-5⋅3x⋅2x+-2⋅22x- 3⋅32x− 2⋅3x⋅2x ≤ 0

Разделим числитель и знаменатель получившейся слева дроби на $2x 2 > 0:$

2x x 3-⋅ 322x-−-5⋅ 32x +-2 3⋅ 3222xx − 2⋅ 32xx ≤ 0

Сделаем замену $( )x t = 3 > 0. 2$ Тогда получим неравенство

3t2− 5t+ 2 --3t2−-2t--≤ 0 (t−-1)(3t− 2) ≤ 0 t(3t − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$2 t031−−+$

Тогда решением неравенства будет система

( (|( 3)x (|| (3)x (3)0 {0 < t≤1 |{ 2 ≤ 1 |{ 2 ≤ 2 {x ≤ 0 ( 2 ⇔ |( 3)x 2 ⇔ | (3)x (3) −1 ⇔ x ⁄= −1 t⁄= 3 |( 2 ⁄= 3 ||( 2 ⁄= 2

Таким образом, $x ∈(− ∞;−1)∪ (−1;0].$

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (− 1;0]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#91737Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 ⋅52x − 3 ⋅5x ⋅2x+1 + 4x+1 --------10x-− 22x------ ≤ 1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство:

2⋅52x− 3⋅5x⋅2x+1+ 4x+1 -------10x−-22x--------≤ 1 2x x x 2x 2⋅5--−-6⋅5-⋅2-+-4⋅2---≤ 1 5x⋅2x− 22x

Разделим числитель и знаменатель получившейся слева дроби на $22x > 0:$

52x- 5x- 2-⋅22x −5x6⋅-2x-+-4≤ 1. 2x − 1

Сделаем замену $( 5)x t = 2 > 0.$ Тогда получим неравенство

2t2−-6t+-4-≤ 1 t− 1 2t2− 6t+ 4 --t−-1---− 1≤ 0 2 2t-−-7t+-5-≤ 0 t− 1 (2t− 5)(t− 1) ≤ 0 t− 1

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t015−−+ 2$

Тогда решением неравенства будет система

(( ) ( 5 || 5 x ≤ 5 { {0< t≤ 2 ⇔ {( 2) 2 ⇔ x≤ 1 (t⁄= 1 ||( 5 x ⁄= 1 x⁄= 0 2

Таким образом, получаем

x ∈ (− ∞;0)∪ (0;1].

Ответ:

$(−∞; 0)∪(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#91739Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4x+1+ 4x− 4 16x−-9⋅4x+-8 ≥ −1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

4x+1 +4x − 4 16x−-9⋅4x+-8 ≥ − 1 x -25x-⋅4-− 4x-- ≥− 1 4 − 9⋅4 + 8

Сделаем замену $t =4x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

5t − 4 t2-− 9t+-8-≥− 1 5t− 4 t2−-9t+-8-+ 1≥ 0 (2 ) (5t−-4)+--t−-9t+-8-≥ 0 t2− 9t+ 8 t2− 4t+ 4 t2−-9t+-8 ≥ 0 2 --(t−-2)---≥ 0 (t− 1)(t− 8)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0128+−−+$

Тогда имеем:

t ∈(0;1) ∪{2}∪ (8 +∞ )

Сделаем обратную замену для $t∈ (0;1):$

0< tx< 1 0< 4 <1 0< 4x < 40 x <0

Сделаем обратную замену для $t= 2 :$

t= 2 4x = 2 2x 1 2 = 2 2x = 1 x= 1 2

Сделаем обратную замену для $t∈ (8;+ ∞ ):$

t> 8 4x > 8 22x > 23 2x > 3 x> 3 2

Таким образом, окончательно получим

{ } ( ) x∈ (− ∞;0)∪ 1 ∪ 3;+ ∞ 2 2

Ответ:

${ } ( ) (− ∞;0)∪ 1 ∪ 3;+∞ 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#91740Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x+1+ 9x+ 54 81x−-28⋅9x+-27 ≥ −1.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

9x+1+ 9x+ 54 81x−-28⋅9x+-27 ≥ − 1 x -2x10-⋅9-+5x4---≥ − 1 9 − 28⋅9 + 27

Сделаем замену $t =9x > 0.$ Тогда неравенство примет вид

10t +54 t2−-28t+-27 ≥− 1 10t+54 t2−-28t+-27 +1 ≥ 0 (2 ) (10t+-54)+--t−-28t+-27-≥ 0 t2− 28t+ 27 t2− 18t+ 81 t2−-28t+-27 ≥ 0 2 ---(t−-9)--- ≥ 0 (t− 1)(t− 27)

Решим полученное неравенство методом интервалов при $t> 0:$

$t0192+−−+7$

Тогда имеем:

t∈ (0;1)∪ {9} ∪(27+ ∞ )

Сделаем обратную замену для $t∈ (0;1):$

0< tx< 1 0< 9 <1 0< 9x < 90 x <0

Сделаем обратную замену для $t= 9 :$

t= 9 9x = 9 x =1

Сделаем обратную замену для $t∈ (27;+ ∞) :$

t> 27 9x > 27 32x > 33 2x > 3 x> 3 2

Таким образом, окончательно получим

( 3 ) x ∈(− ∞;0)∪ {1} ∪ 2;+∞

Ответ:

$( ) (− ∞;0)∪ {1} ∪ 3;+∞ 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2