Тема 15. Решение неравенств

15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 141#932Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( 8 || (x-−--4)- |{ log4−x x + 5 ≥ 8 ||| x2-−-3x-−-5- x2 −-6x-+-3- ( x − 4 + x − 6 ≤ 2x + 1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 4 − x > 0 ( ||{ |{ x < 4 4 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 3 ⇔ x ∈ (− 5;3) ∪ (3; 4) || (x − 4)8 |( ( --------> 0 x ∈ (− 5;4) ∪ (4;+ ∞ ) x + 5

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

log4 −x(x− 4)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0 ⇔ log4−x(4− x)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0 ⇔ log4−x(x+5 ) ≤ 0

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(4 − x − 1)(x + 5 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [3;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 5; − 4] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

x3 −-3x2 −-5x-−-6x2-+-18x-+-30-+-x3-−-6x2-+-3x-−-4x2-+-24x-−--12 −-2x3-+-20x2-−-48x-−-x2-+-10x-−--24- (x − 4)(x − 6) ≤ 0 ⇔ ⇔ ---2x-−--6----≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 3] ∪ (4;6). (x − 4)(x − 6 )

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ (− 5; − 4].$

Ответ:

$(− 5;− 4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 142#2225Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( || log −-1-−-x ≤ − 1 |{ 2−x x − 2 ||| x2 −-8x-+-6- 8x-−-37- ( x − 1 + x − 5 ≤ x + 1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 2 − x > 0 ( |{ |{ x < 2 2 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 1;1 ) ∪ (1;2) ||( −-1-−-x |( x − 2 > 0 x ∈ (− 1;2)

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

− 1 − x (− 1 − x)(2 − x) log2−x ------- + log2−x(2 − x) ≤ 0 ⇔ log2−x ----------------≤ 0 ⇔ log2− x(x + 1 ) ≤ 0 x − 2 x − 2

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(2 − x − 1)(x + 1 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 1;0 ] ∪ (1;2).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

x3-−-8x2-+-6x-−--5x2 +-40x-−-30-+-8x2-−-37x-−-8x-+--37 −-x3 +-5x2 +-x −-5 (x − 1)(x − 5) ≤ 0 ⇔ ⇔ ----2x-+-2---- ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1] ∪ (1;5). (x − 1 )(x − 5)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ (1;2).$

Ответ:

$(1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 143#2226Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( || log --x-+-4-- ≥ − 10 |{ 5−x(x − 5)10 ||| 3 2 50x2-+-x-−-7- ( x + 8x + x − 7 ≤ 1

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 5 − x > 0 ( ||{ |{ x < 5 5 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 4 ⇔ x ∈ (− 4;4 ) ∪ (4;5) || --x-+-4-- |( ( (x − 5)10 > 0 x ∈ (− 4;5) ∪ (5;+ ∞ )

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

10 log --x-+-4-- + log (5 − x)10 ≥ 0 ⇔ log (x-+-4)(5-−-x)-- ≥ 0 ⇔ log (x + 4) ≥ 0 5− x(x − 5)10 5−x 5− x (x − 5)10 5−x

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(5 − x − 1)(x + 4 − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 3;4]

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ [− 3;4).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

x4-+-8x3-−--7x3 −-56x2-+-50x2-+-x-−-7-−-x-+-7 x − 7 ≤ 0 ⇔ 2 ⇔ x--(x +-3)(x-−-2-)≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 3] ∪ {0} ∪ [2;7). x − 7

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ { − 3; 0} ∪ [2;4).$

Ответ:

${− 3;0} ∪ [2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 144#516Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) log1 51+lgx− -11+lgx ≥ −1 +lgx 2 2

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

( ||{ x> 0 21+lgx ⁄= 0 ||( 51+lgx− -11+lgx > 0 2

Рассмотрим отдельно неравенство

1+lgx 1 5 > 21+lgx

Так как при $x> 0$ выполнено $1+lgx 2 > 0,$ то домножим обе части неравенства на это выражение:

101+lgx > 1 ⇔ 1 +lgx >0 ⇔ x∈ (0,1;+∞ )

В итоге найдем ОДЗ:

x ∈ (0,1;+∞ )

Преобразуем исходное неравенство:

51+lgx⋅21+lgx− 1 log12 ----21+lgx------≥lgx− 1 101+lgx − 1 log12--21+lgx-- ≥ lgx − 1

По формуле логарифма частного, верной на ОДЗ:

log1(101+lgx− 1)− log121+lgx− lgx+ 1≥ 0 2 1+lgx 2 1+lgx log12(10 − 1)− log2−1 2 − lgx +1 ≥ 0 log12(101+lgx− 1)+1 +lgx− lgx+ 1≥ 0 ( )2 log12(101+lgx− 1)+log12 1 ≥ 0 ( ) 2 log1 (101+lgx− 1)⋅ 1 ≥ 0 2 4

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно:

1 (101+lgx− 1)⋅4 ≤1 ⇔ 101+lgx ≤ 5 101⋅10lgx ≤5 ⇔ x≤ 0,5

Пересечем это множество с ОДЗ и получим окончательно

x∈ (0,1;0,5]

Ответ:

$(0,1;0,5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 145#521Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2logx+4(x--− 2x)-≥1 logx+4x2

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( (||x > −4 ||||x +4 > 0 ||||x ⁄= −3 ||{x +4 ⁄= 1 ||{[x > 2 |x2− 2x >0 ⇔ | x < 0 ⇔ x ∈ (− 4;− 3)∪(−3;−1)∪(−1;0)∪(2;+∞ ) ||||x2 >0 |||| |(logx+4 x2 ⁄= 0 |||(x ⁄= 0 x ⁄= ±1

Преобразуем левую часть на ОДЗ по формулам $k kloga b= logab$ и $log b logac = logcb: a$

2log (x2− 2x) log (x2− 2x)2 ---xl+o4g---x2--- = --x+lo4g---x2----= logx2(x2− 2x)2 x+4 x+4

Представим 1 как $( ) logx2 x2 ,$ тогда неравенство примет вид

( 2 )2 2 ( 2 )2 2 (x2 − 2x)2 logx2 x − 2x ≥logx2(x ) ⇔ logx2 x − 2x − logx2(x )≥ 0 ⇔ logx2 ---x2----≥0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( 2 2 ) 2 2 2 (x2− 1) (x--− 22x)-− 1 ≥ 0 ⇔ (x2 − 1)⋅ (x-−-2x2)-− x ≥ 0 ⇔ x x ⇔ (x2− 1)⋅ (x2− 2x-− x)(x2−-2x+-x)≥ 0 ⇔ x2 ⇔ (x2− 1)⋅ (x2− 3x)(x2−-x)≥ 0 ⇔ 2 x2 ⇔ (x2− 1)⋅ (x-− 3x)(x−-1)≥ 0 x

По методу интервалов:

$PIC$

Отсюда $x∈ (−∞;− 1]∪{1}∪ [3;+∞ ).$

Пересечем это множество с ОДЗ:

x∈ (−4;−3)∪ (− 3;− 1)∪[3;+∞ )

Ответ:

$(−4;−3)∪ (−3;−1)∪[3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 146#522Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log19(7− 6x)⋅log2− x 1 ≥1 3

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( |{ 7− 6x> 0 ( 7) | 2− x >0 ⇔ x ∈ (− ∞;1)∪ 1;6 ( 2− x ⁄=1

Преобразуем исходное неравенство:

12 log 13(7 − 6x) -log1(2−-x)--≥1 3

Воспользуемся верной на ОДЗ формулой

logab logac = logcb

Тогда имеем:

1log (7− 6x)− log (2 − x)≥ 0 2 2−x 2−x log2−x(7− 6x) − 2log2− x(2− x)≥ 0 2 log2−x(7− 6x) − log2−x(2− x) ≥ 0 7− 6x log2−x(2−-x)2 ≥ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

( ) (2 − x − 1)-7−-6x2-− 1 ≥ 0 (2− x) 3−-2x−-x2 (1− x)⋅ (2− x)2 ≥ 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда получаем

x∈ [− 3;2)∪ (2;+ ∞)

Пересечем с ОДЗ и окончательно получим

( ) x∈ [−3;1)∪ 1; 7 6

Ответ:

$( 7 ) [−3;1)∪ 1;6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 147#523Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

−1 2 logx2x--⋅logx2x- < 40 log2xx ⋅log2x−2x

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ||||x > 0 ||||x ⁄= 1 ||||2x−1 > 0 |{2x2 >0 √ - √- ||2x > 0 ⇔ x∈ (0;0,5)∪(0,5;1)∪ (1; 2)∪( 2;+∞ ) |||||2x ⁄= 1 ||||2x−2 > 0 ||(2x−2 ⁄= 1

По формуле $log b= --1-- a logba$ преобразуем знаменатель, а затем каждый логарифм по формулам произведения/частного в аргументе, верным на ОДЗ:

(logx2− logxx)⋅(logx2 +logxx2)⋅(logx2+ logxx)⋅(logx2 − logxx2)< 40 ⇔ ⇔ (logx2− 1)⋅(logx2+ 2)⋅(logx2+ 1)⋅(logx2− 2)< 40

Сделаем замену $t =logx2:$

(t− 1)(t+ 1)(t+ 2)(t− 2)< 40 ⇔ (t2− 1)(t2 − 4)< 40 ⇔ ⇔ t4− 5t2+ 4 <40 ⇔ t4− 5t2− 36 < 0

Сделаем замену $y = t2,y ≥ 0 :$

y2− 5y − 36 < 0 ⇔ (y+ 4)(y − 9)< 0

(t2 +4)(t2− 9)< 0 ⇔ (t2+ 4)(t− 3)(t+ 3)< 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда $t∈ (− 3;3),$ то есть $− 3 < logx2 <3.$

Далее рассмотрим два случая.

1) $x >1,$ тогда

3 − 3< logx2< 3 ⇔ logx√2 <3 ⇔ logx 2< logxx ⇔ ⇔ 2 <x3 ⇔ x > 32

Отсюда с учетом $x > 1$ получаем

x ∈ (√32; +∞ )

2) $0< x < 1,$ тогда

− 3< logx 2< 3 ⇔ − 3< logx 2 ⇔ logx x−3 < logx2 ⇔ −3 −1 √3- -1- ⇔ x > 2 ⇔ x > 2 ⇔ x < 3√2-

Отсюда с учетом $0 < x< 1$ получаем

( ) x∈ 0;√1- 32

Пересечем полученные множества с ОДЗ:

( ) x∈ (0;0,5)∪ 0,5;-1√- ∪(√32;√2-)∪(√2;+∞ ) 32

Ответ:

$( 1-) √3- √- √ - (0;0,5)∪ 0,5;3√2 ∪ ( 2; 2)∪ ( 2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 148#1285Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2log5(x--−2 5x)-≤ 1 log5x

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 |{ x > 0 | x2− 5x> 0 ⇔ x ∈(−∞; −1)∪ (−1;0)∪(5;+∞ ) ( log5x2 ⁄=0

Преобразуем по формуле $log b logac = logcb, a$ верной на ОДЗ:

2 logx2(x2− 5x)≤ 1 ⇔ logx2(x2− 5x)2− logx2x2 ≤0 ⇔ (x2− 5x)2 ⇔ logx2---x2--- ≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно

2 ((x2−-5x)2 ) 2 (x2−-5x)2−-x2 (x − 1) x2 − 1 ≤ 0 ⇔ (x − 1)⋅ x2 ≤ 0 ⇔ 2 (x2− 5x− x)(x2− 5x + x) ⇔ (x − 1)⋅---------x2----------≤ 0 ⇔ 2 (x2− 6x)(x2 − 4x) ⇔ (x − 1)⋅------x2-------≤0 ⇔ 2 x(x-− 6)(x−-4) ⇔ (x − 1)⋅ x ≤ 0

По методу интервалов:

$PIC$

Отсюда $x∈ [− 1;0)∪ (0;1]∪ [4;6].$

Пересечем полученное множество с ОДЗ и получим окончательный ответ:

x∈ (−1;0)∪(5;6]

Ответ:

$(−1;0)∪(5;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 149#1821Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9 9log7(x2+ x− 2)≤ 10+ log7 (x−-1) x + 2

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 ||{ x + x− 2> 0 x+ 2⁄=90 ⇔ x∈ (−∞;− 2)∪(1;+∞ ) ||( (x−-1)-> 0 x+ 2

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

9 2 9 log7(x2+ x− 2)9 − log7710 − log7 (x−-1)-≤ 0 ⇔ log7 (x-+-x(−x−-21))9-≤ 0 ⇔ x+ 2 710⋅-x+2- ⇔ log (x+-2)9(x−-1)9-≤ 0 7 710 ⋅ (x−x+12)9

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

(x+ 2)10 |x + 2| |x +2| log7--710-- ≤ 0 ⇔ 10⋅log7--7---≤0 ⇔ log7 --7--≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (7 − 1) |x-+2|− 1 ≤ 0 ⇔ 6 ⋅ |x-+2|−-7≤ 0 ⇔ |x + 2|− 7≤ 0 7 7

Раскроем модуль на промежутках знакопостоянства подмодульного выражения.

1) $x+ 2 <0 ⇒ −x− 9≤ 0.$ Отсюда $x ∈[−9;−2).$

2) $x+ 2 ≥0 ⇒ x− 5≤ 0.$ Отсюда $x∈ [− 2;5].$

Общее решение неравенства с модулем $x ∈[−9;5]$ и после пересечения с ОДЗ получаем

x ∈[−9;−2)∪ (1;5]

Ответ:

$[−9;−2)∪ (1;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 150#1823Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x) log√2x2−7x+6 3 > 0

Источники: ЕГЭ 2011

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 |||| 2√x-−-7x-+-6≥ 0 { √2x2−-7x+-6> 0 ||| 2x2− 7x+ 6⁄= 1 ⇔ x ∈ (0;1)∪ (1;1,5)∪ (2;2,5)∪ (2,5;+∞ ) |( x > 0 3

Исходное неравенство равносильно

( x) log(2x2−7x+6)12 3 > 0 (x ) log2x2−7x+6 3 > 0

Воспользуемся методом рационализации:

(x ) (2x2− 7x +6 − 1)-3 − 1 > 0 (x − 1)(x− 2,5)(x − 3) >0

По методу интервалов имеем:

$x12,53−+−+$

Отсюда $x∈ (1;2,5) ∪(3;+ ∞ ).$

Пересечем это множество с ОДЗ:

x∈ (1;1,5)∪(2;2,5)∪ (3;+∞ )

Ответ:

$(1;1,5)∪ (2;2,5)∪(3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 151#517Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 − 1log√3 x+-5≥ log9(x+ 1)2 2 x+ 3

Источники: ЕГЭ 2011, репетиция

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( ||{ x+ 3⁄= 0 | x+-5->0 ⇔ x∈ (−∞; −5)∪ (− 3;− 1) ∪(−1;+∞ ) |( x(x++31)2 > 0

x + 5 1 2 3(x + 3) 1 2 log33− log3x-+-3 ≥ 2 log3(x + 1) ⇔ log3 -x+-5--≥ 2 log3(x+ 1) ⇔ 9(x+ 3)2 2 9(x +3)2 ⇔ log3-(x-+-5)2-≥ log3(x+ 1) ⇔ log3(x+-5)2(x+-1)2 ≥ 0.

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ---9(x-+3)2--- ) 9(x-+3)2−-(x-+-5)2(x+-1)2- (3 − 1) (x+ 5)2(x+ 1)2 − 1 ≥ 0 ⇔ (x+ 5)2(x+ 1)2 ≥ 0 ⇔ (3x+ 9 − (x+ 5)(x + 1))(3x +9 + (x +5)(x+ 1)) ⇔ -------------(x-+5)2(x-+-1)2--------------≥ 0 ⇔ (− x2− 3x + 4)(x2+ 9x+ 14) (x2+ 3x− 4)(x2+ 9x+ 14) ⇔ -----(x-+-5)2(x+-1)2------≥ 0 ⇔ -----(x-+5)2(x+-1)2-----≤ 0 ⇔ (x +4)(x− 1)(x+ 7)(x + 2) ⇔ ----(x+-5)2(x+-1)2-----≤ 0

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $x ∈ [−7;−5)∪ (−5;−4]∪[−2;−1)∪ (− 1;1]$ .
Пересечем ответ с ОДЗ: $x ∈ [−7;−5)∪ [− 2;−1)∪(−1;1]$ .
Окончательный ответ

x ∈[−7;−5)∪ [− 2;− 1) ∪(−1;1].

Ответ:

$[−7;−5)∪ [− 2;− 1) ∪(−1;1]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 152#518Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4 2 (x-+-4)3 log4(x + 5) ⋅ log16(x + 4) + log2 x + 5 − 3 > 0.

Источники: ЕГЭ 2011, репетиция

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || (x + 5)4 > 0 ||| 2 { (x + 4) > 0 | (x-+-4)3 ⇔ x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (− 4;+ ∞ ). ||| x + 5 > 0 |( x + 5 ⁄= 0

3 log 2(x + 5)4 ⋅ log 4(x + 4 )2 + log (x-+-4) − 3 > 0. 2 2 2 x + 5

На ОДЗ неравенство равносильно:

log2|x + 5| ⋅ log2 |x + 4| + 3log2|x + 4| − log2 |x + 5 | − 3 > 0.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

(log2|x + 4| − 1 )(log2 |x + 5| + 3) > 0 ⇔ ⇔ (log |x + 4| − log 2)(log |x + 5| + log 8) > 0 ⇔ 2 2 2 2 |x +-4| ⇔ log2 2 ⋅ log2(8 ⋅ |x + 5 |) > 0.

Возможны 2 случая:
1)

( |x + 4 | { log2 -------> 0 ( 2 log2(8 ⋅ |x + 5 |) > 0

В этом случае по методу рационализации: $|x + 4| > 2, |x + 5| > 1 8$ , откуда
$x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 2;+ ∞ )$ .
2)

( { |x-+-4-| log2 2 < 0 ( log (8 ⋅ |x + 5 |) < 0 2

В этом случае по методу рационализации: $1 |x + 4| < 2, |x + 5| <-- 8$ , откуда
$x ∈ (− 5,125;− 4,875 )$ .
Объединенное решение неравенства: $x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 5, 125;− 4,875) ∪ (− 2;+ ∞ )$ .
Пересечем ответ с ОДЗ: $x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 5,125;− 5) ∪ (− 2;+ ∞ )$ .
Окончательный ответ

x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 5,125;− 5) ∪ (− 2; +∞ ).

Ответ:

$(− ∞; − 6) ∪ (− 5,125; − 5 ) ∪ (− 2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 153#524Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(2 ) ( 2 ) log3−x x − 10x+ 25 ≤ 2log3−x 4x − x +5 − 2

Источники: ЕГЭ 2011, репетиция

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(x2 − 10x +25 >0 |||{ 2 4x − x +5 > 0 ⇔ x∈ (− 1;2)∪ (2;3). |||(3 − x> 0 3 − x⁄= 1

Тогда на ОДЗ:

1 ( 2 ) ( 2 ) 2 ⋅log3−x x − 10x+ 25 − log3−x 4x− x + 5 +log3− x(3− x)≤ 0 1 ( ) 2 ⋅log3−x(x− 5)2 − log3−x 4x − x2+5 +log3−x(3− x)≤ 0 log3−x |x−-5|⋅(32-− x) ≤ 0 4x− x + 5

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (3− x− 1) |x−-5|⋅(23−-x)− 1 ≤ 0 4x− x + 5 |x−-5|⋅(3−-x)−-(4x−-x2+-5) (2− x) 4x− x2+ 5 ≤ 0

Так как на ОДЗ $x− 5< 0,$ то

(5− x)⋅(3 − x)− (4x− x2+ 5) (2− x)-------------2-----------≤ 0 4x− x + 5 (2− x)2x2-− 12x-+10-≤ 0 4x− x2+ 5

По методу интервалов:

$PIC$

Отсюда имеем $x ∈(−∞; −1)∪ [1;2].$

Пересечем полученное множество с ОДЗ и получим окончательно

x ∈ [1;2).

Ответ:

$[1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2