15.10 Смешанные неравенства - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#23600Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство:

1 9log (7− x) log2(x−7)2 32 ⋅2 16 ≥ 2 16 .

Показать ответ и решение

1 9log (7−x) log2 (x−7)2 32 ⋅2 16 ≥ 2 16

Найдем ОДЗ данного неравенства:

( { 7− x> 0 ( (x − 7)2 > 0 ⇔ 7 − x > 0 ⇔ x< 7

Преобразуем левую часть неравенства:

1- 9log16(7−x) −5 9log24(7− x) 94 log2(7−x)−5 32 ⋅2 = 2 ⋅2 = 2

Преобразуем показатель степени в правой части неравенства:

2 1 log216(x − 7)2 = (2log24|x − 7|)2 = (4 log2|7− x|)2 = 4 log22|x− 7|

На ОДЗ $|x− 7|= 7− x$ и исходное неравенство примет вид:

94log2(7−x)− 5 14log22(7−x) 9 1 2 2 ≥ 2 ⇔ 4 log2(7− x)− 5≥ 4 log2(7 − x)

Обозначим $t =log2(7− x)$ , тогда $2 2 log2(7− x)= t$

Перепишем неравенство в виде

$pict$

Решим неравенство методом интервалов:

$PIC$

t∈ [4;5] ⇔ 4 ≤t ≤5

Произведем обратную замену:

4 ≤log2(7− x)≤ 5 ⇔ 24 ≤ 7 − x ≤ 25 ⇔ 16 ≤ 7− x≤ 32 ⇔ 9≤ − x≤ 25 ⇔ −25 ≤x ≤ −9

Учтем ОДЗ:

( { x< 7 ( −25 ≤x ≤ −9 ⇔ − 25 ≤ x≤ −9 ⇔ x ∈ [−25;−9]

Ответ:

$[−25;−9]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#44617Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9⋅2log3(5−x) +21+log3x− 2log3(5x−x2) ≤ 18

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( ( |||{5 − x > 0 |||{5− x > 0 ({ x > 0 ⇔ x > 0 ⇔ 5− x> 0 ⇔ 0 <x < 5 ||| ||| ( x> 0 (5x − x2 >0 (x(5− x)> 0

Преобразуем неравенство на ОДЗ:

9⋅2log3(5−x)+2 ⋅2log3x − 2log3(5−x)⋅2log3x − 18 ≤ 0

Сделаем замену $p = 2log3(5−x),$ $q = 2log3x.$ Тогда неравенство перепишется в виде

9p+ 2q− pq− 18-≤ 0 ⇔ 9(p − 2)− q(p− 2)≤ 0 ⇔ (p − 2)(q− 9)≥ 0 -- --

Сделаем обратную замену:

( ) ( ) 2log3(5−x)− 21 2log3x − 2log29 ≥ 0

Применим метод рационализации:

(2− 1)(log3(5−x)−1)(2−1)(log3x−log29)≥ 0 ⇔ (log3(5− x)− 1)(log3x− log33log29) ≥0

Применим еще раз метод рационализации:

( ) ( ) (3 − 1)(5− x− 3)(3− 1) x− 3log29 ≥ 0 ⇔ (x− 2) x− 3log29 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Заметим при этом, что $log29> 3,$ следовательно, $log 9 3 2 > 27.$

$PICT$

Получаем $2 ≤ x≤ 3log29.$ Пересечем с ОДЗ:

$PICT$

Тогда итоговый ответ: $x∈ [2;5).$

Ответ:

$[2;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#72211Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< 1.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1> 0,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 + 1> 0,

2x x 2 − 3⋅2 + 2 >0.

Сделаем замену $2x = t:$

t2− 3t+2 > 0,

2 t − t− 2t+ 2> 0,

t(t− 1) − 2(t− 1) > 0,

(t− 2)(t− 1)> 0.

По методу интервалов получаем:

$[t< 1, t> 2.$

Обратная замена:

$[ 2x < 1, 2x > 2.$

$[ x< 0, x> 1.$

Таким образом, область допустимых значений состоит из двух интервалов: $x ∈(−∞; 0)∪ (1;+∞ ).$

Переходим к решению неравенства. Представим единичку как $log 3: 3$

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< log33.

Потенцируем обе части неравенства, сохраняя знак неравенства, так как основание $3> 1:$

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1< 3,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 − 2< 0,

22x− 3⋅2x− 4 <0.

Сделаем замену $x 2 = t:$

t2− 3t− 4 < 0,

t2 +t− 4t− 4< 0,

t(t+ 1) − 4(t+ 1) < 0,

(t− 4)(t+ 1)< 0.

По методу интервалов получаем:

{ t> −1, t< 4.

Обратная замена:

{ 2x > −1, 2x < 4.

x< 2.

Найдём пересечение между ОДЗ и полученными решениями рационального неравенства:

$PIC$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#73291Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x2−x−6 x2+2x+2 (4 − 1)⋅log0,25(4 − 3)≤ 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x2+2x+2 4 − 3 > 0.

Оценим показатель степени. Вычислим его дискриминант:

D = 4− 8= − 4< 0.

Дискриминант отрицательный, значит, выражение $x2+ 2x+ 2$ всегда принимает положительные значения. Функция квадратичная, ее график — парабола. Минимум функции находится в вершине параболы.
$−2 xв = 2-= −1$ , $yв = y(−1) =1 − 2 +2 = 1,$
отсюда $41 = 4$ — наименьшее значение.
Тогда $4x2+2x+2− 3≥ 4− 3= 1> 0,$ следовательно, областью допустимых значений является вся числовая прямая.

Переходим к решению неравенства. Для применения метода рационализации необходимо получить разность одноименных функций.

(4x2−x−6− 1)⋅log (4x2+2x+2− 3)≤ 0, 0,25

(4x2−x−6− 40)⋅(log0,25(4x2+2x+2− 3)− 0) ≤0,

(4x2−x−6− 40)⋅(log (4x2+2x+2− 3)− log 1)≤ 0. 0,25 0,25

Воспользуемся методом рационализации для показательной и логарифмической функций:

(4− 1)(x2− x − 6 − 0)⋅(0,25− 1)⋅(4x2+2x+2− 3− 1)≤ 0,

3⋅(x2− x− 6)⋅(− 0,75)⋅(4x2+2x+2 − 4)≤ 0,

3 ⋅(x2− x − 6)⋅(−0,75)⋅(4x2+2x+2− 41)≤ 0.

Еще раз воспользуемся методом рационализации для показательной фукнции:

−2,25 ⋅(x2− x − 6)⋅(4− 1)(x2+ 2x+ 2− 1)≤ 0,

−6,75 ⋅(x2− x− 6)(x2 +2x +1)≤ 0,

(x− 3)(x+ 2)(x +1)2 ≥ 0.

$PIC$

x∈ (−∞;− 2]∪{−1} ∪[3;+ ∞).

Ответ:

$x ∈(−∞; −2]∪ {−1}∪ [3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#75180Максимум баллов за задание: 2

Снегурочка сумела решить уравнение из номера 13, однако в решении смешанного неравенства ниже у неё возникли трудности с рационализацией

2x⋅log2(x2+ 4)+ log0,5(x2+ 4)2 2x− 2 -------sin(π-+cos(π))------- > √lne-. 2 2

Помогите Снегурочке разобраться в том, как правильно и чётко оформить решение жутко смешанного неравенства.

Показать ответ и решение

Запишем условие, определяющее ОДЗ неравенства: $x2+ 4> 0,$ то есть $x$ — любой.

Поскольку $x2+ 4> 0$ при любом $x$ , вторую степень из аргумента одного из логарифмов можем смело выносить в виде множителя перед логарифмом — ОДЗ таким действием мы не меняем:

2x⋅log2(x2+-4)+-2log0,5(x2+-4)- 2√x−-2 sin(π2 +cos(π2)) > ln e .

Представим $0,5$ в виде степени: $−1 0,5 = 2$ . Далее воспользуемся свойством $1 logacb= c logab$ и получим:

x 2 2 x 2-⋅log2(x--+π4)−-2loπg2(x-+-4)> 2√-− 2, sin(2 +cos(2)) lne

x 2 2 x 2-⋅log2(x--+4)π−-2log2(x-+-4)> 2-√− 2, sin(2 +0) 1

2x⋅log2(x2+ 4)− 2 log2(x2+ 4)> 2x− 2,

(2x − 2)⋅log2(x2+ 4)− (2x − 2)> 0,

(2x− 2)(log(x2+ 4)− 1)> 0, 2

(2x− 21)(log (x2+ 4)− log 2)> 0. 2 2

По методу рационализации для показательной и логарифмической функций:

(2 − 1)(x− 1)(2− 1)(x2 +4 − 2)> 0,

(x − 1)(x2+ 2) >0.

$x2+ 2$ всегда больше 0, поэтому единственным нулём левой части неравенства является $x= 1.$ Реализуем метод интервалов:

$PIC$

Ответ:

$x ∈(1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#75433Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3√16x−12 4(log4x−8) x > 8 .

Показать ответ и решение

Запишем ограничение, определяющеее ОДЗ: $x >0.$

Сделаем замену $t =log4x.$

В таком случае:

log3√16x = log 2x =1,5log4x = 1,5t 43 x= 4t

Используя свойство степеней $(b)c b⋅c a = a ,$ перепишем неравенство относительно новой переменной $t$ следующим образом:

4t(1,5t−12) > 84(t−8) 2t(1,5t−12) 3⋅4(t−8) 2 > 2

Так как основание показательной функции $2> 1,$ то знак неравенства сохраняется:

2t(1,5t− 12)> 12(t− 8) 3t2− 24t> 12t− 96 2 3t − 36t+ 96> 0 t2− 12t+ 32> 0

По теореме Виета находим нули левой квадратичной функции:

$pict$

Разложим выражение на множители и используем метод интервалов:

(t− 4)(t− 8)> 0

$PIC$

Произведём обратную замену:

$pict$

С учетом ОДЗ получаем:

⌊ 0< x <256 ⌈ x> 65336

Ответ:

$(0;256)∪ (65536;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#82126Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $( ) log 2 sinx − 3 4 > 0. 2sinx+cosx−1 2$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = sin x,$ $|y|≤ 1.$ Тогда неравенство примет вид

( 3)4 log2y−y2 y − 2 > 0 ( ) log y − 3 2 > 0 2y−y2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству:

( ||2y − y2 > 0 ||||| 2 ||{2(y − y )⁄=2 1 | y− 3 > 0 |||| 2 (( )2 ) ||||((2y− y2− 1) y− 3 − 1 > 0 2 (| ||||y(y− 2)< 0 ||{(y− 1)2 ⁄= 0 |y ⁄= 3 ||||| 2 ( ) ( ) |(− (y− 1)2 y− 5 y− 1 > 0 ( 2 2 |||0 < y < 2 ||||{ y ⁄= 13 |||y ⁄= 2 ( )( ) ||||( 2 5 1 (y− 1) y − 2 y− 2 < 0 (1 ) ( 3 ) (3 ) y ∈ 2;1 ∪ 1;2 ∪ 2;2

Так как $y = sinx∈ [− 1;1],$ то после обратной замены получаем

⌊ | π-+ 2πn < x< π+ 2πn 1 <sinx< 1 ⇔ |⌈ 6 2 n ∈ℤ 2 π-+ 2πn < x< 5π-+ 2πn 2 6

Также изобразим промежутки, являющиеся решением неравенства $1 2 < sinx < 1,$ на окружности:

$ππ5π 266+++22ππ2πnnn$

Ответ:

$( ) (π-+2πn; π-+ 2πn)∪ π-+ 2πn; 5π+ 2πn ,n∈ ℤ 6 2 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126435Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x 2 2 x+4 2 x − 8x − 2 + 128≥ 0.

Показать ответ и решение

По свойствам степени получаем:

x+4 x 4 x 2 = 2 ⋅2 = 16⋅2

Разложим левую часть неравенства на множители:

2xx2− 8x2− 16⋅2x+ 128≥ 0 2 x x x (2( − 8)−) 16(2 − 8)≥ 0 x2 − 16 (2x− 8)≥ 0 (x2− 16)(2x − 23)≥ 0

По формуле разности квадратов:

x2− 16= x2− 42 = (x − 4)(x+ 4)

Тогда получаем:

( ) (x− 4)(x+ 4)2x− 23 ≥ 0

По методу рационализации:

(x− 4)(x+ 4)(2 − 1)(x− 3)≥ 0 (x − 4)(x+ 4)(x− 3)≥ 0

По методу интервалов:

$x−34−+−+ 4$

Отсюда получаем

x∈ [−4;3]∪ [4;+∞ ).

Ответ:

$[−4;3]∪[4;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126436Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

34x− 81 -x2−-4-≥ 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель с помощью формулы разности квадратов:

4x x 4 4 ( x 2 2) ( x 2 2) 3 − 81 = (3 ) − 3 = (3 ) − 3 (3) + 3 = = (3x− 3)(3x+ 3)(9x+ 9)

Тогда неравенство принимает вид:

(3x−-3)(3x+-3)(9x+-9)-≥ 0 (x− 2)(x +2)

Так как $x 3 + 3> 0$ и $x 9 + 9 >0$ при всех допустимых $x,$ то можем поделить неравенство на эти выражения:

( x 1) ---3-−-3--- ≥ 0 (x− 2)(x +2)

По методу рационализации получаем:

(3−-1)(x-− 1) ≥ 0 (x− 2)(x +2)

По методу интервалов:

$x−12−+−+ 2$

Отсюда получаем

x∈ (−2;1]∪(2;+∞ )

Ответ:

$(−2;1]∪(2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#126437Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

16x− 4x+1− 4x+2+ 64 ----5x2−-6x-+-1,8--- ≤ 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в числителе, используя группировку слагаемых:

16x− 4x+1 − 4x+2+ 64= 4x(4x− 4)− 16 (4x− 4)= x x ( x 2) x = (4 − 16)(4 − 4)= 4 − 4 (4 − 4)

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе, используя формулу квадрата разности:

2 5x − 6x + 1,8= = 1(25x2− 30x+ 9)= 5 = 1(5x− 3)2 5

Перепишем неравенство:

(4x− 42)(4x − 41) ----1------2--- ≤0 5(5x − 3)

По методу рационализации получаем:

(4−-1)(x−-2)(4-− 1)(x−-1)≤ 0 1(5x − 3)2 5 (x−-1)(x-− 2) (5x− 3)2 ≤ 0

По методу интервалов:

$3 x512++−+$

Отсюда получаем

x∈ [1;2]

Ответ:

$[1;2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#126438Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x3 +x2 − x − 1 ---(------)-------(------)2----≥ 0. log42 15− x − 2log22 x − 15 + 16 4 4

Показать ответ и решение

Запишем ограничения на логарифмы:

(| 15 |{ 4-− x> 0 15 || ( 15)2 ⇔ 4-− x >0 ( x− 4 > 0

Преобразуем знаменатель с учетом полученного ограничения:

4( 15 ) 2(15 )2 log2 4 − x − 2 log2 4 − x + 16= ( ) || || =log42 15 − x − 2⋅22log22||15 − x||+ 16= (4 ) ( 4 ) = log4 15− x − 8log2 15− x +16 = 2 4 2 4 ( ( ) )2 = log22 15− x − 4 ≥ 0 4

Тогда при $15− x > 0 4$ и $( ) log2 15− x − 4⁄= 0 2 4$ знаменатель определен и положителен, поэтому можем домножить на него неравенство:

x3+ x2− x− 1≥ 0 x2(x+ 1)− (x +1)≥ 0 2 (x − 1)(x+ 1)2≥ 0 (x − 1)(x+ 1) ≥ 0

По методу интервалов:

$x−1−−+ 1$

Отсюда $x∈ {−1}∪ [1;+∞ ).$

Запишем все ограничения:

(| 15- (| 15 ||||| x< (4 ) { 4 −(x> 0 ) { log2 15− x ⁄= 2 |( log2 15 − x − 4⁄= 0 ⇔ ||| ( 4 ) ⇔ 2 4 |||( log 15− x ⁄= −2 2 4 ( ( ||| x< 15 |||x < 15 |{ 15 4 |{ 41 || 4 − x⁄= 4 ⇔ ||x ⁄= −4 ||( 15− x⁄= 1 ||(x ⁄= 7 4 4 2

С учётом ограничений получаем

[ ) ( ) x ∈{− 1} ∪ 1; 7 ∪ 7; 15 . 2 2 4

Ответ:

$[ ) ( ) {− 1}∪ 1; 7 ∪ 7; 15 2 2 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#126439Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

8x3 − 12x2+ 6x− 1 16x2 −-2√2-⋅4x2 +-2-≤ 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем числитель по формуле куба разности:

3 2 3 2 3 8x − 12x +6x − 1 = (2x) − 3⋅(2x) + 3⋅2x − 1 = (2x− 1)

Преобразуем знаменатель по формуле квадрата разности:

16x2 − 2√2 ⋅4x2 + 2= (4x2)2 − 2 ⋅4x2 ⋅√2-+ (√2)2 =(4x2 − √2)2 ≥ 0

Найдем, при каком $x$ знаменатель обращается в ноль:

4x2 − √2 =0 ⇔ 22x2 = 212 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 4 2

Таким образом, при $x⁄= 12$ и $x ⁄= − 12$ знаменатель положителен, следовательно, можно домножить на него неравенство:

3 (2x− 1) ≤0 2x− 1 ≤0 1 x≤ 2

С учётом ограничений получим

( ) ( ) x∈ − ∞;− 1 ∪ − 1; 1 . 2 2 2

Ответ:

$( ) ( ) −∞; − 1 ∪ − 1; 1 2 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#126440Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x3 +x2 − x − 1 log2x2-+2-log-x4+-4≥ 0. 3 3

Показать ответ и решение

Запишем ограничения на логарифмы:

({ 2 x > 0 ⇔ x ⁄= 0 (x4 > 0

Преобразуем знаменатель с учетом полученного ограничения:

log23x2+ 2log3x4+ 4 =log23x2+ 4log3x2+ 4 = ( 2 )2 2 ( 2) = log3x +2 = log3 9x ≥ 0

Преобразуем числитель:

3 2 2 x + x − x− 1= x (x + 1)− (x+ 1)= (x2− 1)(x +1)= (x− 1)(x + 1)2

Тогда неравенство примет вид:

2 (x-−-1)(2x+-1)-≥ 0 log39x2

По методу рационализации получаем:

2 --(x-−-1)(x+-1)-2 ≥ 0 (3− 1)2(9x2 − 1) --(x-−-1)(x+-1)2- ≥0 (3x− 1)2(3x +1)2

По методу интервалов:

$x−−11+−−−−11 3 3$

Отсюда $x∈ {−1}∪ [1;+∞ ).$

С учётом ограничений получаем

x ∈ {− 1}∪[1;+∞ ).

Ответ:

${− 1}∪ [1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#126441Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(log x)3− 10 ⋅(log x)2 +17⋅log x− 8 ---2-----------2x----------2----≤ 0.

Показать ответ и решение

Запишем ограничение логарифмов: $x> 0.$

Пусть $t= log2x.$ Тогда получим

(log x)3− 10⋅(log x)2+ 17 ⋅log x− 8= t3− 10⋅t2+ 17 ⋅t− 8 2 2 2

Убедимся в том, что $t= 1$ является корнем этого кубического многочлена:

13− 10⋅12+ 17⋅1− 8 = = 1− 10+ 17 − 8 = 0

Поделим многочлен $t3− 10t2+ 17t− 8$ столбиком на $t− 1:$

3 2 | t3− 102t + 17t − 8 t−2-1---- t-−−t9t2-+-17t- t − 9t+8 − 9t2 +9t --------8t-− 8 ---8t-− 8 0

Таким образом,

t3− 10t2+ 17t− 8= = (t− 1)(t2 − 9t+ 8)= = (t− 1)(t−21)(t− 8)= =(t− 1)(t− 8).

Сделаем обратную замену, тогда неравенство примет следующий вид:

2 (log2x-− 1)-(log2x-− 8) ≤0 x (log2x−-log2-2)2(log2x-− log2256) x ≤ 0

По методу рационализации:

((2-− 1)(x−-2))2((2−-1)(x−-256)) ≤ 0 x 1⋅(x−-2)2⋅1⋅(x−-256) x ≤ 0 (x− 2)2(x− 256) ------x-------≤ 0

По методу интервалов:

$x022+−−+56$

Отсюда $x∈ (0;256].$

С учётом ограничения получаем

x∈ (0;256].

Ответ:

$(0;256]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».