15.07 Метод рационализации

Найдем ОДЗ:

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

По методу интервалов имеем на ОДЗ:

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при

Выпишем ОДЗ неравенства:

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле исходное неравенство можно переписать в виде

По методу рационализации данное неравенство равносильно неравенству

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ

Сгруппируем слагаемые в левой части: первое с третьим и второе с четвертым:

По методу рационализации скобку можно заменить на Сделаем это для двух скобок в левой части:

Тогда окончательно получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

По методу рационализации неравенство выше равносильно системе

Решим первое неравенство системы методом интервалов

Получим

Разложим на множители знаменатель дроби в левой части:

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

Применим метод рационализации:

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем ответ:

Разложим на множители знаменатель дроби в левой части:

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

Применим метод рационализации:

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Получаем ответ:

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

Нули левой части первой строки системы легко определить по Виету: и

Таким образом, получаем ОДЗ

Перейдём к решению неравенства. представим единицу как

Применим метод рационализации:

По методу интервалов для рационального неравенства получаем

Пересекаем промежутки ОДЗ и решений рационального неравенства и получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

Итоговая ОДЗ:

Для решения неравенства приведем дроби к общему знаменателю:

Применим метод рационализаци в числителе и знаменателе:

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

Итоговая ОДЗ:

Решим неравенство с помощью метода рационализации:

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

Сопоставим решение неравенства с ОДЗ:

Нас интересуют промежутки пересечения ОДЗ (зеленые дуги) и решения неравенства(красные дуги):

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

Первое неравенство является следствием пятого, поэтому его можно опустить. Шестое неравенство входит в третье, поэтому его также можно исключить. Остаётся:

Первое неравенство верно для любого т.к. квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому его можно отбросить. У четвертого неравенства то есть парабола не имеет пересечений с осью и всегда положительна. Поэтому остается только:

Так как у неравенства дискриминант равен
то решений у неравенства нет.

Итоговая ОДЗ:

Мы уже знаем, что квадратный трехчлен не имеет корней, то есть график параболы всегда находится над осью и всегда положителен. В соответствии с этим мы имеем право вынести из основания левого логарифма степень 2 и при этом не ставить модуль, так как при любом трехчлен принимает исключительно положительные значения.

Теперь решим неравенство с помощью метода рационализации:

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ:

Чтобы воспользоваться методом рационализации, у логарифмов должны быть одинаковые основания. Заметим, что и по свойствам логарифма вынесем степень из основания.

Полезное замечание. После вынесения четной степени из аргумента правого логарифма модуль не ставится, так как аргумент левого логарифма уже задает ОДЗ, что будет строго больше

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

С учетом ОДЗ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ:

Итоговая ОДЗ:

Переходим к решению неравенства. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю.

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции.

Применим метод интервалов:

С учетом ОДЗ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ:

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

С учетом ОДЗ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ:

Оценим показатель степени. Вычислим его дискриминант:

Дискриминант отрицательный, значит, выражение всегда принимает положительные значения. Функция квадратичная, ее график — парабола. Минимум функции находится в вершине параболы.
,
отсюда — наименьшее значение.
Тогда следовательно, областью допустимых значений является вся числовая прямая.

Переходим к решению неравенства. Для применения метода рационализации необходимо получить разность одноименных функций.

Воспользуемся методом рационализации для показательной и логарифмической функций:

Еще раз воспользуемся методом рационализации для показательной фукнции:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Запишем условие, определяющее ОДЗ неравенства: то есть — любой.

Поскольку при любом , вторую степень из аргумента одного из логарифмов можем смело выносить в виде множителя перед логарифмом — ОДЗ таким действием мы не меняем:

Представим в виде степени: . Далее воспользуемся свойством и получим:

По методу рационализации для показательной и логарифмической функций:

всегда больше 0, поэтому единственным нулём левой части неравенства является Реализуем метод интервалов:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ неравенства

Рассмотрим отдельно случай при котором — удовлетворяет ОДЗ. Тогда неравенство примет вид

Получили верное неравенство, следовательно, является решением неравенства.

Пусть дальше Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно

Пересечем полученный ответ с ОДЗ и добавим и получим окончательный ответ

Пусть Выпишем ограничения на неравенство:

Обозначим Тогда при выполнении этих ограничений неравенство равносильно

Вернемся к переменной

Пересечем полученные значения с ограничением и получим окончательный ответ:

ОДЗ неравенства:

Для нахождения окончательного промежутка. являющегося ОДЗ, необходимо сравнить и

Так как то Если верно, то и верно.

Таким образом, вместо нужно поставить знак Следовательно,

Следовательно, ОДЗ неравенства:

Решим неравенство на ОДЗ методом рационализации:

ОДЗ показывает, что и поэтому можно разделить обе части неравенства на эти множители. Теперь неравенство равносильно

Получаем: