Тема 15. Решение неравенств

15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#71198Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 log8(x − 4x+ 3)≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ (аргумент логарифмической функции всегда положителен). Применим метод группировки:

x2− 4x+ 3> 0 x2− x − 3x+ 3> 0 x(x− 1)− 3(x − 1)> 0 (x− 1)(x − 3)> 0

Используя метод интервалов, получаем ОДЗ:

x ∈ (− ∞;1)∪ (3;+∞ )

Перейдём к решению неравенства. Представим единицу в правой части в виде логарифма $1= log88$ и проведём потенцирование. Основание логарифма $8> 1,$ значит, знак неравенства сохраняется:

2 log8(x − 4x+ 3)≤ log88 x2− 4x+ 3≤ 8 x2− 4x− 5≤ 0

Рассмотрим уравнение $2 x − 4x− 5= 0$ и найдём его корни через формулу дискриминанта:

D = 16+ 20= 62 4+ 6 4 − 6 x1 = -2--= 5; x2 =--2- = −1

По методу интервалов решениями неравенства будут $x∈ [− 1;5].$

Заметим, что все решения логарифмического неравенства должны лежать в ОДЗ. Тогда пересечём ОДЗ и полученные решения рационального неравенства:

$x−1351$

Общей частью двух множеств являются два полуинтервала

[−1;1), (3;5]

Ответ:

$x ∈[−1;1)∪(3;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#72112Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (25x) log x − 2 6− log x4 log5x−-2-+ log5(25x) ≥ log2x5−-4 . 5 5 5

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| 25x > 0 |||| x> 0 |||{ 4 x > 0 ||||| log5x− 2⁄= 0 |||( log5(25x) ⁄=0 log25x− 4⁄= 0

( ||| x> 0 { log5x− 2 ⁄=0 ||| 2+ log5x ⁄=0 ( log25x− 4 ⁄=0

Заметим, что $2 log5x− 4= (log5x − 2)(log5x+ 2),$ поэтому наша система примет вид:

( |{ x> 0 log5x− 2 ⁄=0 |( log5x+ 2 ⁄=0

( |{ x> 0 log5x⁄= log525 |( log x⁄= log 5− 2 5 5

(|x > 0 {x ⁄= 25 |( 1- x ⁄= 25

Итоговая ОДЗ: $(0; 125)∪(125;25) ∪(25;+ ∞ ).$

Перейдем к решению самого неравенства:

2 4 log55-+-log5x+ --log25x−-2--− 6-− l2og5x-≥ 0, log5 x− 2 log55 +log5x log5x − 4

2+-log5x-+ log5x−-2-− 6−-42log5|x|≥ 0. log5x− 2 2+ log5x log5x− 4

В данном неравенстве $log5|x|=log5x,$ так как в ОДЗ входят только положительные $x.$

2+-log5x- log5x−-2- ----6−-4log5x----- log5x− 2 + 2+ log5x − (log5x− 2)(log5x + 2) ≥ 0.

Замена $log5x= t:$

2+-t+ t−-2 − --6-− 4t--≥ 0. t− 2 2 +t (t− 2)(t+ 2)

Приведем дроби к общему знаменателю:

(t+-2)2-+(t−-2)2-− (6−-4t) (t− 2)(t+ 2) ≥ 0,

t2-+4t+-4+-t2−-4t+4-− 6-+4t-≥0, (t− 2)(t+ 2)

2 -2t-+4t+-2-≥ 0, (t− 2)(t+ 2)

2 -t-+-2t+-1-≥ 0, (t− 2)(t+ 2)

--(t+-1)2--- (t− 2)(t+ 2) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$--2+––+21$

$t∈ (− ∞;− 2)∪(2;+∞ )∪{− 1}.$

Сделаем обратную замену:

⌊ t< −2 |⌈ t> 2 t= −1

⌊log5 x< −2 |⌈ log x > 2 5 log5 x= −1

⌊log5 x< log55−2 |⌈ log5 x> log52 −1 log5 x= log55

Основание $5> 1,$ следовательно, знак неравенства сохраняется:

⌊ 1 |x< 25 |||x >25 ⌈ 1 x = 5

И с учетом ОДЗ получаем: $1 1 x∈ (0;25)∪ {5}∪(25;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈(0; 125)∪{15} ∪(25;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#72113Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

5log2x− 100 -log22x−-25-≥ 4. 2

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

{x >0 2 log2x − 25⁄= 0

{ x> 0 (log2 x− 5)(log2x +5) ⁄=0

( |{ x> 0 |( log2x− 5 ⁄=0 log2x+ 5 ⁄=0

(|{ x> 0 log x⁄= log 25 |( log2x⁄= log22− 5 2 2

(|x > 0 { |(x ⁄= 312 x ⁄= 32

Итоговая ОДЗ: $(0;-1)∪ (1;32)∪ (32;+∞ ). 32 32$

Для решения неравенства приведем дроби к общему знаменателю:

5log2x − 100 − 4(log2x − 25) ---2-----2------2-------≥0, log2 x− 25

---log2x⋅log2x-----≥ 0, (log2x− 5)(log2x + 5)

(log x− 0)⋅(log x− 0) -(lo2g-x−-5)(log-2x-+-5)-≥ 0. 2 2

Применим метод рационализаци в числителе и знаменателе:

-(log2x−-log21)⋅(log2x−-log2-1)- (log2x − log232)(log2x − log2 132) ≥ 0,

(2−-1)(x−-1)⋅(2−-1)(x−-1)- (2 − 1)(x− 32)(2− 1)(x − 132) ≥0,

---(x−-1)2--- (x− 32)(x− 312) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$-1 313+––+22$

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: $x ∈ (0; 132)∪{1}∪ (32;+ ∞).$

Ответ:

$(0; 132) ∪{1}∪ (32;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#72114Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (2x2− 17x +35)− 1 --2--log-(x+-6)------≤ 0. 7

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| x+ 6> 0 { 2x2 − 17x +35 >0 |( log7(x +6) ⁄=0

( |{x > −6 |((2x− 7)(x − 5) >0 log7(x +6)⁄= log71

( |{x > −6 |(2x− 7)(x − 5) >0 (log7(x +6)⁄= log71

(|x > −6 { |((2x− 7)(x − 5) > 0 x ⁄= −5

Итоговая ОДЗ: $(−6;−5)∪ (− 5;3.5) ∪(5;+ ∞ ).$

Решим неравенство с помощью метода рационализации:

log (2x2− 17x+ 35)− log 2 --2-log-(x+-6)−-log-1--2-≤ 0, 7 7

(2 − 1)(2x2− 17x +35 − 2) ---(7−-1)(x-+-6−-1)----≤0,

2x2-− 17x-+33- x +5 ≤ 0,

(2x−-11)(x−-3)≤ 0. x +5

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$-31+–+–51 2$

Сопоставим решение неравенства с ОДЗ:

$-35-355.56.5$

Нас интересуют промежутки пересечения ОДЗ (зеленые дуги) и решения неравенства(красные дуги): $x ∈(− 6;− 5)∪ [3;3,5) ∪(5;5,5].$

Ответ:

$x ∈(−6;−5)∪ [3;3,5)∪ (5;5,5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#73289Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log5(3x − 13) -log5-(x-− 4) ≥1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( (| 13 ( |{ 3x− 13> 0 |{ x> 3 { x> 13 |( x− 4> 0 ⇔ || x> 4 ⇔ ( 3 log5(x− 4)⁄= 0 ( x− 4⁄= 1 x⁄= 5

Итоговая ОДЗ: $( ) x∈ 13-;5 ∪(5;+∞ ). 3$

Переходим к решению неравенства. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю.

log (3x− 13) -lo5g-(x−-4)-− 1≥ 0 5 log5(3x−-13)−-log5(x−-4)≥ 0 log5 (x − 4)

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции.

(5−-1)((3x-−-13)−-(x−-4))≥ 0 (5 − 1)(x− 4− 1) 2x−-9 x− 5 ≥ 0

Применим метод интервалов:

$9 x25+−+$

С учетом ОДЗ:

( ] x∈ 13; 9 ∪ (5;+∞ ). 3 2

Ответ:

$( ] x ∈ 13; 9 ∪ (5;+ ∞) 3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#78014Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-------45------- -----14------ (log2x + 6log x)2 + log22x+ 6log2x + 1≥ 0. 2 2

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= log22x +6log2x,$ тогда

45 14 t2 + t + 1≥ 0 t2+ 14t+ 45 ----t2-----≥ 0 (t+-9)2(t+-5)≥ 0 t

Пусть $y = log2x.$ Тогда $t= y2 +6y.$ Таким образом, неравенство принимает вид

(y2+ 6y+ 9)(y2 +6y +5) -------(y2+-6y)2------ ≥ 0 (y+-3)2(y+-5)(y-+1) ≥ 0 y2(y+ 6)2

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−−−−0++−−++6531$

Таким образом,

y ∈ (−∞; −6)∪(−6;− 5]∪ {−3}∪ [− 1;0)∪ (0;+ ∞).

Будем делать обратную замену по частям.

$pict$

y = −3 log2x =− 3 1 log2x= log2 8 1 x= 8

$pict$

Таким образом,

( ) ( ] { } [ ) x∈ 0;-1 ∪ 1-; 1 ∪ 1 ∪ 1;1 ∪ (1;+ ∞). 64 64 32 8 2

Ответ:

$( ) ( ] { } [ ) 0; 1 ∪ 1; 1- ∪ 1 ∪ 1 ;1 ∪ (1;+∞ ) 64 64 32 8 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#78015Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (5x2− 17x + 12) log 12 --3log-(x2−-16)---≤ log--(17x2−-16). 3 17

Показать ответ и решение

ОДЗ определяют три неравенства:

(5x2− 17x+ 12> 0, |||{ 2 x − 162 >0, |||(log3(x 2− 16)⁄= 0, log17(x − 16)⁄= 0

Решим эту систему:

( |{ 5(x − 1)(x− 152)> 0, | (x − 4)(x+ 4)> 0, ( x2− 16⁄= 1,

(| 5(x − 1)(x− 12)> 0, ||{ (x − 4)(x+ 45)> 0, | x⁄= √17, ||( √ -- x⁄= − 17

Окончательно получаем, что

x∈ (− ∞;− √17)∪ (− √17;−4)∪ (4;√17)∪ (√17;+ ∞ ),

так как очевидно, что $√ -- 17> 4.$
Применим формулу перехода к новому основанию:

logx2−16(5x2− 17x+ 12)≤ logx2− 1612,

Применим метод рационализации к логарифмической функции:

(x2− 16− 1)⋅((5x2− 17x+ 12)− 12) ≤0,

(x2− 17)(5x2− 17x)≤ 0,

(x− √17)(x+ √17)5x(x − 3,4)≤ 0.

С учетом ОДЗ находим решение неравенства

$PIC$

Ответ:

$√ -- √-- x ∈(− 17;− 4)∪(4; 17)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2