16.01 Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

Каждый год сумма кредита увеличивается на 25%, то есть в раза.

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за рублей. В первые 3 года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть по рублей. Платежи в 4 и 5 года равны, обозначим их за рублей.

Так как за 5 лет долг полностью погашен, то долг после пятого платежа равен 0, поэтому получаем

Тогда общая сумма платежей за 5 лет в рублях равна

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Каждый год сумма кредита увеличивается на 25%, то есть в раза.

Составим таблицу, обозначив сумму кредита за рублей. В первые 3 года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть по рублей. Платежи в 4 и 5 года равны, обозначим их за рублей.

Так как за 5 лет долг полностью погашен, то долг после пятого платежа равен 0, поэтому получаем

Тогда общая сумма платежей за 5 лет в рублях равна:

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, обозначив за руб. сумму кредита, за руб. — ежегодный платеж, а за — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

Мы знаем, что Преобразуем правую часть:

Заметим, что за три года банку заплатили рублей, тогда Подставим это в выражение для

Тогда за три года банку заплатили

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, обозначив за руб. сумму кредита, за руб. — ежегодный платеж, а за — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

Мы знаем, что Преобразуем правую часть:

Заметим, что за три года банку заплатили рублей, тогда Подставим это в выражение для

Тогда за три года банку заплатили

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, обозначив за руб. сумму кредита, за руб. — ежегодный платеж, а за — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

Мы знаем, что Преобразуем правую часть:

Заметим, что за три года банку заплатили рублей, тогда Подставим это в выражение для

Тогда за три года банку заплатили

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.

Общая сумма выплат равна

Следовательно, наибольшее целое значение равно 36.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть на первом заводе рабочие трудились часов, тогда завод за неделю выпустил единиц продукции. Пусть на втором заводе рабочие трудились часов, тогда завод за неделю выпустил единиц продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины

Так как заработная плата в час составляет 200 и 300 рублей на первом и втором заводах соответственно, то

Выразим и подставим в уравнение:

Данное квадратное относительно уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

Отсюда получаем, что

Cледовательно, так как потому что это количество продукции. Значит, наибольшее возможное — это

Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для и Это нужно сделать, так как и — количество продукции.

При дискриминант следовательно,

Значит,

Таким образом, проверка удалась и ответом является

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято млн рублей в кредит. Обозначим величину так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

Тогда по условию получаем

Значит, в кредит планируется взять 1,45 млн рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято млн рублей в кредит. Обозначим величину так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

Тогда по условию получаем

Значит, в кредит планируется взять 1 млн рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.

Пусть в банке взято млн рублей в кредит. Обозначим величину так как кредит берется под 4%. Тогда можно составить таблицу:

Найдем сумму платежей. Они составляют арифметическую прогрессию, поэтому имеем:

Тогда по условию имеем:

Значит, в кредит планируется взять 1,2 млн рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — число лет, на которое взят кредит. Пусть млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 10%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,1 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на часть, то есть на млн рублей.

Составим таблицу:

Таким образом, общая сумма выплат составляет

Так как общая сумма выплат по условию равна 27 млн рублей, то имеем:

Таким образом, кредит планируется взять на 9 лет.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — число лет, на которое взят кредит. Пусть млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,25 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на часть, то есть на млн рублей.

Составим таблицу:

Таким образом, общая сумма выплат составляет

Так как общая сумма выплат равна по условию равна 27 млн рублей, то имеем:

Таким образом, кредит планируется взять на 3 года.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — число лет, на которое взят кредит. Пусть млн рублей.

Так как годовой процент в банке равен 20%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на 0,2 от долга на конец предыдущего года. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на часть, то есть на млн рублей.

Составим таблицу:

Таким образом, общая сумма выплат составляет

Так как общая сумма выплат равна по условию равна 17,5 млн рублей, то имеем:

Таким образом, кредит планируется взять на 14 лет.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.

Общая сумма выплат равна

Следовательно, наибольшее целое значение равно 29.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть планируется взять в кредит рублей. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за и и составим таблицы для обоих случаев. Если кредит будет выплачиваться 4 года, то получаем следующее:

Тогда после последнего платежа долг будет равен

Если кредит будет выплачиваться 2 года, то получаем следующее:

Тогда после последнего платежа долг будет равен

Приравняем правые части полученных уравнений:

Сделаем подстановку и найдем

Тогда

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть планируется взять в кредит рублей. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за и и составим таблицы для обоих случаев. Если кредит будет выплачиваться 4 года, то получаем следующее:

Тогда после последнего платежа долг будет равен

Если кредит будет выплачиваться 2 года, то получаем следующее:

Тогда после последнего платежа долг будет равен

Приравняем правые части полученных уравнений:

Сделаем подстановку и найдем

Тогда

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Обозначим размер кредита за тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты за 2030 и 2031 год за (из условия они равны).

Обозначим за

Из условия в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 630 тысяч рублей, то есть равным

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1) значение в столбце «Выплата» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;

2) сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 5 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

Известно, что общий размер выплат, то есть сумма по столбцу «Выплата», составит 915 тыс. рублей. Запишем это в виде уравнения:

Подставим сюда

Домножим обе части уравнения на

Найдем дискриминант:

Тогда

Заметим, что

Значит,

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Если — количество начисляемых процентов, то после начисления процентов сумма долга умножается на коэффициент, равный

Составим таблицу (ведя все вычисления в тыс. рублей):

Так как после второй выплаты долг банку должен быть равен нулю, то получаем уравнение

Найдем его дискриминант:

Тогда так как в силу и отрицательный корень мы не рассматриваем, то имеем:

Таким образом,

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть первые 5 лет долг уменьшался на тысяч рублей. Так как через 5 лет долг стал 800 тысяч рублей, то начальная сумма была равна тысяч рублей. При уменьшении долга на одну и ту же сумму каждый год выплачиваются начисленные в этот год проценты и сумма ежегодного уменьшения долга.

Проследить за изменением долга можно по этой таблице:

Общая сумма выплат равна

По условию же она равна 2090 тысяч рублей. Значит,

В итоге начальная сумма кредита равна тысяч рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2026 по 2030 годы, а тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2031 по 2035. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

Из таблицы следует, что Тогда откуда

Так как сумма всех платежей равна 1250 тыс. рублей, то

Тогда

Следовательно, из следует, что

Тогда платеж в 2035 году составит

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.