Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения величины

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2417Максимум баллов за задание: 2

Мебельная фирма производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется $1 м2 3$ древесно-стружечной плиты, $8 м2 3$ сосновой доски и $1 3$ человеко-часа. Аналогичные данные для серванта даются числами: $1 м2 2$ древесно-стружечной плиты, $3 м2$ сосновой доски и 1 человеко-час.

Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 6000 рублей, от серванта — 16000 рублей. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются $45 м2$ древесно-стружечной плиты, $330 м2$ сосновых досок и 80 человеко-часов.

Какова максимальная ожидаемая месячная прибыль? Ответ дайте в млн рублей.

Показать ответ и решение

Пусть в течение месяца изготовили $y$ шкафов и $x$ сервантов. Тогда прибыль в тыс. рублей составит $P = 6y+ 16x$ . Так как на изготовление шкафов и сервантов не может быть потрачено больше плит, досок и человеко-часов, чем имелось, то должно быть выполнено:

( 1 1 ||||y ⋅3 + x ⋅2 ≤ 45 ( |{ 8 |{2y+ 3x≤ 270 ||y ⋅3 + x ⋅3 ≤ 330 ⇔ |(8y+ 9x≤ 990 |||( 1 y+ 3x ≤240 y ⋅3 + x ≤80

Следовательно, при выполнении этих условий (системы) необходимо найти наибольшее значение для $P$ .

Графиком данной системы является область с границей, изображенная на рисунке (учитывая, что $x,y ≥ 0$ , так как это количество изделий):

$PIC$

Причем сразу заметим, что $x,y$ также должны принимать только целые значения.
Таким образом, необходимо найти такую точку из данной области, в которой значение функции $P(x,y) =6y +16x$ будет наибольшим.

1) Докажем сначала, что наибольшее значение функция $P$ будет принимать точно на границе $CABD$ области.
Действительно, возьмем точку $Q(x;y)$ внутри области (или на $CO,OD$ ). Заметим, что при увеличении $x$ или $y$ значение функции $P$ будет увеличиваться.
Так как $Q$ находится внутри области, то все точки, находящиеся на отрезках $QQx$ и $QQy$ ( $QQx ∥ Ox$ , $QQy ∥ Oy$ ), а также между этими отрезками и границей области, будут иметь большие координаты по $x$ или по $y$ , чем $Q$ . Следовательно, в них значение функции $P(x,y)$ будет больше, чем в точке $Q$ . Таким образом, для любой точки внутри области найдется всегда точка на границе, в которой значение функции $P$ будет больше.
Следовательно, будем искать точку, в которой значение $P$ максимально, на границе $CABD$ .

2) Заметим, что эта граница области разбивается на отрезки: $CA, AB,BD$ .
Найдем координаты точек $A,B, C,D$ : $A (30;90)$ , $B(70;30)$ , $( 495) C 0;-4-$ , $D(80;0)$ .
Рассмотрим каждый из отрезков по отдельности.

Отрезок $CA$ .
Это часть прямой $8y +9x = 990$ при $y ∈ [90; 495] 4$ . Выразим $x = 110 − 8y 9$ и подставим в $P$ :

P = 1760− 74y ≤ 1760 − 74-⋅90= 1020. 9 9

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1020$ тыс. рублей.

Отрезок $AB$ .
Это часть прямой $2y +3x = 270$ при $y ∈ [30;90]$ . Выразим $2 x =90 − 3y$ и подставим в $P$ :

14 14- P = 1440− 3 y ≤ 1440 − 3 ⋅30= 1300.

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1300$ тыс. рублей.

Отрезок $BD$ .
Это часть прямой $y +3x = 240$ при $x∈ [70;80]$ . Выразим $y = 240 − 3x$ и подставим в $P$ :

P = 1440 − 2x ≤ 1440 − 2 ⋅70 = 1300.

Следовательно, наибольшее значение $P$ – это $1300$ тыс. рублей.

Таким образом, наибольшее значение $P$ достигается на отрезках $AB$ и $BD$ , а именно в точке с координатами $x = 70$ и $y = 30$ .
Следовательно, в млн. рублей наибольшая прибыль равна 1,3.

Ответ: 1,3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#12947Максимум баллов за задание: 2

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна $t 2$ тыс. рублей в конце каждого года $t,$ где $t= 1,2,...$ Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. После того, как деньги положены в банк, в конце каждого из следующих лет банк будет увеличивать сумму, находящуюся на счете, в $3n−1⋅r$ раз, где $r$ — некоторое положительное число, а $n$ — номер текущего года. Так, например, если средства будут положены в банк в конце 3-го года, то в в конце 4-го года банк увеличит сумму в $33⋅r$ раз, в конце пятого — в $34⋅r$ раз и так далее. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 3-го года, то в конце 8-го года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число $r.$

Показать ответ и решение

Когда фонд владеет акциями, их стоимость увеличивается в конце каждого года ровно в 2 раза. Если же фонд в конце $(n− 1)$ -го года продал акции и положил вырученные деньги на счет в банк, то на конец следующего года сумма вклада увеличилась ровно в $3n−1 ⋅r$ раз. Фонд хочет продать акции, положить вырученные деньги на счет и на конец 8-го года получить максимальную прибыль при каком-то фиксированном положительном $r.$ Для этого он продал акции в конце 3-го года. Формулировка «именно в конце 3-го года» подразумевает, что при продаже в любой другой момент прибыль была строго меньшей, то есть максимум единственен.

Фонду нет смысла продавать акции до тех пор, пока ежегодный множитель банка не превысит их собственный ежегодный множитель, равный 2. Значит, если фонд продал акции именно в конце третьего года, то множитель банка до третьего года включительно был строго меньше 2, то есть

2> 33−1⋅r = 32⋅r

С другой стороны, если фонд продал акции в конце какого-то года, то в конце следующего множитель банка будет строго больше 2, ведь иначе было бы выгоднее отложить продажу еще на один год. Так как фонд продал акции именно в конце третьего года, то

2< 34−1⋅r = 33⋅r

Мы получили систему из двух неравенств:

$pict$

Значит, $( ) r ∈ -2; 2 . 27 9$

Ответ:

$( 2- 2) r ∈ 27;9$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#20063Максимум баллов за задание: 2

Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Показать ответ и решение

Пусть Сергей откладывает в середине каждого месяца $x$ рублей. К середине $n$ -го месяца у Сергея скопится $nx$ рублей, а акции будут стоить не более $160000⋅1,25n−1$ рублей. Для того чтобы Сергей смог купить пакет акций в этом месяце, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $n−1 x ≥ 160000⋅1,25---. n$ Положим $n−1 an = 160000-⋅1,25---. n$ Для того чтобы Сергей смог через некоторое время купить пакет акций, необходимо и достаточно откладывать сумму большую либо равную наименьшему из чисел $an.$ Сравним два последовательных таких числа. Для этого вычислим их отношение: $an+1 1,25n- --125n--- an = n+ 1 = 100n +100.$ Отсюда получаем, что при $n< 4$ верно $an+1 < an,$ а при $n ≥4$ верно $an+1 ≥ an.$ Значит, наименьшим из чисел $an$ будет число $3 a4 = 160000⋅1,25-= 78125. 4$ Поэтому наименьшая сумма, которую нужно откладывать Сергею, равна 78125 рублей.

Ответ: 78125 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2