Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.06 Треугольник: площадь и периметр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2581Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведен отрезок $AD,$ причем $D ∈ BC$ и $BD = 4.$ Найдите площадь треугольника $ABD,$ если $∠C = 90∘,$ $AC = 5.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BC,$ то отрезок $AC$ — высота тупоугольного треугольника $ABD,$ опущенная из вершины $A$ на продолжение стороны $BD.$ Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то

1 1 SABD = 2 ⋅BD ⋅AC = 2 ⋅4⋅5= 10

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2582Максимум баллов за задание: 1

Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ равна 90, боковая сторона равна $10√3.$ К основанию $AB$ и стороне $BC$ проведены соответственно высоты $CP$ и $AH,$ пересекающиеся в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $CDH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

√- CA = CB = 10 3

Тогда имеем:

√- SABC =0,5⋅CB ⋅AH = 90 ⇒ AH = 6 3

Из треугольника $HCA$ по теореме Пифагора:

∘ ---------- √- CH = CA2 − AH2 = 8 3

Так как $CP$ — высота равнобедренного треугольника $ABC,$ проведенная к основанию $AB,$ то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из треугольника $HCA :$

√ - DH--= DA- ⇒ DH√--= (6--3−√-DH-) CH CA 8 3 10 3

Отсюда получаем

√- 8-3- DH = 3

Следовательно, так как треугольник $CDH$ прямоугольный, то искомая площадь равна

SCDH = 0,5 ⋅CH ⋅DH = 32

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#74359Максимум баллов за задание: 1

Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ с основание $BC$ равен $40,$ а периметр равностороннего треугольника $BCD$ равен $45.$ Найдите $AB.$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с осованием $BC,$ то $AC = AB.$
По условию, треугольник $BCD$ — равносторонний. Пусть сторона этого треугольника равняется $x.$ Тогда периметр тругольника $P1 = CB + DB + DC = 45,$
$x +x + x= 45,$
$3x =45,$
$x = 15.$
Сторона треугольника $BCD$ равняется 15.

$PIC$

Периметр треугольника $ABC :$

P2 = AC + AB +BC = 40,

2AC = 40− 15= 25,

15 AC = 2 = 12,5.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#74361Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите боковую сторону треугольника. Ответ дайте в см.

Показать ответ и решение

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x.$ Тогда основание $BC = x− 2,$ но с другой стороны, основание $BC = 2x− 3.$

$PIC$

Решаем уравнение:
$2x − x = 2+ 3,$
$x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#74510Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 7,$ $BC = 12,$ $sin B = 0,3.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По формуле площади треугольника

1 S△ABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠ABC = 1 = 2 ⋅7⋅12⋅0,3 =12,6.

Ответ: 12,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74511Максимум баллов за задание: 1

Стороны треугольника равны $13,14,15.$ Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Воспользуемся формулой Герона:

S△ABC = ∘p-⋅(p−-AB)⋅(p−-AC-)⋅(p-− BC-).

Полупериметр:

13+-14-+-15- p = 2 = 21,

∘ --------------------------- S△ABC = 21⋅(21 − 13)⋅(21− 15) ⋅(21− 14)=

√ -------------- = 3⋅7⋅4⋅2 ⋅2 ⋅3⋅7= 3⋅2⋅7 ⋅2 = 84.

Ответ: 84

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#17297Максимум баллов за задание: 1

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$aahh1221 ====?221185$

Пусть $h1$ — высота, опущенная на сторону длины 21, а $h2$ — высота, опущенная на сторону длины 28, тогда длина $h2$ равна 15. Мы можем посчитать площадь треугольника двумя способами:

S = 1a1⋅h1 = 1a2 ⋅h2 2 2

Подставим известные значения:

1 1 S = 2 ⋅21⋅h1 = 2 ⋅28⋅15

Из полученного равенства выразим $h1 :$

h1 = 28⋅15= 20 21

Значит, длина меньшей высоты равна 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137431Максимум баллов за задание: 1

Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$aahh1221 ====?111580$

Пусть $h1$ — высота, опущенная на сторону длины 15, а $h2$ — высота, опущенная на сторону длины 18, тогда длина $h2$ равна 10. Мы можем посчитать площадь треугольника двумя способами:

S = 1a1⋅h1 = 1a2 ⋅h2 2 2

Подставим известные значения:

1 1 S = 2 ⋅15⋅h1 = 2 ⋅18⋅10

Из полученного равенства выразим $h1 :$

h1 = 18⋅10= 12 15

Значит, длина меньшей высоты равна 12.

Ответ: 12