.00 №17 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан ромб 
Точки 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно.
Проведены 
и 
таким образом, что они пересекают диагональ 
в
точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что сумма площадей треугольников 
и 
равна
площади треугольника 
б) Известно, что в 
можно вписать окружность. Найдите радиус этой
окружности, если сторона ромба равна 
Источники:
а) Так как 
— ромб, то диагонали точкой пересечения делятся
пополам.
Пусть 
— точка пересечения диагоналей, тогда 
В треугольнике 
точка 
— точка пересечения медиан, следовательно,
В треугольнике 
точка 
— точка пересечения медиан, следовательно,
Пусть 
Из того, что 
получаем:
Проведем диагональ 
Обозначим площадь ромба 
за 
Так как диагональ ромба разбивает его на два равных треугольника, то
Далее, треугольники 
и 
имеют общую высоту из
вершины 
тогда их площади относятся как длины оснований, к которым
проведена эта высота. Отсюда получаем:
Так как точка 
— точка пересечения медиан треугольника 
то
Аналогично, так как точка 
— точка пересечения медиан треугольника
то 
Кроме того, треугольники 
и 
имеют общую высоту из вершины
а также треугольники 
и 
имеют общую высоту из вершины 
Отсюда получаем:
Из этого следует искомое равенство:
б) По условию в пятиугольник 
можно вписать окружность. Значит, в
четырехугольник 
вписана та же окружность, так как точка 
— точка
пересечения продолжений сторон пятиугольника 
и 
Кроме того, та же
окружность вписана в треугольник 
По свойству вписанной в четырехугольник окружности имеем:
Выразим отрезок 
и подставим известные значения:
Треугольник 
прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются
под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:
Точка 
делит диагонали пополам, как точка пересечения диагоналей ромба.
Значит,
Треугольник 
прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются
под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:
В треугольнике 
медианы 
и 
пересекаются в точке 
следовательно, 
Из этого получаем равенство:
Найдем площадь треугольника 
Найдем полупериметр треугольника 
Из формулы 
площади треугольника найдем радиус вписанной
окружности:
б) 4
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
