№17 из ЕГЭ 2025
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Источники:
а) Обозначим вершины 
трапеции так, чтобы 
было меньшим
основание, 
— большим основанием.
Пусть 
а также 
Выполним дополнительное
построение: через вершину 
параллельно 
проведем прямую до пересечения
с 
в точке 
Заметим, что 
— параллелограмм по определению, а значит,
Таким образом, мы получили, что 
Рассмотрим треугольник 
Заметим, что в нем 
Действительно,
Таким образом, по обратной теореме Пифагора 
является
прямоугольным, то есть 
Но так как данный угол получен в
результате параллельного переноса одной из диагоналей, то диагонали тоже
перпендикулярны.
б) Опустим высоту 
трапеции на прямую, содержащую основание 
Заметим, что данная высота является ещё и высотой в прямоугольном
треугольнике 
Площадь 
с одной стороны, равна 
а с другой стороны,
равна 
Тогда получаем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции 
точка 
— середина основания 
точка 
—
середина боковой стороны 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке
a) Докажите, что площади четырёхугольника 
и треугольника 
равны.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника 
к площади
трапеции 
если 
Источники:
а) Продлим 
до пересечения с прямой 
в точке 
Заметим, что
как вертикальные, 
как накрест лежащие при
параллельных прямых 
и 
и секущей 
по условию. Тогда
треугольники 
и 
равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности,
и 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
следовательно, 
Значит, 
— трапеция.
Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции и её боковыми сторонами, являются равновеликими, то есть имеют одинаковую площадь.
Пусть в трапеции 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
Тогда
В трапеции 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
Тогда
Таким образом,
б) В предыдущем пункте мы доказали, что 
Тогда
найдем отношение площади треугольника 
к площади трапеции
Также мы доказали равенство треугольников 
и 
значит, равны и
их площади. Тогда
Значит, нам нужно найти отношение площадей треугольников 
и 
Такое отношение равно отношению их сторон 
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
как
вертикальные и 
как накрест лежащие, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Значит, 
по двум углам. Запишем отношение подобия:
Тогда 
Значит,
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
