.00 №17 из ЕГЭ 2022

а) Докажем лемму.

Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности, .

Рассмотрим произвольный треугольник . Пусть его вписанная окружность касается сторон , и в точках , и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому , и .

Тогда можем составить систему:

__________________________________________________________________________________________________

Вернемся к задаче. По доказанной лемме . Тогда если , отрезок меньше половины , и точка лежит между точками и . Значит,

Если , то отрезок больше половины , и точка лежит между точками и . Значит,

Если , то точки и совпадают, следовательно,

В любом случае мы получили, что

б) Рассмотрим треугольник . По условию — середина стороны . Тогда , значит, треугольник прямоугольный, то есть .

Пусть и — точки касания вписанной окружности треугольника и его сторон и соответственно. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, значит, , и .

Пусть — центр вписанной окружности, тогда и . Рассмотрим четырехугольник . Его углы , и равны , значит, — прямоугольник. , следовательно, — квадрат. Значит, , где — радиус вписанной окружности .

По условию , значит, точка лежит между точками и . Тогда . По условию . Пусть . Заметим, что

Тогда в треугольнике стороны равны , и . Запишем теорему Пифагора:

Решим полученное квадратное уравнение относительно :

Тогда и , значит,