.00 №17 из ЕГЭ 2022

а) Обозначим В равнобедренной трапеции имеем:

Так как то четырехугольник — трапеция. По условию значит, трапеция является равнобедренной. Тогда, так как то

Тогда

Также

Тогда по сумме углов треугольника

Что и требовалось доказать.

б) Мы в предыдущем пункте доказали, что значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

Пусть Тогда, так как по условию то Но трапеция равнобедренная, поэтому и

Трапеция — равнобедренная, поэтому

Теперь, заметим, что если мы найдем то сможем найти все стороны трапеции и вычислить ее площадь. Значит, нужно найти

В равнобедренной трапеции мы смогли выразить все стороны через По условию нам дана ее площадь. Заметим, что равнобедренная трапеция является вписанным четырехугольником, следовательно, мы можем найти ее площадь с помощью формулы Брахмагупты:

где и — стороны четырехугольника, а — его полупериметр.

Найдем полупериметр трапеции

Тогда

Так как по условию то имеем уравнение на

Итак, мы нашли Теперь найдем Опустим перпендикуляр из точки на сторону Из прямоугольного треугольника имеем:

Тогда посмотрим, что мы имеем в трапеции Мы знаем, что ее боковые стороны и равны 9, а

Найдем ее сторону Мы знаем, что

Заметим, что — основание равнобедренного треугольника, тогда

Таким образом,

Значит, так как — равнобедренная трапеция, то

Вычислим полупериметр трапеции

Тогда по формуле Брахмагупты