.00 №17 из ЕГЭ 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке 
причем меньшая
проходит через центр большей. Хорда 
большей окружности касается меньшей
в точке 
Хорды 
и 
пересекают меньшую окружность в точках 
и
соответственно.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Пусть 
— точка пересечения отрезков 
и 
Найдите 
если
радиус большей окружности равен 10, а 
Источники:
а) Проведем через точку 
общую касательную 
к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и
касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит,
угол между 
и 
равен вписанному углу 
Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между
и 
равен углу 
Тогда, так как точки 
и 
лежат на одной прямой, то
Таким образом, по признаку параллельных прямых 
б) Пусть 
и 
— центры большей и меньшей окружностей соответственно.
Проведем радиус 
Заметим, что 
так как радиус,
проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Опустим перпендикуляр 
на 
В равнобедренном треугольнике
отрезок 
— высота, а значит и медиана. Тогда 
По теореме Пифагора для треугольника 
Так как отрезки 
и 
— радиусы меньшей окружности, то
Рассмотрим прямоугольную трапецию 
Пусть 
— перпендикуляр к 
тогда 
— прямоугольник
и
Следовательно, по теореме Пифагора
Тогда
Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей
через точку 
относятся как их диаметры, то 
— средняя линия в
треугольнике 
Тогда 
— средняя линия в треугольнике 
и 
— средняя линия в треугольнике 
следовательно,
По теореме о произведении отрезков хорд имеем:
С учетом равенства 
получим 
следовательно,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
