.00 №17 из ЕГЭ 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
Известно, что 
На стороне
построен равносторонний треугольник 
при этом точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а) Докажите, что вокруг полученного четырехугольника 
можно
описать окружность.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника
до центра его описанной окружности.
Источники:
а) Запишем теорему косинусов для треугольника 
Так как 
то 
Тогда сумма противоположных углов четырехугольника 
равна
Значит, 
— вписанный четырехугольник.
б) Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
Заметим, что 
— биссектриса угла 
так как вписанные углы 
и 
опираются
на равные дуги. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике 
имеем:
Значит, с учетом 
получаем
Пусть 
— центр описанной окружности 
Тогда 
— точка
пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника 
Пусть 
— одна из высот. Тогда имеем:
При этом 
— середина 
то есть 
Значит,
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда искомое расстояние равно
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
