17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет

а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке Пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на

Заметим, что Тогда

Так как а то — середина

Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

Прямые и перпендикулярны прямой а значит параллельны. Тогда по теореме Фалеса для угла

Таким образом, в два раза меньше Значит, Но в ромбе тогда имеем:

б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда имеем:

Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла

Отсюда получаем

Значит,

Мы знаем, что

Тогда окончательно имеем:

а) Пусть прямая из условия пересекает в точке а — в точке пусть — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту на

Заметим, что Тогда

Так как а то — середина

Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

По теореме Фалеса для угла и параллельных прямых и (обе эти прямые перпендикулярны )

Таким образом, в два раза меньше Значит, Значит,

Четырехугольник — прямоугольник. Тогда следовательно,

б) Заметим, что

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

Значит, так как то по формуле косинуса двойного угла

Тогда

Значит,

Пусть Тогда по теореме косинусов для треугольника

Таким образом, сторона ромба равна 6.

а) Проведем через точку общую касательную к окружностям.

Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между и равен вписанному углу

Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между и равен углу

Тогда, так как точки и лежат на одной прямой, то

Таким образом, по признаку параллельных прямых

б) Пусть и — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Проведем радиус Заметим, что так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Опустим перпендикуляр на В равнобедренном треугольнике отрезок — высота, а значит и медиана. Тогда

По теореме Пифагора для треугольника

Так как отрезки и — радиусы меньшей окружности, то

Рассмотрим прямоугольную трапецию

Пусть — перпендикуляр к тогда — прямоугольник и

Следовательно, по теореме Пифагора

Тогда

Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку относятся как их диаметры, то — средняя линия в треугольнике Тогда — средняя линия в треугольнике и — средняя линия в треугольнике следовательно,

По теореме о произведении отрезков хорд имеем:

С учетом равенства получим следовательно,

а) Вписанный угол равен так как опирается на диаметр Вписанный угол равен так как опирается на диаметр Таким образом, накрест лежащие углы и образованные прямыми и и секущей равны. Следовательно, прямые и параллельны.

б) Пусть — середина Тогда — центр окружности с диаметром Проведем радиус к точке касания. Получим, что

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий. Пусть Запишем отношение подобия:

Таким образом,

Из отношения подобия треугольников и

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем по теореме Пифагора

Тогда

— трапеция, и — ее диагонали, а — их точка пересечения. Значит, Тогда

а) Проведем через точку общую касательную к окружностям.

Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между и равен вписанному углу

Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между и равен вписанному углу

Тогда, так как точки и лежат на одной прямой, то

Таким образом, по признаку параллельных прямых

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий, а как соответственные при параллельных прямых и и секущей Запишем отношение подобия:

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам: — общий, а как соответственные при параллельных прямых и и секущей Запишем отношение подобия:

Таким образом,

б) Пусть По условию В предыдущем пункте мы доказали, что следовательно, Тогда

Пусть и — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Пусть — перпендикуляр к В равнобедренном треугольнике отрезок — это высота, а значит и медиана. Тогда Таким образом,

Заметим, что радиус большей окружности равен диаметру меньшей, то есть

Запишем теорему Пифагора для треугольника

Таким образом,

Проведем Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

Пусть — перпендикуляр к Тогда — прямоугольник, следовательно,

Заметим, что

Тогда по теореме Пифагора для треугольника

Найдем

Таким образом,

а) Пусть — центр окружности. Продлим до пересечения с Пусть это точка Рассмотрим четырехугольник В нем так как — радиус окружности, а — касательная; по условию.

Найдем угол Так как он вписанный, опирающийся на диаметр то

Следовательно, — прямоугольник, то есть

Таким образом, — высота в равнобедренном треугольнике а значит и медиана. Имеем Следовательно,

б) Расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника проведенной из точки к

Треугольник — равнобедренный, а значит высоты, проведенные к его боковым сторонам, равны. Таким образом, расстояние от точки до прямой равно высоте треугольника проведенной из точки к

Точка лежит на прямой которая параллельна следовательно, расстояние от точки до равно расстоянию между параллельными прямыми и а это и есть

Значит, расстояние от точки до равно

По теореме о касательной и секущей имеем:

Следовательно, расстояние от точки до равно 4.

а) Запишем теорему косинусов для треугольника

Так как то

Тогда сумма противоположных углов четырехугольника равна

Значит, — вписанный четырехугольник.

б) Пусть — точка пересечения диагоналей и Заметим, что — биссектриса угла так как вписанные углы и опираются на равные дуги. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:

Значит, с учетом получаем

Пусть — центр описанной окружности Тогда — точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника Пусть — одна из высот. Тогда имеем:

При этом — середина то есть Значит,

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Тогда искомое расстояние равно

а) Проведем отрезки и Рассмотрим треугольник По условию то есть он равнобедренный. Тогда его медиана также является высотой и биссектрисой. Значит,

Рассмотрим треугольник По условию то есть он равнобедренный. Тогда его медиана также является высотой и биссектрисой. Значит,

Таким образом, в четырехугольнике углы, опирающиеся на сторону равны, следовательно, — вписанный, то есть точки и лежат на одной окружности.

б) Пусть — точка пересечения и — точка пересечения и Тогда требуется найти модуль косинуса угла

Рассмотрим четырехугольник Он вписанный, так как сумма его противоположных углов равна

Значит, по свойству вписанного четырехугольника

Углы и равны как вертикальные.

По сумме углов треугольника имеем

Таким образом,

Мы уже знаем, что и — биссектрисы углов и треугольника соответственно. Значит,

Так как сумма двух углов треугольника меньше то угол острый и модуль его косинуса равен его косинусу. Тогда далее будем искать косинус угла

Теперь проанализируем треугольник По условию в нем Заметим, что

Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, — прямоугольный, где

Пусть Тогда

Таким образом,

По формуле косинуса суммы

Треугольник — прямоугольный, значит,

Тогда

По основному тригонометрическому тождеству

Следовательно,

а) Пусть и — середины сторон и Заметим, что и — точки касания вписанной окружности и квадрата.

Пусть — точка касания вписанной окружности с прямой Тогда отрезки касательных и проведенных из точек к вписанной окружности, равны, то есть Аналогично Тогда

б) Пусть — центр вписанной окружности, — точка пересечения прямых и

Рассмотрим треугольники и В них углы и равны как вертикальные, углы и равны как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей отрезки и равны, так как — центр вписанной окружности квадрата, то есть и его центр. Тогда по стороне и прилежащим к ней углам треугольники и равны.

Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому Таким образом,

Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: — общий, Тогда имеет место отношение

Пусть Тогда то есть Значит, Следовательно,

Пусть Тогда Таким образом,

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника

В таком случае

Тогда

Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: как вертикальные, Запишем отношение подобия:

Таким образом,

Тогда

Значит,

а) Найдем угол Заметим, что Углы и опираются на одну дугу, значит, По условию — биссектриса угла равного следовательно,

По условию и значит, по сумме углов в треугольнике

Найдем угол

Углы и опираются на одну дугу, значит, Рассмотрим прямоугольный треугольник По условию следовательно, по сумме углов треугольника

Тогда дуги и равны, значит, равны и хорды, стягивающие их, то есть

б) Заметим, что так как они опираются на одну дугу Тогда треугольник является равнобедренным с углами и Тогда по сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник В нем а то есть это прямоугольный треугольник c углом Значит, в треугольнике имеем а в треугольнике имеем Тогда

а) Рассмотрим четырехугольник В нем значит, четырехугольник — вписанный. Тогда внешний угол при вершине равен противолежащему углу то есть

Рассмотрим треугольник В нем значит, по сумме углов треугольника

Соответственные углы и образованы параллельными прямыми и и секущей значит,

Рассмотрим угол Он прямой, так как — высота треугольника Тогда

Мы получили, что и значит, треугольники и подобны по двум углам, следовательно, выполняется соотношение

б) Запишем теорему косинусов для треугольника

Тогда мы можем найти и

В предыдущем пункте мы доказали, что Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем имеем:

Найдем Так как является углом треугольника, то Тогда

По условию Тогда коэффициент подобия треугольников и равен

а) Рассмотрим треугольник Так как — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник По условию то есть треугольник равнобедренный. Поскольку — его биссектриса, а значит, высота и медиана, то По условию значит, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Тогда имеем:

 

б) Пусть — площадь треугольника Заметим, что — медиана треугольника значит, площади треугольников и равны, то есть

По условию значит,

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Тогда можем найти площадь треугольника

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника

Тогда искомое отношение площадей равно

 

а) По условию значит, так как — биссектриса то

Так как — параллелограмм, то Следовательно, как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда для внешнего угла треугольника имеем:

Значит, треугольники и подобны по двум углам:

б) Пусть — середина тогда имеем:

Рассмотрим треугольник По предыдущему пункту значит, треугольник — равнобедренный. Следовательно,

Рассмотрим треугольник По условию значит, Тогда точки и лежат на одной прямой, то есть

Рассмотрим треугольник В нем значит,

Рассмотрим треугольник Так как — параллелограмм, а — середина то в треугольнике можем найти сторону

По формуле тангенса двойного угла имеем:

Таким образом,

Тогда искомый отрезок равен

а) По условию значит, треугольник равнобедренный, то есть

Так как — параллелограмм, то Тогда следовательно, — биссектриса угла значит, центр вписанной окружности лежит на

б) Обозначим через тогда По теореме косинусов в треугольнике

По теореме косинусов в треугольнике с углом

Треугольник и параллелограмм имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми и и общую сторону перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма

C другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус вписанной в треугольник окружности:

a) Углы и прямые, значит, точки и лежат на окружности с диаметром

Биссектриса вписанного угла делит дугу пополам, значит, хорды и стягивающие равные дуги, равны. Отсюда с учетом теоремы Пифагора для треугольников и

б) Пусть тогда из прямоугольного треугольника

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, тогда

В прямоугольных треугольниках и

Тогда искомое отношение равно

а) По условию значит, так как — биссектриса то

Так как — параллелограмм, то Следовательно, как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда для внешнего угла треугольника имеем:

Значит, треугольники и подобны по двум углам:

Запишем соотношение сторон этих треугольников:

б) Пусть — середина тогда имеем:

Рассмотрим треугольник По предыдущему пункту значит, треугольник — равнобедренный. Следовательно,

Рассмотрим треугольник По условию значит, Тогда точки и лежат на одной прямой, то есть

Рассмотрим треугольник В нем значит,

Рассмотрим треугольник Так как — параллелограмм, а — середина то в треугольнике можем найти сторону

По формуле тангенса двойного угла имеем:

Таким образом,

Тогда искомый отрезок равен

а) Рассмотрим треугольник Так как — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник По условию то есть треугольник равнобедренный. Поскольку — его биссектриса, а значит высота и медиана, то По условию значит, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Тогда имеем:

б) Пусть — площадь треугольника Заметим, что — медиана треугольника значит, площади треугольников и равны, то есть

По условию значит,

следовательно,

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей

Значит,

Тогда можем найти площадь треугольника

следовательно,

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника

Тогда искомое отношение площадей равно

а)

Из условия известно, что

Аналогично,

Тогда

Рассмотрим треугольники и . В них

Тогда треугольники и подобны, при этом

Рассмотрим четырехугольник . Он описан около окружности, т.е. суммы длин его противоположных сторон равны:

Мы уже доказали, что , откуда получаем, что

Что и требовалось доказать.

б)

Обозначим . Так как , , имеем:

В пункте а) было доказано, что , откуда следует, что

Тогда, так как четырехугольник — описанный,

— касательная к окружности, вписанной в треугольник . Обозначим её точку касания с окружностью за . — касательная к окружности, вписанной в треугольник . Обозначим её точку касания за . Тогда по свойству касательных.

Также по свойству касательных и . Тогда

Известно, что , . Также , . Подставив эти значения, получим, что

Подставив такое значение в формулу , получим

Получили, что . Тогда

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника . Тогда его полупериметр равен

Найдем теперь его площадь по формуле Герона:

Из формулы площади через радиус вписанной окружности выразим радиус:

а) Докажем лемму.

Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности, .

Рассмотрим произвольный треугольник . Пусть его вписанная окружность касается сторон , и в точках , и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому , и .

Тогда можем составить систему:

__________________________________________________________________________________________________

Вернемся к задаче. По доказанной лемме . Тогда если , отрезок меньше половины , и точка лежит между точками и . Значит,

Если , то отрезок больше половины , и точка лежит между точками и . Значит,

Если , то точки и совпадают, следовательно,

В любом случае мы получили, что

б) Рассмотрим треугольник . По условию — середина стороны . Тогда , значит, треугольник прямоугольный, то есть .

Пусть и — точки касания вписанной окружности треугольника и его сторон и соответственно. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, значит, , и .

Пусть — центр вписанной окружности, тогда и . Рассмотрим четырехугольник . Его углы , и равны , значит, — прямоугольник. , следовательно, — квадрат. Значит, , где — радиус вписанной окружности .

По условию , значит, точка лежит между точками и . Тогда . По условию . Пусть . Заметим, что

Тогда в треугольнике стороны равны , и . Запишем теорему Пифагора:

Решим полученное квадратное уравнение относительно :

Тогда и , значит,

а) Обозначим В равнобедренной трапеции имеем:

Так как то четырехугольник — трапеция. По условию значит, трапеция является равнобедренной. Тогда, так как то

Тогда

Также

Тогда по сумме углов треугольника

Что и требовалось доказать.

б) Мы в предыдущем пункте доказали, что значит, треугольник — равнобедренный. Тогда

Пусть Тогда, так как по условию то Но трапеция равнобедренная, поэтому и

Трапеция — равнобедренная, поэтому

Теперь, заметим, что если мы найдем то сможем найти все стороны трапеции и вычислить ее площадь. Значит, нужно найти

В равнобедренной трапеции мы смогли выразить все стороны через По условию нам дана ее площадь. Заметим, что равнобедренная трапеция является вписанным четырехугольником, следовательно, мы можем найти ее площадь с помощью формулы Брахмагупты:

где и — стороны четырехугольника, а — его полупериметр.

Найдем полупериметр трапеции

Тогда

Так как по условию то имеем уравнение на

Итак, мы нашли Теперь найдем Опустим перпендикуляр из точки на сторону Из прямоугольного треугольника имеем:

Тогда посмотрим, что мы имеем в трапеции Мы знаем, что ее боковые стороны и равны 9, а

Найдем ее сторону Мы знаем, что

Заметим, что — основание равнобедренного треугольника, тогда

Таким образом,

Значит, так как — равнобедренная трапеция, то

Вычислим полупериметр трапеции

Тогда по формуле Брахмагупты