.00 №18 из ЕГЭ 2014

1) Сделаем замену . Тогда уравнение примет вид

Получили квадратное уравнение. Для того, чтобы изначальное уравнение относительно имело решения, полученное уравнение относительно должно иметь решения, то есть его дискриминант должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:

Таким образом, дискриминант для любого будет неотрицательным. Имеем корни:

2) Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

Оба уравнения в данной совокупности имеют вид

Здесь — некоторое выражение, зависящее от Исследуем такое уравнение.

График функции представляет собой корыто, ветви которого имеют наклон а дно находится на высоте

(числа и могут поменяться местами)

Следовательно, при уравнение имеет два решения, при имеет бесконечно много решений при и одно решение при при не имеет решений. Следовательно, если и — разные прямые, то необходимо

Если же прямые и совпадают, то следовательно, Тогда имеем:

Следовательно, при прямые и находятся ниже дна корыта и исходное уравнение не имеет корней.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при