Тема Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

№18 из ЕГЭ 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2137

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 (|x +2|+ |x − a|) − 5⋅(|x+ 2|+ |x− a|)+3a(5− 3a)= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2014, резерв

Показать ответ и решение

1) Сделаем замену $y = |x+ 2|+|x− a|$ . Тогда уравнение примет вид

2 y − 5y+ 3a(5− 3a)= 0.

Получили квадратное уравнение. Для того, чтобы изначальное уравнение относительно $x$ имело решения, полученное уравнение относительно $y$ должно иметь решения, то есть его дискриминант должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:

D =25 − 60a+ 36a2 = (6a− 5)2 ≥0.

Таким образом, дискриминант для любого $a$ будет неотрицательным. Имеем корни:

$pict$

2) Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности

[ |x +2|+ |x− a|=3a |x +2|+ |x− a|=5 − 3a

Оба уравнения в данной совокупности имеют вид

|x+ 2|+ |x − a|= t

Здесь $t$ — некоторое выражение, зависящее от $a.$ Исследуем такое уравнение.

График функции $f(x) =|x+ 2|+ |x− a|$ представляет собой корыто, ветви которого имеют наклон $± 2,$ а дно находится на высоте $|2 +a|:$

$xt−aattt2=== −2x|22+x+−a2|2−+aa$

(числа $− 2$ и $a$ могут поменяться местами)

Следовательно, при $t> |2+ a|$ уравнение $t= f(x)$ имеет два решения, при $t= |2+ a|$ имеет бесконечно много решений при $a⁄= − 2$ и одно решение при $a = −2,$ при $t< |2+ a|$ не имеет решений. Следовательно, если $t= 3a$ и $t= 5 − 3a$ — разные прямые, то необходимо

⌊( ⌊ { |{ −[3a <2 +a < 3a 3a >|2+ a| ||| 2+ a >5 − 3a ⌊ ||| {5− 3a <|2+ a| |||( [2+ a <3a − 5 ⌈a >1 |⌈ 3a <|2+ a| ⇔ ||(|{ 2+ a >3a ⇔ a < 3 5− 3a >|2+ a| |⌈ 2+ a <− 3a 4 |( 3a− 5< 2+ a <5 − 3a

Если же прямые $t= 3a$ и $t= 5− 3a$ совпадают, то $3a= 5 − 3a,$ следовательно, $5 a = 6.$ Тогда имеем:

|2+ a|= 25 > 2,5 =3a 6

Следовательно, при $a= 5 6$ прямые $t= 3a$ и $t= 5− 3a$ находятся ниже дна корыта и исходное уравнение не имеет корней.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) a∈ −∞; 3 ∪ (1;+∞ ) 4

Ответ:

$( 3) −∞; 4 ∪(1;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2141

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 (log8(x+ a)− log8(x− a)) − 12a(log8(x +a) − log8(x− a))+ 35a − 6a− 9 =0

имеет два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

1) Сделаем замену: $t =log (x +a)− log (x− a) 8 8$ , тогда уравнение примет вид

2 2 t − 12at+ 35a − 6a− 9 =0

Дискриминант данного уравнения равен

2 D = 4(a +3) ≥ 0

Следовательно, уравнение всегда имеет два (быть может, совпадающих) корня

t1 = 12a-+2a-+6 = 7a+ 3 и t2 = 12a-− 2a-− 6-= 5a− 3. 2 2

2) Запишем ответ для $x$ в общем виде. Пусть $b$ – корень уравнения $t2− 12at +35a2− 6a− 9= 0$ . Тогда, сделав обратную замену, получаем

(|| log x+-a= b { ( ) ( ) { 8 x− a 8b− 1 x =a 8b +1 log8(x+ a)− log8(x − a)= b ⇔ ||( x> a ⇔ x> |a| x> − a

При $b= 0$ коэффициент $b 8 − 1$ перед $x$ равен нулю, следовательно, уравнение системы примет вид: $0 =2a$ . Данное уравнение при $a= 0$ будет иметь бесконечно много решений, при $a ⁄=0$ не будет иметь решений. Следовательно, сама система в каждом случае (после пересечения решения уравнения с ОДЗ $x > |a|$ ) будет иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь решений.
Т.к. случай с бесконечным множеством решений нам не подходит (нам нужно два решения), то $a$ точно не равно нулю.

Таким образом, мы видим, что при каждом фиксированном $b$ мы получаем либо одно решение для $x$ (если $b⁄= 0$ ):

b x = a⋅ 8b+-1, 8 − 1

либо ни одного решения для $x$ (если $b= 0,a⁄= 0$ ).
Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы $t1 ⁄= t2 и t1 ⁄= 0,t2 ⁄= 0$ :

3 3 7a+ 3⁄= 5a − 3, 7a + 3⁄= 0,5a − 3 ⁄= 0 ⇔ a⁄= −3; −7; 5,

а также, чтобы полученные корни для $x$ удовлетворяли ОДЗ $x> |a|$ .

3) Найдем в общем виде условия, при которых корень $b x= a⋅ 8b+-1 8 − 1$ удовлетворяет ОДЗ $x> |a|$ .

⌊({ a> 0 ⌊{ | 8b+ 1 a> 0 8b+ 1 |||( 8b−-1 > 1 || b> 0 a⋅8b−-1 >|a| ⇒ ||( ⇔ ||{ |⌈{ a<b 0 ⌈ a< 0 ( 8b+-1< −1 b< 0 8 − 1

4) Подставим наши корни $t1 =7a +3$ и $t2 =5a − 3$ вместо $b$ :

{ ⌊ a> 0 || 7a+ 3> 0 ( 3) ||{ ⇔ a ∈ −∞; −7 ∪ (0;+∞ ) ⌈ a< 0 7a+ 3< 0

⌊ { a >0 || 5a− 3> 0 (3 ) || { ⇔ a∈ (− ∞;0)∪ 5 ;+ ∞ . ⌈ a <0 5a− 3< 0

Пересекая данные решения между собой и с $3 3 a⁄= −3; −7; 5$ (найденные во 2-ом пункте), получим окончательный ответ

( ) ( ) a ∈(−∞; −3)∪ −3;− 3 ∪ 3;+ ∞ . 7 5

Ответ:

$a ∈(−∞; −3)∪ (−3;− 3)∪ (3;+∞ ) 7 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2140

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

( )2 ( ) x + -1--- − (a+ 9) x + -1--- +2a(9− a)= 0 x− a x− a

будет иметь четыре различных решения.

Источники: ЕГЭ 2014, резерв

Показать ответ и решение

1) Сделаем замену: $x + -1-= t x−a$ . Полученное уравнение

2 t − (a+ 9)t+ 2a(9− a)= 0

по теореме Виета имеет два (может быть, совпадающих) корня

t1 =9 − a и t2 = 2a.

Заметим, что для того, чтобы исходное уравнение имело четыре решения, необходимо, чтобы полученное уравнение относительно $t$ имело два различных решения. Следовательно,

9− a⁄= 2a ⇔ a⁄= 3

2) Сделаем обратную замену:

⌊ ( [ |x+ x-1− a-= 2a |{ x2− 9x− a2+ 9a+ 1= 0 || ⇔ x2− 3ax+ 2a2+ 1= 0 ⌈ --1-- |( x⁄= a x+ x − a = 9− a

Следовательно, каждое из двух полученных квадратных уравнений должно иметь два различных корня, не равные $a$ , причем все четыре этих корня должны быть различны.

а) Значит, во-первых, у уравнений должны быть положительные дискриминанты:

{D = 4a2− 36a+ 77> 0 ( ) ( ) 1 2 ⇔ a∈ (−∞; −2)∪ 2; 7 ∪ 11-;+ ∞ D2 = a − 4> 0 2 2

б) Во-вторых, $x= a$ не должно являться корнем ни одного из двух уравнений, то есть

{ 2 2 a − 9a− a + 9a+ 1⁄= 0 ⇔ a ∈ ℝ a2 − 3a2+ 2a2+ 1⁄= 0

в) В-третьих, ни один корень одного уравнения не должен совпадать ни с одним корнем второго уравнения. Найдем значения $a$ , при которых уравнения имеют одинаковый корень $x0$ :

x20− 9x0− a2 +9a +1 = x20− 3ax0 +2a2+ 1 ⇔ (a− 3)(x0− a)= 0

Таким образом, либо $a$ должно быть равно $3$ (но это значение параметра мы исключили в 1-ом пункте решения), либо этот общий корень должен быть равен $a$ (это мы также проверили в б)).

Следовательно, учитывая $a ⁄= 3$ , получаем окончательный ответ

( ) ( ) a∈ (− ∞;− 2) ∪(2;3)∪ 3; 7 ∪ 11;+∞ 2 2

Ответ:

$a ∈(−∞; −2)∪ (2;3)∪ (3; 7) ∪(11;+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2138

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

|3sinx + a2 − 22| + |7 sin x + a + 12| ≤ 11 sin x + |a2 + a − 20| + 11

выполнено для всех значений $x$ .

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна, резерв

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $sin x + 1 = t$ , следовательно, $t ∈ [0;2]$ . Тогда неравенство примет вид:

|3t + a2 − 25| + |7t + a + 5| ≤ 11t + |a2 + a − 20|

Заметим, что при раскрытии модулей в левой части (на соответствующем промежутке) коэффициент перед $t$ (в левой части) будет равен либо $7 + 3 = 10$ , либо $7 − 3 = 4$ , либо $3 − 7 = − 4$ , либо $− 3 − 7 = − 10$ . В любом случае при переносе данного слагаемого в правую часть и приведении подобных слагаемых коэффициент перед $t$ (в правой части) будет положительным.
Например, если модули раскроются оба положительными (то есть $2 3t > − a + 25, 7t > − a − 5$ ), то неравенство для таких $t$ примет вид:

2 2 2 2 2 2 3t+a − 25+7t+a+5 ≤ 11t+ |a +a − 20 | ⇔ 0 ≤ t+ |a +a − 20 |− a − a+20 ⇔ t+ |a +a − 20|− a − a+20 ≥ 0

Следовательно, справа получается возрастающая линейная функция.

Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция $2 2 y(t) = 11t + |a + a − 20| − |3t + a − 25| − |7t + a + 5|$ всегда будет монотонно возрастающей.
Поэтому если рассмотреть неравенство в виде

y (t) = 11t + |a2 + a − 20 | − |3t + a2 − 25| − |7t + a + 5| ≥ 0,

то для того, чтобы неравенство при всех $t ∈ [0;2]$ выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функции $y(t)$ был выше оси $Ox$ . Следовательно, значение $y(0)$ (в левой точке отрезка $[0;2]$ ) должно быть неотрицательным:

11 ⋅ 0 + |a2 + a − 20| − |3 ⋅ 0 + a2 − 25| − |7 ⋅ 0 + a + 5| ≥ 0 ⇔ |a2 + a − 20| ≥ |a2 − 25 | + |a + 5|

Заметим, что $a2 − 25 + a + 5 = a2 + a − 20$ . Следовательно, данное неравенство имеет вид: $|A + B | ≥ |A | + |B |$ . Как известно, при всех $A$ и $B$ выполняется неравенство: $|A + B | ≤ |A | + |B |$ . Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

|A + B | = |A| + |B |

Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел $A$ и $B$ , хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно

2 2 AB ≥ 0 ⇒ (a − 25 )(a + 5) ≥ 0 ⇒ (a + 5) (a − 5) ≥ 0 ⇒ a ∈ {− 5} ∪ [5; +∞ ).

Ответ:

$a ∈ {− 5} ∪ [5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2139

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

(tgx + 6)2 − (a2 + 2a + 8)(tgx + 6) + a2(2a + 8) = 0

имеет ровно два различных решения на отрезке $[ ] 3π- 0; 2$ .

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна

Показать ответ и решение

Заметим, что $tgx$ – периодическая функция с периодом $π$ . Таким образом, если данное уравнение будет иметь решение на $[ ) 0; π2$ , то оно также будет иметь еще одно решение на $[ ) π; 3π2$ (в точках $π , 3π 2 2$ тангенс не определен). А вот решения из промежутка $(π;π ) 2$ не дублируются на отрезке $[ ] 0; 3π 2$ .
Таким образом, данное уравнение будет иметь два решения на отрезке $[ ] 3-π 0; 2$ в одном из двух случаев: