.00 №18 из ЕГЭ 2023

Система равносильна

Заметим, что при любом прямые и пересекаются. Назовем эту точку Следовательно, нам подойдут те значения параметра при которых прямая находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой причем эта точка не совпадает с точкой

2) ровно две точки пересечения с гиперболой причем одна из них — это точка

Изобразим подходящие положения прямой

Положения (1) и (2) — прямая касается гиперболы Найдем, при каких это происходит.

При получаем при получаем

Следовательно, положению (1) соответствует а положению (2) соответствует

Положения (3) и (4) — когда проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы и прямой Найдем для начала эти точки:

Следовательно, получаем точки и

Положение (3): прямая проходит через

Положение (4): прямая проходит через

Ответ:

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть причем это решение не совпадает с

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть причем одно из этих решений совпадает с

Найдем Найдем также абсциссу вершины параболы — это

Тогда первый случай задается условиями

Второй случай задается условиями

Ответ: