№18 из ЕГЭ 2023

Система определена при На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

В координатах получаем прямую и гиперболу в области

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых и при каждом фиксированном является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой а второй раз в области ниже прямой

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая касается гиперболы если уравнение

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю:

Гипербола пересекается с прямой при

Получаем и

Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через эти точки.

Положение 3:

При этом значении параметра решением системы является точка и вторая точка пересечения гиперболы с прямой которая находится в пределах области выше прямой Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4:

При этом значении параметра решением системы является точка а вторая точка пересечения гиперболы с прямой находится в пределах области ниже прямой Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом Заметим, что при любом является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение то есть причем

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть причем меньший из этих двух корней а больший

Найдем Найдем абсциссу вершины параболы — это

Следовательно, для первого случая получаем

Второй случай выполняется, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

Эта картинка задается следующими условиями:

Следовательно, ответ

Система равносильна

Заметим, что при любом прямые и пересекаются. Назовем эту точку Следовательно, нам подойдут те значения параметра при которых прямая находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой причем эта точка не совпадает с точкой

2) ровно две точки пересечения с гиперболой причем одна из них — это точка

Изобразим подходящие положения прямой

Положения (1) и (2) — прямая касается гиперболы Найдем, при каких это происходит.

При получаем при получаем

Следовательно, положению (1) соответствует а положению (2) соответствует

Положения (3) и (4) — когда проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы и прямой Найдем для начала эти точки:

Следовательно, получаем точки и

Положение (3): прямая проходит через

Положение (4): прямая проходит через

Ответ:

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть причем это решение не совпадает с

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть причем одно из этих решений совпадает с

Найдем Найдем также абсциссу вершины параболы — это

Тогда первый случай задается условиями

Второй случай задается условиями

Ответ:

Система равносильна

Сделаем замену Тогда система примет вид

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части гиперболы лежащей выше прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят все (положение 5). При нам подходят все положения между 4 (когда горизонтальна) и 3 (когда проходит через точку ), положение 2 (когда параллельна прямой ), а также положение 1 (когда касается гиперболы), если в положении 1 параметр

п. (1)

Прямая — касательная к графику в точке если

п. (2)

Прямая параллельна прямой

п. (3)

Прямая проходит через точку если

п. (4)

п. (5)

Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно должно иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то есть то единственный корень квадратного уравнения равен Необходимо, чтобы Это выполнено. Значит, нам подходит, так как оно также удовлетворяет

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Тогда система равносильна

Заметим, что следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был а второй

Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Тогда система равносильна

Следовательно, нам не подходит.

Тогда система равносильна

Заметим, что следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был а второй

Ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Следовательно, ответ

Сделаем замену Тогда система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая параллельна прямой

Все положения между положением 2, когда прямая проходит через точку и положением 3, когда прямая проходит через точку включая положение 2.

Положение 4, когда прямая касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то

Положение 2. Прямая проходит через точку

Положение 3. Прямая проходит через точку

Положение 4. Прямая касается параболы если имеет единственное решение уравнение

Следовательно, его дискриминант

При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству так как точка касания ищется по формуле При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

 

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно должно иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший либо два корня, причем ровно один из них меньше а второй соответственно

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то При получаем — не подходит. При получаем — подходит.

Если то или Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Отсюда получаем

Следовательно, в этом случае получаем или

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше а второй соответственно

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то Но эти не удовлетворяют условию

Если то или Учитывая, что рассматриваем только Тогда а Следовательно, Следовательно, число может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

Это задается условием

Отсюда получаем

Эти значения не удовлетворяют условию

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

Система равносильна

Первое уравнение задает гиперболу, а второе уравнение задает прямую. Пусть — множество точек гиперболы лежащих выше прямой или точек прямой

Тогда нам подходят те значения параметра при которых прямая имеет две точки пересечения со множеством

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой

Получаем две точки: и

Рассмотрим ключевые положения прямой и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положение 1. Прямая проходит через точку

Положение 2. Прямая проходит через точку

Положения 3 и 4. Прямая касается гиперболы в точке

При получаем что соответствует положению 4. При получаем что соответствует положению 3.

Нам подходят положения 3 и 4, а также все положения между 1 и 2, включая положение 2.

Объединив подходящие значения параметра, получаем

 

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом Заметим, что при любом является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение то есть причем

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть причем меньший из этих двух корней а больший

Найдем Найдем абсциссу вершины параболы — это

Следовательно, для первого случая получаем

Второй случай выполняется, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

Эта картинка задается следующими условиями:

Объединив подходящие значения параметра, получаем

Система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

(1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству (так как точка касания ищется по формуле ). При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит

(2)

Прямая параллельна прямой

(3)

Прямая проходит через точку

(4)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Будем пользоваться той же заменой Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший либо два корня, причем ровно один из них меньше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то Но эти не удовлетворяют условию

Если то или Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Следовательно, в этом случае получаем

Тогда система равносильна

при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то При получаем — не подходит. При получаем — подходит.

Если то или Тогда парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

Это задается следующими условиями:

В случае не получаем никаких значений параметра.

Получается, при нам подходит только

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Следовательно, ответ

Сделаем замену Тогда система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая проходящая через начало координат плоскости имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

При прямая касается части параболы, лежащей выше прямой то есть не принадлежащей множеству (так как точка касания ищется по формуле ). При прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит

п. (2)

Прямая параллельна прямой

п. (3)

Прямая проходит через точку

п. (4)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Будем пользоваться той же заменой Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Тогда система равносильна

Число при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший либо два корня, причем ровно один из них меньше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то Но эти не удовлетворяют условию

Если то или Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

Это задается следующими условиями:

Следовательно, в этом случае получаем

Тогда система равносильна

при любом является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший либо два корня, причем ровно один из них больше (а второй соответственно ).

Дискриминант квадратного уравнения Абсцисса вершины параболы равна

Если то При получаем — не подходит. При получаем — подходит.

Если то или Тогда парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

Это задается следующими условиями:

В случае не получаем никаких значений параметра.

Получается, при нам подходит только

Тогда система равносильна

Следовательно, нам подходит.

Следовательно, ответ

Система равносильна

Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке и радиусом 3. Графиком второго уравнения является прямая.

Пусть — множество точек плоскости лежащих на прямой или на части окружности лежащей выше этой прямой. Тогда два решения система будет иметь при тех при которых прямая имеет две точки пересечения со множеством

Найдем точки пересечения окружности и прямой

Изобразим граничные положения прямой

Положения 1 и 4: прямая касается окружности Следовательно, уравнение

имеет одно решение. Значит, его дискриминант равен нулю:

Положение 2: прямая проходит через точку

Положение 3: прямая проходит через точку

Нам подходят положения 1, 2, 3, 4, а также все положения между 2 и 3. Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение и получим следующую систему

Так как замена линейная, то полученная система должна иметь два решения.

Примем число за Заметим, что является решением системы при любом Следовательно, либо квадратное уравнение должно иметь единственный корень, причем больший либо оно должно иметь два корня, причем ровно один больше (а второй, соответственно, ).

Рассмотрим параболу Выпишем необходимые данные:

1 случай. Квадратное уравнение имеет один корень Этот корень равен Значит:

2 случай. Квадратное уравнение имеет два корня: один второй Это задается следующей картинкой для параболы

Такая картинка описывается следующей системой:

Следовательно, ответ

Система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

п. (2)

Прямая проходит через точку

п. (3)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них больше (а второй ).

1.

Пусть первое уравнение имеет единственный корень, больший Это задается следующими условиями:

2.

Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один больше Это задается следующей картинкой для параболы

Это задается следующими условиями:

Следовательно, ответ

Система равносильна

Пусть — множество точек плоскости лежащих либо на части параболы лежащей ниже прямой либо на прямой

Необходимо найти те при которых прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством

Найдем точки пересечения параболы и прямой

Получаем точки и

Изобразим граничные положения прямой

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 2 и 3.

п. (1)

Прямая касается параболы если уравнение

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

п. (2)

Прямая проходит через точку

п. (3)

Прямая проходит через точку

Следовательно, ответ

Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно должна иметь 2 решения:

Нам подходят две ситуации: когда первое уравнение имеет единственный корень и когда первое уравнение имеет два корня, причем ровно один из них меньше (а второй ).

1.

Пусть первое уравнение имеет единственный корень, меньший Это задается следующими условиями:

2.

Пусть первое уравнение имеет два корня и ровно один меньше Это задается следующей картинкой для параболы

Это задается следующими условиями:

Следовательно, ответ

Перепишем уравнение в виде системы

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно две из точек вида , где принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно две точки пересечения с множеством .

Решением совокупности на плоскости является объединение двух лучей, а решением уравнения является парабола. Следовательно, множеством на плоскости будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы которые являются точками пересечения параболы и этих лучей.

Найдем точки пересечения луча и параболы

Найдем точки пересечения луча и параболы

Изобразим множество на плоскости (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками ):

Таким образом, горизонтальная прямая пересекает множество в двух точках, если и Следовательно, ответ

Уравнение на отрезке равносильно

После преобразований получаем следующую совокупность:

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим.

Найдем при которых число — хорошее:

Найдем при которых число — хорошее:

В таком случае нам подходят ситуации, когда — хорошее, — плохое, или наоборот, а также ситуация, когда — хорошее.

— хорошее, а — плохое, если

— хорошее, а — плохое, если

— хорошее, если

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

На отрезке уравнение равносильно

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. В такой терминологии нам подходят ситуации, когда среди предполагаемых решений совокупности ровно одно хорошее. Определим, когда каждое из чисел или хорошее.

— хорошее, если

— хорошее, если

— хорошее, если

Теперь рассмотрим подходящие нам комбинации.

— хорошее, — плохое:

— хорошее, — плохие:

— хорошее, — плохое:

— хорошее, — плохое:

— хорошее, — плохое:

— хорошее, — плохое:

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

Преобразуем уравнение

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. В такой терминологии нам подходят ситуации, когда среди предполагаемых решений совокупности ровно одно хорошее. Определим, когда каждое из чисел и хорошее.

— хорошее, если

— хорошее, если

— хорошее, а — плохое, если

— хорошее, а — плохое, если

и совпадают и оба при этом хорошие, если

Объединяя полученные значения параметра, получаем окончательно

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Исходное уравнение имеет один корень на отрезке если имеет единственное решение система

Заметим, что из серии предполагаемых корней в отрезок попадает только предполагаемый корень

Следовательно, найдем, при каких значениях будет иметь одно решение система

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет обоим неравенствам системы, в противном случае будем называть число плохим. Нам необходимо, чтобы ровно одно из чисел было хорошим.

— хорошее, если

— хорошее, если

Таким образом, имеем:

1.

— хорошее, — плохое, если

2.

— плохое, — хорошее, если

3.

если и тогда исходное уравнение имеет ровно один корень.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при

Сделаем замену Исследуем новую переменную:

Таким образом, при и решения будут, иначе — нет.

Рассмотрим уравнение, которое мы получаем после замены:

Введем функцию и исследуем ее. Она имеет производную Точка является точкой минимума, так как при движении слева направо производная меняет свой знак в этой точке с минуса на плюс. Следовательно, график функции выглядит следующим образом (берем часть графика для ):

То есть до функция убывает, а после — возрастает. Вершину этого графика находим из равенства

Так как — просто число при каждом фиксированном то мы должны найти такие положения горизонтальной прямой при которых имеется хотя бы одна точка пересечения с графиком функции Значит, прямая должна находиться не ниже ординаты вершины графика и не выше граничной точки

Следовательно, уравнение имеет решения (сразу учитывая, что если

Отсюда получаем ответ

Уравнение вида равносильно системе из и Таким образом, при то есть на ОДЗ, получаем

 

Получаем два предполагаемых решения

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям: принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке В противном случае, то есть когда не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число плохим.

Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа и среди них ровно одно хорошее или когда — хорошее.

1)

— хорошее, если

2)

— хорошее, если и Решим первое неравенство:

Пересекая с получаем

Получаем три подходящие нам ситуации:

• «хорошее+плохое»:

  

• «плохое+хорошее»:

  
• «хорошее+хорошее» и Совпадают они при при котором как раз они являются хорошими.

Рассмотрим квадратичный трехчлен в правой части. По теореме Виета сумма корней равна а произведение равно Следовательно, корни — это числа и Тогда уравнение можно преобразовать к виду

Уравнение равносильно

Заметим, что число не лежит в отрезке ни при каком Следовательно, его мы не рассматриваем.

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет своим ограничениям и лежит в отрезке В противном случае будем называть число плохим.

Определим, когда каждое из чисел и хорошее и плохое.

— хорошее, если

Тогда — плохое, если

— хорошее, если

Тогда — плохое, если

Нам подходят случаи, когда ровно одно из чисел и — хорошее (а второе, соответственно, плохое) или когда оба числа хорошие и совпадают.

1) — хорошее, — плохое, если

2) — плохое, — хорошее, если

3) — хорошее, если

Следовательно, ответ:

Рассмотрим квадратичный трехчлен в правой части. По теореме Виета сумма корней равна а произведение равно Следовательно, корни — это числа и Тогда уравнение можно преобразовать к виду

Уравнение равносильно

Заметим, что число не лежит в отрезке ни при каком Следовательно, его мы не рассматриваем.

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет ОДЗ и лежит в отрезке В противном случае будем называть число плохим.

Определим, когда каждое из чисел и хорошее и плохое.

— хорошее, если

Тогда — плохое, если

— хорошее, если

Тогда — плохое, если

Нам подходят случаи, когда ровно одно из чисел и — хорошее (а второе, соответственно, плохое) или когда оба числа хорошие и совпадают.

1) — хорошее, — плохое, если

2) — плохое, — хорошее, если

3) — хорошее, если

Следовательно, ответ:

Сделаем замену . Исследуем новую переменную:

Таким образом, при и решения будут, иначе — нет.

Рассмотрим уравнение, которое мы получаем после замены:

Введем функцию и исследуем ее. Она имеет производную . Точка является точкой минимума, так как при движении слева направо производная меняет свой знак в этой точке с минуса на плюс. Следовательно, график функции выглядит следующим образом (берем часть графика для ):

То есть до функция убывает, а после — возрастает. Вершину этого графика находим из равенства

Так как — просто число при каждом фиксированном а, то мы должны найти такие положения горизонтальной прямой , при которых имеется хотя бы одна точка пересечения с графиком функции . Значит, прямая должна находиться не ниже ординаты вершины графика и не выше граничной точки .

Следовательно, уравнение имеет решения (сразу учитывая, что , если

Отсюда получаем ответ