.00 №18 из ЕГЭ 2023

Система равносильна

Первое уравнение задает гиперболу, а второе уравнение задает прямую. Пусть — множество точек гиперболы лежащих выше прямой или точек прямой

Тогда нам подходят те значения параметра при которых прямая имеет две точки пересечения со множеством

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой

Получаем две точки: и

Рассмотрим ключевые положения прямой и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положение 1. Прямая проходит через точку

Положение 2. Прямая проходит через точку

Положения 3 и 4. Прямая касается гиперболы в точке

При получаем что соответствует положению 4. При получаем что соответствует положению 3.

Нам подходят положения 3 и 4, а также все положения между 1 и 2, включая положение 2.

Объединив подходящие значения параметра, получаем

 

Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки будет иметь 2 решения:

Назовем корень числом Заметим, что при любом является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение то есть причем

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть причем меньший из этих двух корней а больший

Найдем Найдем абсциссу вершины параболы — это

Следовательно, для первого случая получаем

Второй случай выполняется, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

Эта картинка задается следующими условиями:

Объединив подходящие значения параметра, получаем