Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#125971Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(4x+ |x − a|− |3x+ 1|)2− (a +1)(4x+ |x− a|− |3x+ 1|)+ 1= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y = 4x+ |x− a|− |3x+ 1|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a= 0 3x + 1= 0 1 x = a x= − 3

Раскроем модули. Для этого рассмотрим три случая: $1 a= − 3,$ $1 a <− 3$ и $a > − 1. 3$

При $a= − 1 3$ имеем

$| | | | y = 4x+ |||x+ 1|||− |3x +1|= 4x− 2|||x+ 1|||. 3 3$

Раскроем модуль:

$x−−+ 1 3$
- Если $1 x ≥− 3,$ то получаем
  $2 2 y = 4x− 2x− 3 = 2x− 3.$
- Если $1 x <− 3,$ то получаем
  $2 2 y = 4x+ 2x+ 3 = 6x+ 3.$
Построим эскиз графика этой функции при $1 a= − 3 :$

$1 22 xy−yy0==326xx−+ 33$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y = 4x + |x − a|− |3x +1|$ ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2− (a+ 1)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть $D > 0:$

$(a+ 1)2− 4 ∨0 ( 1 )2 − 3 + 1 − 4∨ 0 4 9 − 4< 0$

Следовательно, $a= − 1 3$ не подходит.
Пусть $a <− 1. 3$ Тогда у выражения $4x+ |x− a|− |3x+ 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$1 xa−−−+−++ 3$
- Если $x ≤a,$ то
  $y = 4x− x+ a+ 3x+ 1= 6x +a +1.$
- Если $1 a< x < −3,$ то
  $y = 4x+ x− a+ 3x+ 1= 8x − a +1.$
- Если $− 1 ≤ x, 3$ то
  $y = 4x+ x− a− 3x− 1= 2x − a − 1.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0a−y===13682xxx+−− aaa++−11 1$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y = 4x + |x − a|− |3x +1|$ ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2− (a+ 1)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть $D > 0:$

$(a+ 1)2− 4 >0 2 2 (a +1) − 2 > 0 (a− 1)(a +3)> 0 a∈ (−∞;− 3)∪(1;+∞ )$

Так как мы рассматриваем случай $a< − 1 , 3$ получаем:

$a∈ (− ∞;− 3).$
Пусть $a >− 1. 3$ Тогда у выражения $4x+ |x− a|− |3x+ 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−−+++ 13$
- Если $1 x ≤− 3,$ то
  $y = 4x− x+ a+ 3x+ 1= 6x +a +1.$
- Если $− 1 < x< a, 3$ то
  $y = 4x− x+ a− 3x− 1= a − 1.$
- Если $a≤ x,$ то
  $y = 4x+ x− a− 3x− 1= 2x − a − 1.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyyyy0a− ===13a62−xx+−1aa+−11$

Таким образом, в данном случае имеем:
- если $y = a − 1,$ то у уравнения $y = 4x+ |x − a|− |3x + 1|$ бесконечно много решений;
- если $y ⁄= a− 1,$ то у уравнения $y =4x +|x− a|− |3x+ 1|$ ровно одно решение.
Тогда от уравнения $2 y − (a+ 1)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от $a− 1.$
Пусть $2 f(y)= y − (a +1)y+ 1.$ Тогда получаем:

${D > 0 f(a− 1)⁄= 0 { (a+ 1)2− 4> 0 (a− 1)2− (a +1)(a− 1)+ 1⁄= 0 { (a+ 1)2− 22 > 0 a2 − 2a +1 − a2+ 1+ 1 ⁄=0 ( { (a − 1)(a+ 3)> 0 ( a⁄= 3 2 ( 3) ( 3 ) a ∈(−∞; −3)∪ 1;2 ∪ 2;+∞$

Так как мы рассматриваем случай $a> − 1 , 3$ получаем:

$( ) ( ) a∈ 1; 3 ∪ 3;+∞ . 2 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( ) ( ) a∈ (−∞;− 3)∪ 1; 3 ∪ 3 ;+ ∞ . 2 2

Ответ:

$( ) ( ) a ∈(−∞; −3)∪ 1; 3 ∪ 3;+∞ 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#126232Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 9)2 ( 9) a x+ x + 2 x + x − 49a+ 14= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = x+-9. x$ Получим уравнение

2 ay +2y − 49a+ 14= 0.

Проанализируем замену:

9 y = x+ x 2 2yx= x + 9 x − yx+ 9= 0 D = y2− 36

Таким образом, при $y = ±6$ будет ровно одно решение по $x,$ а при $|y|> 6$ будет два решения по $x.$ При этом решения будут отличны от 0, так как $2 0 − y⋅0 +9 ⁄= 0.$

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай $a =0 :$

2y+ 14= 0 y = −7

Так как $|− 7|>6,$ то при $a = 0$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

При $a⁄= 0$ рассмотрим дискриминант квадратного относительно $y$ уравнения $ay2+ 2y− 49a+ 14= 0.$

D = 4− 4⋅a⋅(−49a+ 14)= =4 +4 ⋅49a2− 56a= 2 2 = (14a)− 2 ⋅14a⋅2 +2 = = (14a − 2)2.

Если $D = 0,$ то есть $1 a = 7,$ то
$-2 -1 y = −2a = −a = −7.$
Так как $|− 7|> 6,$ то при $1 a= 7$ исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, $a= 1 7$ нам подходит.
Если $D > 0,$ то уравнение будет иметь два корня:
$y1 = −2-+14a-− 2-= 7a−-2; 2a a y2 = −2-− 14a-+2-= −7. 2a$
Таким образом, корень $y2 = −7$ обеспечит два решения по $x$ для уравнения $y = x+ 9 . x$ Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень $y 1$ по модулю должен быть меньше 6. Следовательно,
$|y1|< 6 || || ||7a−-2||< 6 a (7a-− 2)2 2 a < 6 ( )2 7a−-2 − 62 < 0 a ( 7a−-2 ) (7a−-2 ) a − 6 a +6 < 0 7a− 2− 6a 7a − 2 +6a ----a----⋅----a---- < 0 a−-2⋅ 13a-− 2-< 0 a ( a ) (a − 2) a− 2- ----------13--< 0 a2$
По методу интервалов:

$-2 a012+−++3$

Таким образом,
$( 2 ) a∈ 13-;2 .$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ 1 } (-2 ) a ∈ 0;7 ∪ 13;2 .

Ответ:

${ } ( ) a ∈ 0; 1 ∪ -2;2 7 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126315Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|| 2|| )2 (|| 2|| ) 2 x − a + |x +1| − 8 x − a + |x +1| − a + 17 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| y = x − a + |x+ 1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = ||x− a2||+|x+ 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a2 = 0 x + 1= 0 x = a2 x = −1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $a2 ≥ 0,$ поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $2 a > − 1:$

У выражения $|| 2|| x − a + |x+ 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−−+++21$

Если $x ≤− 1,$ то
$2 2 y = −x + a − x − 1= −2x − 1 +a .$
Если $− 1 < x< a2,$ то
$2 2 y = −x +a + x +1 = 1+ a.$
Если $a2 ≤ x,$ то
$y =x − a2+x + 1= 2x+ 1− a2.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−1yyya===2−21x+2x+a−12 1−+a2a2$

Таким образом,

если $y > 1+ a2,$ то у уравнения $| | y = |x − a2|+ |x + 1|$ ровно два решения;
если $2 y = 1+ a ,$ то у уравнения $| 2| y = |x− a |+|x+ 1|$ бесконечно много решений;
если $y < 1+ a2,$ то у уравнения $y = ||x− a2||+|x+ 1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y − 8y− a + 17= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $2 1 + a,$ и никакое решение уравнения не было бы равно $1 +a2.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 1+ a2 < y2$ ;
уравнение имеет один корень $2 y0 > 1+ a .$

Пусть $f(y)= y2− 8y− a2+ 17.$

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед $y2$ положителен, то функция $f$ задает параболу с ветвями вверх.

$2 yyy112+ a$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $1+ a2$ расположено между ними, равносильно условию $f (1+ a2) <0 :$

f(1+ a2)< 0 ( )2 ( ) 1+ a2 − 8 1+ a2 − a2+ 17< 0 a4+ 2a2+ 1− 8− 8a2− a2 +17 <0 a4− 7a2+ 10< 0 ( 2 )(2 ) ( )( a − 2) (a − 5 )<0( ) a− √2- a+ √2 a− √5 a+ √5 <0

Отсюда получаем $- - - - a∈ (−√ 5;− √2)∪ (√2;√5),$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $y2− 8y− a2+ 17= 0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0:$

2 64− 4(− a + 17) =0 4a2+ 64− 4⋅17= 0 a2 = 4⋅17−-64= 4= 1 ⇒ a =±1 4 4 y0 = − −8-= 4 >1 +a2 = 2 2⋅1

Тогда $a = ±1$ подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше, чем $1+ a2.$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( √- √ -) ( √- √-) a ∈ − 5;− 2 ∪ {−1;1}∪ 2; 5 .

Ответ:

$( √- √-) (√- √-) a ∈ − 5;− 2 ∪{−1;1}∪ 2; 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126316Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|| 2|| )2 (|| 2|| ) 2 x +a + |x − 1| − 8 x +a + |x − 1| + a − 17 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

|| 2|| y = x + a + |x− 1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = ||x+ a2||+|x− 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a2 = 0 x − 1= 0 x= −a2 x= 1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что $− a2 ≤ 0,$ поэтому при любом значении параметра $a$ верно, что $2 − a <1 :$

У выражения $|| 2|| x + a + |x− 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−1−−+−++ a2$

Если $x ≤− a2,$ то
$2 2 y = −x − a − x + 1= −2x +1 − a .$
Если $− a2 <x < 1,$ то
$2 2 y =x + a − x+ 1= 1+ a .$
Если $1 ≤x,$ то
$y =x + a2+x − 1= 2x− 1+ a2.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−1yyya===2−21x+2x−a+121+−a2a2$

Таким образом,

если $y > 1+ a2,$ то у уравнения $| | y = |x +a2|+ |x − 1|$ ровно два решения;
если $2 y = 1+ a ,$ то у уравнения $| 2| y = |x+ a |+|x− 1|$ бесконечно много решений;
если $y < 1+ a2,$ то у уравнения $y = ||x+ a2||+|x− 1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y − 8y+ a − 17= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $2 1 + a,$ и никакое решение уравнения не было бы равно $1 +a2.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 1+ a2 < y2$ ;
уравнение имеет один корень $2 y0 > 1+ a .$

Пусть $f(y)= y2− 8y+ a2− 17.$

$2 yyy112+ a$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $1+ a2$ расположено между ними, равносильно условию $f (1+ a2) <0 :$

f(1+ a2)< 0 ( )2 ( ) 1+ a2 − 8 1+ a2 + a2− 17< 0 a4+ 2a2+ 1− 8− 8a2+a2 − 17 <0 a4− 5a2− 24< 0 ( 2 )(2 ) ( a + 3) (a − 8 <)0 a− 2√2 a+ 2√2 <0

Отсюда получаем $- - a∈ (−2√ 2;2√ 2) ,$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $y2− 8y− a2+ 17= 0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0:$

2 64− 4(a − 17)= 0 −4a2+ 64+ 4⋅17= 0 -- a2 = 4⋅17+-64= 4-⋅33 = 33 ⇒ a= ± √33 4 4 y0 = −-−8-= 4< 1+ a2 = 34 2⋅1

Тогда $a = ±√33$ не подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет менее $1+ a2.$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

( √ - √ -) a∈ −2 2;2 2 .

Ответ:

$( √ - √ -) a ∈ − 2 2;2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126317Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (5x+ 2|x − a|− |3x|) + (a − 1)(5x+ 2|x − a|− |3x|)+ 1= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y = 5x+ 2|x − a|− |3x|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x − a = 0 3x= 0 x= a x = 0

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений $a$ и 0 в зависимости от значений параметра.

1.

При $a= 0$ получаем

y =5x +2|x|− |3x|= 5x− |x|.

Раскроем модуль:

$x0−+$

Если $x ≥0,$ то получаем
$y = 5x− x= 4x.$
Если $x <0,$ то получаем
$y = 5x+ x= 6x.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0== 46xx$

Таким образом, в данном случае у уравнения $y =5x + 2|x− a|− |3x|$ ровно одно решение при любом $y.$ Тогда от уравнения $y2 +(a− 1)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, то есть $D > 0.$ Но

D = (a− 1)2 − 4 = 12 − 4 = −3< 0

Следовательно, $a= 0$ не подходит.

2.

Пусть $a> 0.$ Тогда у выражения $5x+ 2|x − a|− |3x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x0a−−−+++$

Если $x ≤0,$ то
$y = 5x − 2x + 2a + 3x = 6x+ 2a.$
Если $0< x < a,$ то
$y = 5x − 2x + 2a − 3x = 2a.$
Если $a ≤ x, 2$ то
$y = 5x + 2x − 2a − 3x = 4x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyyy0a=== 264axx+−2 2aa$

Таким образом, в данном случае имеем:

если $y = 2a,$ то у уравнения $y = 5x+ 2|x− a|− |3x|$ бесконечно много решений;
если $y ⁄= 2a,$ то у уравнения $y = 5x+ 2|x − a|− |3x|$ ровно одно решение.

Тогда от уравнения $2 y + (a− 1)y+ 1= 0,$ которое мы получили после замены, нужно потребовать два различных решения, отличных от $2a.$

Пусть $2 f(y)= y + (a − 1)y+ 1.$ Тогда получаем:

{ D > 0 f(2a) ⁄= 0 { (a− 1)2− 4 >0 4a2+ 2(a − 1)a+ 1⁄= 0 { a2− 2a+ 1− 4> 0 4a2+ 2a2− 2a +1 ⁄= 0 ( {(a+ 1)(a− 3)> 0 (6a2− 2a+ 1⁄= 0 a∈ (−∞; −1)∪(3;+∞ )

Так как мы рассматриваем случай $a> 0,$ то получаем:

a ∈(3;+∞ ).

3.

Пусть $a< 0.$ Тогда у выражения $5x+ 2|x − a|− |3x|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xa0−−+−++$

Если $x ≤a,$ то
$y = 5x − 2x + 2a + 3x = 6x+ 2a.$
Если $a< x < 0,$ то
$y = 5x+ 2x− 2a+ 3x= 10x− 2a.$
Если $0≤ x,$ то
$y = 5x + 2x − 2a − 3x = 4x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy0ya=== 614x0x+x−−2a 22aa$

D2> 0 (a− 1)− 4 >0 a2− 2a + 1− 4> 0 a2− 2a− 3> 0 (a+ 1)(a − 3)> 0 a∈ (−∞;− 1)∪(3;+∞ )

Так как мы рассматриваем случай $a< 0,$ получаем:

a∈ (− ∞;− 1).

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

a ∈(− ∞;−1)∪ (3;+ ∞).

Ответ:

$a ∈(−∞; −1)∪ (3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126321Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(|x − a − 1|+ |x − a+ 1|)2+ a(|x− a− 1|+ |x− a+ 1|)+a2 − 16 =0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

y =|x− a− 1|+ |x − a +1|.

Исследуем замену, то есть функцию $y = |x− a− 1|+|x− a+ 1|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a − 1 = 0 x− a+ 1 =0 x= a+ 1 x = a− 1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$ Заметим, что при любом значении параметра $a$ верно, что $a+ 1 ≥a − 1 :$

У выражения $|x− a − 1|+ |x − a + 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xaa−−−+++ −+ 11$

Если $x ≤a − 1,$ то
$y = −x +a + 1− x+ a− 1= −2x +2a.$
Если $a − 1 <x < a+ 1,$ то
$y = −x + a+ 1+ x− a+ 1= 2.$
Если $a +1 ≤x,$ то
$y = x − a − 1+ x− a+ 1= 2x− 2a.$

Построим эскиз графика этой функции:

$0xyaayyy−+=== 11−22x2x− +22aa$

Таким образом,

если $y > 2,$ то у уравнения $y = |x − a− 1|+ |x− a+ 1|$ ровно два решения;
если $y = 2,$ то у уравнения $y = |x− a − 1|+ |x − a+ 1|$ бесконечно много решений;
если $y < 2,$ то у уравнения $y = |x− a− 1|+ |x− a+ 1|$ нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y + ay+ a − 16= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 2, и при этом никакое решение уравнения не было бы равно 2.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < 2< y2;$
уравнение имеет один корень $y0 > 2.$

Пусть $f(y)= y2+ ay+ a2− 16.$

$yyy212$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 2 расположено между ними, равносильно условию $f (2) <0 :$

f(2)< 0 2 2 2 + 2a+ a − 16 < 0 4 +2a+ a2− 16< 0 a2+ 2a− 12 < 0 2 a + 2a+ 1(− 13)< 0 (a+ 1)2− √13 2 < 0 ( √ -) ( √--) a+ 1− 13 a+ 1+ 13 < 0

Отсюда получаем $( √ -- √ -- ) a∈ − 13 − 1; 13 − 1 ,$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение $2 2 y + ay+ a − 16= 0$ имело один корень, необходимо потребовать $D = 0:$

( ) a2 − 4 a2− 16 = 0 2 −3a + 4⋅16= 0 2 4-⋅16 a = 3 8√3 a= ± -3-- a y0 = −2

Если $√- a = 833,$ то $√- y0 = − 433-,$ тогда условие $y0 >2$ не выполняется.
Значит, $√- a = 8-3- 3$ не подходит.
Если $√- a =− 8-3-, 3$ то $√ - y0 = 4-3, 3$ тогда условие $y0 > 2$ выполняется:
$√ - y0 = 4-3= 4√--> 4√--= 2. 3 3 4$
Значит, $√ - a = − 8-3 3$ подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

{ √-} ( ) a∈ − 8-3- ∪ −√13-− 1;√13-− 1 . 3

Ответ:

${ √ -} a ∈ − 8-3 ∪ (−√13-− 1;√13-− 1) 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#127069Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|)2+ a(3x +|x− a|+ |2x+ a +1|)+a2 − 16 =0

имеет ровно одно решение.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

Пусть

y =3x +|x− a|+ |2x+ a +1|.

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a = 0 2x+ a+ 1= 0 x= a 2x= −a − 1 −a− 1 x = --2---

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a :$

a≤ −a-−-1 2 2a ≤ −a− 1 3a≤ −1 1 a ≤− 3

Рассмотрим три случая: $1 a = −3,$ $1 a > −3$ и $1 a< − 3.$

При $a= − 1 3$ получаем, что $a = −a-− 1. 2$ Тогда имеем

$| | | | | | || 1|| || 2|| || 1|| y = 3x + |x + 3|+|2x+ 3|= 3x +3 |x + 3|.$

Раскроем модуль:

$1 x−−+3$
- Если $x ≥− 1, 3$ то получаем
  $y =3x +3x + 1= 6x+ 1.$
- Если $1 x <− 3,$ то получаем
  $y = 3x− 3x− 1= −1.$
Построим эскиз графика этой функции при $1 a= − 3 :$

$xyy−y0==16−x1+1 3$

Таким образом,
- если $y < − 1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x− a|+|2x+ a+ 1|$ нет решений;
- если $y = −1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|$ бесконечно много решений;
- если $y > −1,$ то у уравнения $y = 3x + |x− a|+ |2x +a +1|$ ровно одно решение.
При $a> − 1 3$ получаем, что $−a−-1-< a. 2$ Тогда у выражения $3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xa−−−+++−a− 1 2$
- Если $−a− 1 x ≤ --2--,$ то
  $y = 3x− x +a − 2x − a − 1= −1.$
- Если $−-a−-1 2 < x < a,$ то
  $y = 3x− x+ a+ 2x+ a+ 1 =4x +2a +1.$
- Если $a≤ x,$ то
  $y = 3x+ x− a+ 2x+ a+ 1 =6x +1.$
Построим эскиз графика этой функции:

$− a− 1 xyyay0==2y6=−x41+x1+ 2a+1$

Таким образом,
- если $y < − 1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x− a|+|2x+ a+ 1|$ нет решений;
- если $y = −1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|$ бесконечно много решений;
- если $y > −1,$ то у уравнения $y = 3x + |x− a|+ |2x +a +1|$ ровно одно решение.
при $1 a < −3$ получаем, что $−a− 1 a < --2--.$ Тогда у выражения $3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$−a− 1 xa−−+−++--2--$
- Если $x ≤a,$ то
  $y = 3x− x +a − 2x − a − 1= −1.$
- Если $−a − 1 a< x < --2--,$ то
  $y = 3x+ x− a− 2x− a− 1 =2x − 2a − 1.$
- Если $−-a−-1≤ x, 2$ то
  $y = 3x+ x− a+ 2x+ a+ 1 =6x +1.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyya−y0==ay6−=−x 121+x1− 2a− 1 2$

Таким образом,
- если $y < − 1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x− a|+|2x+ a+ 1|$ нет решений;
- если $y = −1,$ то у уравнения $y = 3x+ |x − a|+ |2x +a + 1|$ бесконечно много решений;
- если $y > −1,$ то у уравнения $y = 3x + |x− a|+ |2x +a +1|$ ровно одно решение.

По условию от исходного уравнения требуется ровно одно решение. Так как замена либо дает одно и более решений, либо не дает вовсе, то необходимо, чтобы уравнение $2 2 y + ay+ a − 16= 0,$ которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее $− 1,$ и при этом никакое решение не равнялось $− 1.$

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

уравнение имеет два корня $y1$ и $y2$ такие, что $y1 < −1< y2$ ;
уравнение имеет ровно один корень $y0 > − 1.$

Пусть $f(y)= y2+ ay+ a2− 16.$

$yyy−121$

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение $− 1$ расположено между ними, равносильно условию $f (− 1)< 0:$

f (− 1)= (− 1)2+ a(−1)+ a2− 16< 0 1− a+ a2− 16< 0 2 ( a√-−)a−( 15< 0√ --) a − 1−--61- a− 1-+--61 <0 2 2

Отсюда получаем $(1 − √61 1+ √61) a∈ ---2---;---2--- ,$ при этом условие $D > 0$ заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо потребовать $D =0 :$

a2 − 4(a2− 16)= 0 2 3a = 64 2 64 a = 3 8 a = ±√3-

При $a= √8- 3$ имеем:

8 −√-- 4 y0 = -2-3= − √--< −1 3

Значит, $a= √8- 3$ не подходит.

При $a= − 8√-- 3$ имеем:

-8- √3- 4-- y0 = 2 = √3 >− 1

Значит, $8 a= − √-- 3$ подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение при

( √ -- √--) { } a ∈ 1−---61-; 1+-61- ∪ −√8- . 2 2 3

Ответ:

$( √-- √ --) { } a ∈ 1−--61; 1-+-61 ∪ − √8- 2 2 3$

Критерии оценки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126231Максимум баллов за задание: 4

При каких значениях параметра $a$ уравнение

4∘ -4---4 x 2 a + x = cos 2 + a − 2a+ 1

имеет единственное решение?

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Центр

Показать ответ и решение

Заметим, что так как $x4$ и $cos x 2$ — четные функции, то если уравнение будет иметь корень $x0,$ оно также будет иметь и корень $− x0.$

Таким образом, если $x0 ⁄= 0,$ то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, $x0 = 0.$ Тогда имеем:

√4a4-= cos0 +a2 − 2a +1 2 |a|= a − 2a+ 2

Раскроем модуль по определению.

1.: При $a≥ 0$ получаем: $a =a2 − 2a +2 2 a − 3a+ 2= 0 (a− 1)(a − 2)= 0 a1 = 1; a2 = 2$
2.: При $a< 0$ получаем: $− a= a2− 2a+ 2 a2− a+ 2= 0 D = 1− 8< 0 a∈ ∅$

Мы получили два значения параметра $a.$ Заметим, что мы использовали то, что $x= 0$ точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра $a$ в исходное уравнение и проверить, при каких именно $a$ корень $x= 0$ действительно будет единственным.

1.

При $a= 1$ получаем:

∘----- 41 + x4 = cos x 2

Так как $x4 ≥ 0,$ то $4√1-+-x4 ≥ 1.$ При этом $cos x ≤ 1. 2$ Следовательно, равенство может выполняться только в случае, если обе его части равны 1:

{ √----- { { 41+ x4 =1 x= 0 x= 0 cos x = 1 ⇔ cos x =1 ⇔ 1= 1 2 2

Таким образом, при $a = 1$ уравнение действительно имеет один корень $x= 0.$

2.

При $a= 2$ получаем:

4∘ ----4- x 16 +x = cos 2 + 1

Так как $x4 ≥ 0,$ то $√ ------ √-- 4 16 +x4 ≥ 416= 2.$ При этом $x cos2 +1 ≤ 2.$ Следовательно, равенство может выполняться только в случае, если обе его части равны 2:

{√4-----4 { { 16x+ x = 2 ⇔ x =x0 ⇔ x = 0 cos2 +1 = 2 cos2 = 1 1 = 1

Таким образом, при $a = 2$ уравнение также имеет один корень $x = 0.$

Ответ:

$a ∈{1;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#113009Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

4 2 x + (a − 3) = |x− a+ 3|+|x+ a− 3|

имеет ровно одно решение или не имеет решений вовсе.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Для начала заменим для удобства $a− 3$ на $b.$

Пусть левая часть уравнения — функция

f(x)= x4+ b2.

Пусть правая часть уравнения — функция

g(x)= |x − b|+ |x +b|.

Так как уравнение останется прежним, если $b$ заменить на $− b,$ то можем решать задачу для $b ≥0,$ а затем добавить в ответ все значения противоположного знака.

Нарисуем графики этих функций в осях $xOy.$

Функция $4 2 f(x) = x +b$ четная, убывает при $x< 0$ и возрастает при $x> 0.$ При $x = 0$ функция принимает значение $2 b.$

Рассмотрим функцию

g(x)= |x − b|+ |x +b|.

Ее модули обнуляются при $x= b$ и $x =− b.$ Так как мы рассматриваем $b≥ 0,$ то $b≥ −b$

Тогда, раскрыв модули, получаем:

( |{ −2x, x <− b g(x)= 2b, − b≤ x≤ b |( 2x, x >b

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на прямой $y = 2b≥ 0.$ Заметим, что $g(x)$ также четна:

g(− x)= |− x − b|+ |− x + b|= |x+ b|+ |x− b|=g(x)

При этом так как ветви корыта лежат на фиксированных прямых, то при изменении параметра его дно двигается вверх/вниз, а границы дна «скользят» по этим фиксированным прямым.

Итак, нарисуем оба графика и изобразим граничные положения. Так как обе функции четны, то рисунок будет симметричен относительно оси $Oy.$

При $b= 0$ вершина функции $f(x)$ находится в точке $(0;0),$ а корыто принимает вид

g(x)= |− x|+|x|= 2|x|,

то есть представляет собой галочку.

Получаем следующую картинку:

$PIC$

Заметим, что в таком случае получается 3 решения, то есть $b =0$ нам не подходит.

Далее вершина графика $f(x)$ находится в точке $(0;b2),$ а дно корыта $g(x)$ лежит на прямой $y = 2b.$ Поймем, когда вершина $f(x)$ будет ниже дна корыта, а когда выше:

2 b < 2b b(b− 2)< 0 b∈ (0;2)

Таким образом, при $b∈ (0;2)$ вершина $f(x)$ ниже дна $g(x),$ при $b =2$ лежит на дне, при $b> 2$ выше дна.

Когда вершина $f(x)$ находится ниже дна корыта $g(x),$ то очевидно при $x > 0$ будет пересечение $f(x)$ и $g(x),$ а так как рисунок симметричен относительно $Oy,$ то и при $x< 0$ будет пересечение. Тогда решений будет как минимум 2, то есть значения $b ∈(0;2)$ нам не подходят.

$PIC$

Нарисуем случай $b = 2.$ Как мы уже поняли, в этом случае вершина $f(x)$ лежит на дне корыта $g(x):$

$PIC$

Поймем, что в этом случае правая ветвь $f(x)$ не имеет пересечений с правой ветвью корыта $g(x).$ Действительно, во-первых, $f(2)= 20> 4= g(2),$ во-вторых, при $x >2$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, чем правая ветвь $g(x):$

′ 3 3 f(x)= 4x > 4⋅2 = 32 g′(x)= 2 f′(x) >g′(x)

Таким образом, в данном случае при $x> 0$ графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при $x <0.$ То есть при $b= 2$ одна точка пересечения $(0;4),$ значит, это значение параметра подходит.

При $b> 2$ вершина $f(x)$ выше дна корыта $g(x).$ Поймем, что в данном случае решений уже не будет. Так как вершина $f(x)$ выше дна корыта $g(x),$ то $f(x)$ не пересекает дно корыта $g(x).$ Покажем, что при $b> 2$ $f(x)$ не пересекает правую ветвь корыта $g(x).$

$PIC$

Действительно, во-первых, $4 2 3 f(b)= b +b >2b > 2b= g(b),$ во-вторых, при $x > b$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, чем правая ветвь $g(x):$

f′(x)= 4x3 > 4⋅b3 > 4⋅23 = 32 g′(x)= 2 f′(x) >g′(x)

Таким образом, в данном случае при $x> 0$ графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при $x< 0.$ То есть при $b > 2$ пересечений вовсе нет, значит, эти значения параметра подходят.

Объединяя подходящие значения, и добавив значения, противоположные по знаку, получаем:

b∈ (− ∞;− 2]∪ [2;+ ∞).

Так как $b= a− 3,$ получаем в итоге:

a ∈ (− ∞;1]∪[5;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; 1]∪[5;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#113010Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

10 5 2 x + (a − 2|x|) + x + a− 2|x|= 0

имеет более трёх различных решений.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем обе части уравнения:

x10+x2 = − (a− 2|x|)5+ 2|x|− a ( 2)5 2 5 x + x = (2|x|− a) + 2|x|− a

Пусть $f(t)= t5 +t.$ Заметим, что это сумма двух монотонно возрастающих функций, а значит, $f(t)$ тоже является монотонно возрастающей.

Таким образом, мы получили

2 f (x )= f(2|x|− a).

В силу монотонности можем сделать вывод, что должно быть равенство аргументов. Тогда получаем уравнение:

2 x = 2|x|− a x2 − 2|x|= −a

Пусть $2 g(x)= x − 2|x|.$

Запишем $g(x)$ в следующем виде:

{ x2− 2x, x ≥0 g(x)= x2+ 2x, x <0

Это части парабол с ветвями вверх и вершинами $(1;−1)$ и $(−1;−1).$

Изобразим график:

$PIC$

Заметим, что граничными положениями прямой $y = − a$ являются положение 1 (горизонтальная прямая проходит через вершины парабол) и положение $y = 0$ (горизонтальная прямая проходит через точку $(0;0)$ «склейки» парабол).

Тогда в положении 1 у данного уравнения будет ровно два корня, а в положении $y = 0$ будет ровно три корня.

Тогда нам подходят все промежуточные значения. То есть

−1 < −a< 0 ⇒ 0 < a< 1.

Ответ:

$a ∈(0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#127721Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

(| (y2− 4y− xy+ 2x+ 4)√x-+4- { ---------√5-−-y----------= 0, |( a= x+ y

имеет единственное решение.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

Для начала определим, какое семейство точек будет задавать первое уравнение системы. Оно эквивалентно следующей системе:

(|[y2− 4y− xy+ 2x+ 4 =0 { √ ----- |(√ -x+-4= 0 5− y ⁄= 0

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

2 y − 4y− xy+ 2x+ 4= 0 y2− 2y− 2y+ 4− xy+ 2x= 0 y(y− 2)− 2(y− 2)− x(y − 2) =0 (y − x − 2)(y− 2)= 0 y =x + 2; y = 2

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

√----- x +4 = 0 x+ 4= 0 x = −4

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

{ x ≥− 4 y <5

Таким образом, данная система задает на плоскости следующее семейство точек:

$PIC$

Заметим, что уравнение $a= x +y,$ то есть $y = − x+ a,$ задает семейство прямых, параллельных прямой $y =− x.$ Таким образом, получаем следующие граничные положения:

$PIC$

Прямая $y = x+ 2$ пересекает прямую $x= − 4$ при $y = −4 +2 = −2,$ то есть в точке $(−4;−2).$

Прямая $y = x+ 2$ пересекает прямую $y = 5$ при $x = 5− 2= 3,$ то есть в точке $(3;5).$

Прямая $y = x+ 2$ пересекает прямую $y = 2$ при $x = 2− 2= 0,$ то есть в точке $(0;2).$

Положение $I$ — прохождение через точку $(−4;−2).$ Данное положение достигается при
$−2 = 4+ a ⇒ a= −6$
Положение $II$ — прохождение через точку $(− 4;2).$ Данное положение достигается при
$2= 4+ a ⇒ a =− 2$
Положение $III$ — прохождение через точку $(−4;5).$ Данное положение достигается при
$5 = 4+ a ⇒ a= 1$
Положение $IV$ — прохождение через точку $(0;2).$ Данное положение достигается при
$2 = 0+ a ⇒ a= 2$
Положение $V$ — прохождение через точку $(3;5).$ Данное положение достигается при
$5= −3 +a ⇒ a= 8$

Причем имеем:

$(− ∞;I]$ — 1 решение
$(I;II]$ — 2 решения
$(II;III)$ — 3 решения
$[III;IV)$ — 2 решения
$IV$ — 1 решение
$(IV ;V )$ — 2 решения
$[V ;+ ∞)$ — 1 решение

Таким образом, исходная система уравнений имеет единственное решение при

a ∈ (− ∞;− 6]∪ {2}∪[8;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −6]∪ {2} ∪[8;+ ∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#127781Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(a − x − 4)(a2+ x2− 10) -----√-------2------= 0 −6x− x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно системе:

(|[ { a2= x+2 4 |( a + x =2 10 −[ 6x− x > 0 (|{ a = x+ 4 x2 +a2 = 10 |(x(x+ 6)< 0

Изобразим полученную систему в осях $xOa.$ Первое уравнение совокупности задает прямую, второе уравнение совокупности задает окружность с центром в точке $(0;0)$ и радиусом $√ -- R = 10.$

Неравенство системы задает область $− 6 < x< 0.$ Тогда получаем следующую картинку:

$PIC$

Прямая $a= x+ 4$ пересекает прямую $x= − 6$ при $a= −6 +4 = −2,$ то есть в точке $(−6;−2).$

Найдем координаты точек пересечения прямой $a= x +4$ с окружностью:

2 2 x +2(x+ 4) = 10 2x + 8x + 6= 0 x2+ 4x+ 3= 0 (x+ 1)(x +3)= 0 x1 = − 3 x2 = −1 a1 = x1 +4 = 1 a2 = x2+ 4= 3

Таким образом, прямая $a= x+ 4$ пересекает окружность в точках $(− 3;1)$ и $(−1;3).$

Рассмотрим граничные положения горизонтальной прямой:

$PIC$

Положение $I$ — прохождение через точку $-- (0;− √10).$ Данное положение достигается при $√ -- a= − 10.$
Положение $II$ — прохождение через точку $(−6;−2).$ Данное положение достигается при $a= −2.$
Положение $III$ — прохождение через точку $(−3;1).$ Данное положение достигается при $a= 1.$
Положение $IV$ — прохождение через точку $(− 1;3).$ Данное положение достигается при $a = 3.$
Положение $V$ — прохождение через точку $√ -- (0; 10).$ Данное положение достигается при $√-- a = 10.$
Положение $V I$ — прохождение через точку $(0;4).$ Данное положение достигается при $a = 4.$

Причем имеем:

$(− ∞;I]$ — нет решений
$(I;II]$ — 1 решение
$(II;III)$ — 2 решения
$III$ — 1 решение
$(III;IV)$ — 2 решения
$IV$ — 1 решение
$(IV ;V )$ — 2 решения
$[V ;V I)$ — 1 решение
$[V I;+ ∞)$ — нет решений

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при

√ -- a∈ (− 2;1)∪ (1;3)∪ (3; 10).

Ответ:

$√-- a ∈(−2;1)∪ (1;3)∪(3; 10)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#127878Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

(| (y2− 7y+ xy − 4x +12)√x-−-4 { ---------√y-+-7----------= 0, |(a = x+ y

имеет единственное решение.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

(| [y2− 7y + xy− 4x+ 12= 0 { √----- |( √-x-− 4 = 0 y+ 7 ⁄=0

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

2 y − 7y + xy− 4x + 12= 0 y2− 4y − 3y + 12 +xy − 4x = 0 y(y− 4)− 3(y− 4)+ x(y − 4) =0 (y +x − 3)(y− 4)= 0 y = −x +3, y = 4

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

√----- x − 4 = 0 x− 4= 0 x =4

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

{ x ≥4 y >− 7

Таким образом, данная совокупность задает на плоскости следующее семейство точек:

$PIC$

Положение $I$ — прохождение через точку $(4;−7).$ Данное положение достигается при
$− 7= −4 +a ⇒ a= −3$
Положение $II$ — совпадение с прямой $y = − x+ 3.$ Данное положение достигается при $a = 3.$
Положение $III$ — прохождение через точку $(4;4).$ Данное положение достигается при
$4= −4 +a ⇒ a= 8$

Причем имеем:

$(− ∞;I]$ — 0 решений
$(I;II)$ — 1 решение
$II$ — бесконечно много решений
$(II;III]$ — 1 решение
$(III;+∞ )$ — 2 решения

Таким образом, исходная система уравнений имеет единственное решение при

a∈ (−3;3)∪(3;8].

Ответ:

$a ∈(−3;3)∪ (3;8]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#127879Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

(| (y2− 7y− xy +4x +12)√x-+-5- { ---------√5-−-x----------= 0, |(a = x+ y

имеет ровно два решения .

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

(| [y2− 7y − xy+ 4x+ 12= 0 { √----- |( √-x-+5 = 0 5− x ⁄= 0

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

2 y − 7y − xy+ 4x + 12= 0 y2− 4y − 3y + 12 − xy + 4x = 0 y(y− 4)− 3(y− 4)− x(y − 4) =0 (y − x − 3)(y− 4)= 0 y =x + 3; y = 4

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

√----- x +5 = 0 x+ 5= 0 x = −5

Помимо этого обратим внимание, что имеются следующие ограничения:

{ x ≥− 5 x <5

Таким образом, данная система задает на плоскости следующее семейство точек:

$PIC$

Прямая $y = x+ 3$ пересекает прямую $x= − 5$ при $y = −5 +3 = −2,$ то есть в точке $(−5;−2).$

Прямая $y = x+ 3$ пересекает прямую $x= 5$ при $y = 5+ 3= 8,$ то есть в точке $(5;8).$

Прямая $y = x+ 3$ пересекает прямую $y = 4$ при $x = 4− 3= 1,$ то есть в точке $(1;4).$

Положение $I$ — прохождение через точку $(−5;−2).$ Данное положение достигается при
$−2 = 5+ a ⇒ a= −7$
Положение $II$ — прохождение через точку $(− 5;4).$ Данное положение достигается при
$4= 5+ a ⇒ a =− 1$
Положение $III$ — прохождение через точку $(1;4).$ Данное положение достигается при
$4= −1 +a ⇒ a= 5$
Положение $IV$ — прохождение через точку $(5;4).$ Данное положение достигается при
$4= −5 +a ⇒ a= 9$
Положение $V$ — прохождение через точку $(5;8).$ Данное положение достигается при
$8 =− 5+ a ⇒ a= 13$

Причем имеем:

$(− ∞;I]$ — 1 решение
$(I;II]$ — 2 решения
$(II;III)$ — 3 решения
$III$ — 2 решения
$(III;IV)$ — 3 решения
$[IV;V )$ — 2 решения
$[V ;+ ∞)$ — 1 решение

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при

a∈ (− 7;− 1]∪{5}∪ [9;13).

Ответ:

$a ∈(−7;−1]∪ {5}∪[9;13)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#120329Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ y2− xy− 7y+ 5x+ 10 ---√x-+-4⋅√6-− y-- = 0, ( 4a= ax− y

имеет единственное решение.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Преобразуем первое уравнение системы:

y2− xy− 7y+ 5x + 10 --√x-+-4⋅√6-−-y---= 0 y(y−-x√)− 5(y−√x)−-2(y−-5)-= 0 x+ 4⋅ 6− y (y− x)(y− 5)− 2(y − 5) ---√x-+-4⋅√6-−-y----= 0 ( |{(y− 5)(y − x− 2)= 0 |x > −4 (y < 6

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

(||[y =5 |||| y =x + 2 { |||x >− 4 |||(y <6 y =a(x− 4)

Изобразим все, кроме пучка прямых $y = a(x − 4):$

$PIC$

Уравнение $y = a(x− 4)$ задает пучок прямых с фиксированной точкой $(4;0).$ Отметим интересующие нас положения:

$PIC$

Тогда исходная система имеет единственное решение при

a ∈{I}∪ [II;III]∪ [IV;+∞ ).

Рассмотрим положение I. В нем прямая $y = a(x− 4)$ проходит через точку $(3;5).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) 5 = a(3 − 4) 5 = −a a = −5

Рассмотрим положение II. В нем прямая $y = a(x− 4)$ проходит через точку $(−4;5).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) 5= a(−4− 4) 5= − 8a 5 a =− 8

Рассмотрим положение III. Это горизонтальная прямая, значит, $a= 0.$

Рассмотрим положение IV. В нем прямая $y = a(x − 4)$ проходит через точку $(−4;−2).$ Значит, координаты этой точки обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

y = a(x − 4) −2 = a(− 4− 4) − 2= −8a 1 a= 4

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

[ 5 ] [1 ) a ∈{− 5}∪ − 8;0 ∪ 4;+∞ .

Ответ:

$[ ] [ ) a ∈{− 5} ∪ − 5;0 ∪ 1;+∞ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#130177Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

ln(6a− x)⋅ln(2a+ 2x− 2)= ln(6a− x)⋅ln(x− a)

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем данное уравнение:

ln(6a− x)⋅ln(2a +2x − 2)− ln(6a− x)⋅ln(x − a) =0 ln(6a− x)⋅(ln(2a+ 2x− 2)− ln(x− a)) = 0

Тогда уравнение с условием на единственный на отрезке $[0;1]$ корень равносильно системе:

[ [ (| ln(6a− x)= 0 (| 6a − x = 1 ||||| ln(2x+ 2a− 2)− ln(x− a)= 0 ||||| 2x +2a − 2 = x− a ||{ 6a − x> 0 ||{6a − x > 0 | ⇔ | ⇔ |||| 2a + 2x − 2> 0 ||||2a +2x − 2 > 0 |||( x− a> 0 |||(x − a> 0 0≤ x≤ 1 0 ≤ x≤ 1

( [ || x1 = 6a− 1 ||||| x2 = −3a +2 |{ 6a− x> 0 ⇔ || x+ a− 1> 0 |||| x− a> 0 ||( 0≤ x ≤1

$x1 = 6a− 1$ будет является корнем уравнения при $a,$ удовлетворяющим системе:
$( ( |||6a− x > 0 ||| 6a− 6a+ 1> 0 {x +a − 1 > 0 ⇔ { 6a− 1+ a− 1> 0 |||x − a > 0 ||| 6a− 1− a> 0 (0 ≤x ≤ 1 ( 0≤ 6a− 1≤ 1 ( ( ||1 >0 ||| a> 2 |{7a− 2 >0 |{ 71 ||5a− 1 >0 ⇔ || a> 5 |(1 ≤6a ≤ 2 ||( 1 ≤a ≤ 1 6 3$
Таким образом, при $(2 1] a ∈ 7;3$ число $x1$ является корнем на отрезке $[0;1].$
$x2 = −3a+ 2$ будет является корнем уравнения при $a,$ удовлетворяющим системе:
$( ( ||| 6a − x> 0 |||6a+ 3a− 2> 0 { x+ a− 1> 0 ⇔ {−3a +2 +a − 1> 0 ||| x− a> 0 |||−3a +2 − a > 0 ( 0≤ x≤ 1 (0≤ − 3a+ 2≤ 1 ( ( || 9a > 2 |||a > 2 |{ −2a> −1 |{ 91 || −4a> −2 ⇔ ||a < 2 |( −2≤ −3a ≤ −1 ||( 1≤ a ≤ 2 3 3$
Таким образом, при $[1 1) a ∈ 3;2$ число $x2$ является корнем на отрезке $[0;1].$
Проверим совпадение $x1$ и $x2 :$
$x1 = x2 ⇔ 6a − 1= −3a+ 2 9a =3 ⇔ a= 1 3$

Таким образом, мы получили следующее.

При $( ) a∈ 2; 1 7 3$ $x1$ является корнем, а $x2$ — нет.
При $( ) a∈ 1; 1 3 2$ $x2$ является корнем, а $x1$ — нет.
При $1 a= 3$ числа $x1$ и $x2$ совпадают, а значит, будет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Объединив найденные значения параметра, получим, что исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ при

( 2 1) a ∈ 7;2 .

Ответ:

$( ) a ∈ 2; 1 7 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#130178Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

ln(6a− x)⋅ln(2a+ 2x− 2)= ln(6a− x)⋅ln(x− a)

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем данное уравнение:

ln(6a− x)⋅ln(2a +2x − 2)− ln(6a− x)⋅ln(x − a) =0 ln(6a− x)⋅(ln(2a+ 2x− 2)− ln(x− a)) = 0

Тогда уравнение с условием на единственный на отрезке $[0;1]$ корень равносильно системе:

[ [ (| ln(6a− x)= 0 (| 6a − x = 1 ||||| ln(2x+ 2a− 2)− ln(x− a)= 0 ||||| 2x +2a − 2 = x− a ||{ 6a − x> 0 ||{6a − x > 0 | ⇔ | ⇔ |||| 2a + 2x − 2> 0 ||||2a +2x − 2 > 0 |||( x− a> 0 |||(x − a> 0 0≤ x≤ 1 0 ≤ x≤ 1

( [ || x1 = 6a− 1 ||||| x2 = −3a +2 |{ 6a− x> 0 ⇔ || x+ a− 1> 0 |||| x− a> 0 ||( 0≤ x ≤1

$x1 = 6a− 1$ будет является корнем уравнения при $a,$ удовлетворяющим системе:
$( ( |||6a− x > 0 ||| 6a− 6a+ 1> 0 {x +a − 1 > 0 ⇔ { 6a− 1+ a− 1> 0 |||x − a > 0 ||| 6a− 1− a> 0 (0 ≤x ≤ 1 ( 0≤ 6a− 1≤ 1 ( ( ||1 >0 ||| a> 2 |{7a− 2 >0 |{ 71 ||5a− 1 >0 ⇔ || a> 5 |(1 ≤6a ≤ 2 ||( 1 ≤a ≤ 1 6 3$
Таким образом, при $(2 1] a ∈ 7;3$ число $x1$ является корнем на отрезке $[0;1].$
$x2 = −3a+ 2$ будет является корнем уравнения при $a,$ удовлетворяющим системе:
$( ( ||| 6a − x> 0 |||6a+ 3a− 2> 0 { x+ a− 1> 0 ⇔ {−3a +2 +a − 1> 0 ||| x− a> 0 |||−3a +2 − a > 0 ( 0≤ x≤ 1 (0≤ − 3a+ 2≤ 1 ( ( || 9a > 2 |||a > 2 |{ −2a> −1 |{ 91 || −4a> −2 ⇔ ||a < 2 |( −2≤ −3a ≤ −1 ||( 1≤ a ≤ 2 3 3$
Таким образом, при $[1 1) a ∈ 3;2$ число $x2$ является корнем на отрезке $[0;1].$
Проверим совпадение $x1$ и $x2 :$
$x1 = x2 ⇔ 6a − 1= −3a+ 2 9a =3 ⇔ a= 1 3$

Таким образом, мы получили следующее.

При $( ) a∈ 2; 1 7 3$ $x1$ является корнем, а $x2$ — нет.
При $( ) a∈ 1; 1 3 2$ $x2$ является корнем, а $x1$ — нет.
При $1 a= 3$ числа $x1$ и $x2$ совпадают, а значит, будет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

( 2 1) a ∈ 7;2 .

Ответ:

$( ) a ∈ 2; 1 7 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#130179Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2-----------2 ln(5x − 2)⋅ x − 2x+ 2a− a = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Уравнение имеет на отрезке $[0;1]$ одно решение, если имеет единственное решение совокупность

⌊ ( {x1 = 3 ⌊(| ln(5x− 2)= 0 || ( 2 5 2 |{ || (x − 2x +2a − a ≥0 ||||( 0≤2 x ≤1 2 ||| |{x2 =2 − a ||( x2− 2x+ 2a− a2≥ 0 ⇔ || |0 ≤ x≤ 1 |||{ x − 2x+ 2a− a = 0 || ((5x − 2 > 0 ⌈|( 0≤ x ≤1 || |{x3 =a 5x− 2> 0 |⌈ 0 ≤ x≤ 1 |(5x − 2 > 0

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, записанным с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим. Следовательно, необходимо, чтобы среди чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ было ровно одно хорошее.

Найдем значения параметра, при которых каждое из чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ хорошее. Тогда противоположные значения $a$ будут говорить нам о том, когда каждое из них является плохим.

x1 хор.:-9 − 6+ 2a− a2 ≥ 0 ⇔ 3 ≤ a≤ 7 25 5 5 5 {0 ≤ 2− a≤ 1 8 x2 хор.: 5(2 − a)− 2> 0 ⇔ 1 ≤ a< 5 { 0≤ a≤ 1 2 x3 хор.: 5a− 2> 0 ⇔ 5 < a≤ 1

Тогда нам подходят следующие комбинации чисел, записанных в порядке $x1,$ $x2,$ $x3.$

1.

Хор., пл., пл.

$PICT$

Таким образом,

a∈ ∅

2.

Пл., хор., пл.

$PICT$

Таким образом,

( ) a∈ 7; 8 5 5

3.

Пл., пл., хор.

$PICT$

Таким образом,

( ) a∈ 2; 3 5 5

4.

Какие-то из чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ совпадают:

7 x1 = x2 ⇒ a= 5 ⇒ x1 = x2 хор., x3 пл. 3 x1 = x3 ⇒ a= 5 ⇒ x1 = x3 хор., x2 пл. x3 = x2 ⇒ a= 1 ⇒ x3 =x2 хор., x1 хор.

Следовательно, также подходят

a= 3; 7 5 5

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

( 2 3] [7 8) a∈ 5;5 ∪ 5;5

Ответ:

$( ] [ ) 2; 3 ∪ 7; 8 5 5 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#130180Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2-----------2 ln(4x − 2)⋅ x − 4x+ 4a− a = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[0;2].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Уравнение имеет на отрезке $[0;2]$ одно решение, если имеет единственное решение совокупность

⌊ ( {x1 = 3 ⌊(| ln(4x− 2)= 0 || ( 2 4 2 |{ || (x − 4x +4a − a ≥0 ||||( 0≤2 x ≤2 2 ||| |{x2 =4 − a ||( x2− 4x+ 4a− a2≥ 0 ⇔ || |0 ≤ x≤ 2 |||{ x − 4x+ 4a− a = 0 || ((4x − 2 > 0 ⌈|( 0≤ x ≤2 || |{x3 =a 4x− 2> 0 |⌈ 0 ≤ x≤ 2 |(4x − 2 > 0

x1 хор.: 9-− 3+ 4a− a2 ≥ 0 ⇔ 3≤ a≤ 13 16 4 4 {0 ≤ 4− a≤ 2 7 x2 хор.: 4(4− a)− 2> 0 ⇔ 2 ≤a < 2 { 0 ≤ a≤ 2 1 x3 хор.: 4a − 2 > 0 ⇔ 2 < a≤ 2

Тогда нам подходят следующие комбинации чисел, записанных в порядке $x1,$ $x2,$ $x3.$

1.

Хор., пл., пл.

$PICT$

Таким образом,

a∈ ∅

2.

Пл., хор., пл.

$PICT$

Таким образом,

( ) a ∈ 13; 7 4 2

3.

Пл., пл., хор.

$PICT$

Таким образом,

( ) a∈ 1; 3 2 4

4.

Какие-то из чисел $x1,$ $x2,$ $x3$ совпадают:

13 x1 = x2 ⇒ a= -4 ⇒ x1 =x2 хор., x3 пл. 3 x1 = x3 ⇒ a= 4 ⇒ x1 = x3 хор., x2 пл. x3 = x2 ⇒ a= 2 ⇒ x3 = x2 хор., x1 хор.

Следовательно, также подходят

a = 3; 13 4 4

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

(1 3] [13 7 ) a∈ 2;4 ∪ -4 ;2

Ответ:

$( ] [ ) 1; 3 ∪ 13; 7 2 4 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#130181Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

√----- x + 3a ⋅ln(x− 2a)= (x− 1)⋅ln(x− 2a)

имеет ровно один корень на отрезке $[0;1].$

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем данное уравнение:

(√ ----- ) ln(x − 2a)⋅ x+ 3a− (x − 1) = 0

А теперь перейдем к равносильной совокупности с учетом того, что каждый корень должен попадать на отрезок $[0;1]:$

( ⌊( ⌊|| x= 1+ 2a ⌊(| x− 2a= 1 ||{ x= 1 +2a ||||{ 1 |{ ||| 1+ 2a+ 3a≥ 0 ||| a≥ − 5 ||||( x+ 3a≥ 0 ||( 0≤ 1+ 2a≤ 1 |||||( − 1 ≤ a≤ 0 ||( 0√≤-x≤-1 ⇔ ||(|| x+ 3a= (x− 1)2 ⇔ ||( 2 2 |||{ x +3a − (x− 1)= 0 |||{ x− 1≥ 0 ||||| x+ 3a= (x− 1) ⌈|( x− 2a> 0 ||⌈|| x− 2a> 0 |||{ x≥ 1 0≤ x≤ 1 |( 0≤ x ≤1 ⌈||| x> 2a ( 0≤ x≤ 1

Разберемся с каждой из систем по отдельности:

В случае первой системы мы получили, что $x= 1 +2a$ будет корнем уравнения и попадет на отрезок $[0;1]$ при $[ 1 ] a ∈ − 5;0 .$
В случае второй системы обратим внимание на 2 и 4 условия, из них мы понимаем, что единственный возможный случай: $x = 1.$ Данное значение икса получается при а, удовлетворяющему уравнению $1+ 3a= 0,$ следовательно, $1 a= −3 .$ И оно удовлетворяет условию $x> 2a,$ действительно, $( ) 1> 2⋅ − 1 . 3$

Таким образом, мы получили, что первая система дает корень, удовлетворяющий условию задачи, при $[ ] a∈ − 1;0 , 5$ а вторая система дает корень, удовлетворяющий условию задачи, при $a= − 1. 3$

Заметим, что $x = 1+ 2a$ равен единице при $a= 0,$ а значит, корни не совпадают. Тогда получаем:

{ } [ ] a∈ − 1 ∪ − 1;0 3 5

Ответ:

${ } [ ] a ∈ − 1 ∪ − 1;0 3 5$