Тема 18. Задачи с параметром

18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#83775Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

x2 − (x− 1)√2x-−-a= x

имеет ровно один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

x(x− 1)= (x − 1)√2x-−-a ⌊ ( | {x − 1 = 0 || (2x− a ≥0 ⌈ √----- x= 2x − a ⌊ ({x = 1 || || ((2x− a ≥0 || {(x− 1)2 = 1− a ⌈ ( x ≥ 0

При $1− a< 0 ⇔ a > 1$ уравнение из второй системы не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если $x = 1$ удовлетворяет условию $2x− a≥ 0,$ то есть при $a ≤2.$ Следовательно, при $a ∈(1;2]$ исходное уравнение имеет единственное решение.

При $a= 1$ уравнение из второй системы имеет единственный корень $x =1,$ совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0$ и $x≥ 0.$ Следовательно, это значение параметра нам также подходит.

Пусть далее $a < 1.$ Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию $2x − a ≥ 0,$ уравнение из второй системы имеет два различных корня $√---- x = 1± 1− a,$ каждый из которых не должен являться корнем исходного уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию $x ≥0.$ Но $---- 1 +√ 1− a> 1,$ следовательно, удовлетворяет условию $x ≥ 0.$ Значит, исходное уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно, $a< 1$ нам не подходит.

Таким образом, ответ

a∈ [1;2]

Ответ:

$a ∈[1;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#91277Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 2)3 ( 2)2 3|x−a| 2|x−a| 1− (x + a+ 1) − 1− (x +a + 1) = 2 − 2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

( 2)3 ( 2)2 3|x−a| 2|x−a| 1− (x + a+ 1) − 1− (x +a + 1) = 2 − 2

Пусть $u = 1− (x + a+ 1)2,$ $v = 2|x−a|.$ Тогда уравнение примет вид

3 2 3 2 u − u = v − v .

Заметим, что $(x+ a+ 1)2 ≥ 0$ и $|x− a|≥0.$ Тогда

$pict$

Исследуем функцию

f(t)= t3 − t2 = t2(t− 1).

Если $t ≤1,$ то $f(t)≤ 0.$ Если $t≥ 1,$ то $f(t)≥ 0.$

Тогда так как $u ≤1$ и $v ≥ 1,$ то получаем, что $f(u)≤ 0$ и $f(v)≥ 0,$ то есть

0 ≥f(u)= u3− u2 = v3− v2 = f(v)≥ 0.

Значит, равенство достигается только при $f(u)= 0= f(v).$ Таким образом,

[ (|| u= 0 {f(u)= 0 {u2(u− 1)= 0 ||{ u= 1 ⇔ 2 ⇔ | [ f(v)= 0 v (v − 1) =0 |||( v = 0 v = 1

Мы знаем, что $v ≥ 1,$ поэтому

([ ([ |{ u= 0 |{ 1 − (x+ a +1)2 = 0 u= 1 ⇔ 1 − (x+ a +1)2 = 1 |(v = 1 |(2|x− a| = 1

Решим последнее уравнение системы:

|x− a| 2 = 1 2|x−a| = 20 |x− a|=0 x− a= 0 x =a

Тогда получаем

( ⌊ (|{ [(2a +1)2 = 1 |||{ |a= 0 (2a +1)2 = 0 ⇔ ⌈a= −1 |( ||| a= −0,5 x= a ( x= a

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

a ∈{− 1;− 0,5;0}.

Ответ:

$a ∈{− 1;− 0,5;0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#91278Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 2)3 ( 2)2 3|x+2a| 2|x+2a| 1− (x− 2a+ 1) − 1− (x− 2a+ 1) = 2 − 2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

( 2)3 ( 2)2 3|x+2a| 2|x+2a| 1− (x− 2a+ 1) − 1− (x− 2a+ 1) = 2 − 2

Пусть $u = 1− (x − 2a+ 1)2,$ $v = 2|x+2a|.$ Тогда уравнение примет вид

3 2 3 2 u − u = v − v .

Заметим, что $(x− 2a+ 1)2 ≥ 0$ и $|x + 2a|≥ 0.$ Тогда

$pict$

Исследуем функцию

f(t)= t3 − t2 = t2(t− 1).

Если $t ≤1,$ то $f(t)≤ 0.$ Если $t≥ 1,$ то $f(t)≥ 0.$

Тогда так как $u ≤1$ и $v ≥ 1,$ то получаем, что $f(u)≤ 0$ и $f(v)≥ 0,$ то есть

0 ≥f(u)= u3− u2 = v3− v2 = f(v)≥ 0.

Значит, равенство достигается только при $f(u)= 0= f(v).$ Таким образом,

[ (|| u= 0 {f(u)= 0 {u2(u− 1)= 0 ||{ u= 1 ⇔ 2 ⇔ | [ f(v)= 0 v (v − 1) =0 |||( v = 0 v = 1

Мы знаем, что $v ≥ 1,$ поэтому

( [ ( [ |{ u =0 |{ 1− (x− 2a+ 1)2 =0 u =1 ⇔ 1− (x− 2a+ 1)2 =1 |( v = 1 |( 2|x+2a| =1

Решим последнее уравнение системы:

|x+2a| 2 =1 2|x+2a| = 20 |x+ 2a|= 0 x+ 2a =0 x= − 2a

Тогда получаем

( ⌊ (|{[(−4a +1)2 = 1 |||{ |a= 0 (−4a +1)2 = 0 ⇔ ⌈a= 0,5 |( ||| a= 0,25 x = −2a ( x= −2a

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

a∈ {0;0,25;0,5}.

Ответ:

$a ∈{0;0,25;0,5}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#91279Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(2 +|x+ a|)3− (2+ |x +a|)2 = (3 − x2 − 2ax − 2a2)3− (3− x2− 2ax − 2a2)2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

(2 +|x+ a|)3− (2+ |x +a|)2 = (3 − x2 − 2ax − 2a2)3− (3− x2− 2ax − 2a2)2

Пусть $u = 2+ |x +a|,$ $v = 3 − x2 − 2ax − 2a2.$ Тогда уравнение примет вид

3 2 3 2 u − u = v − v .

Заметим, что так как $|x+ a|≥0,$ то

u= 2+ |x + a|≥2,

Исследуем функцию

f(t)= t3− t2.

Найдем ее производную:

( ) f′(t)= t3 − t2 ′ =3t2− 2t= t(3t− 2)

Найдем нули производной:

⌊ t= 0, ⌈ 2 t= 3.

Тогда имеем:

$t0+−+f2′(t) : 3$

Значит, $t= 0$ — точка максимума, $2 t= 3$ — точка минимума. При этом

$pict$

Можем нарисовать эскиз графика функции $f(t) :$

$ty022 3$

По графику видно, что все значения, которые функция $f(t)$ принимает на промежутке $[2;+∞ ),$ она принимает ровно один раз. Значит, так как $u≥ 2,$ то верно следующее:

f(u)= f(v) ⇔ u = v.

Тогда заметим, что

2 2 v = 3− x − 2ax − 2a = = 3− (x2 +2ax +a2)− a2 = =3 − a2 − |x+ a|2.

Следовательно,

2+ |x+ a|= 3− a2− |x + a|2 |x+ a|2+ |x+ a|− 1+ a2 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно $|x+ a|.$ Нам нужно найти такие значения параметра $a,$ при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень.

Пусть $z = |x+ a|≥ 0.$ Рассмотрим функцию

g(z)= z2+ z+ (a2− 1).

Графиком этой квадратичной функции является парабола с вершиной в точке

zверш. =-−1-= − 1. 2 ⋅1 2

Тогда график функции $g(z)$ выглядит так:

$zy0$

Функция $g(z)$ должна иметь хотя бы один неотрицательный корень, следовательно,

g(0) ≤0 a2− 1≤ 0 a2 ≤ 1 −1 ≤a ≤ 1

Ответ:

$a ∈[−1;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#91280Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(3 +2|x+ a|)3− (3+ 2|x +a|)2 = (7 − x2 − 2ax − 2a2)3− (7 − x2 − 2ax − 2a2)2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

(3 +2|x+ a|)3− (3+ 2|x +a|)2 = (7 − x2 − 2ax − 2a2)3− (7 − x2 − 2ax − 2a2)2

Пусть $u = 3+ 2|x +a|,$ $v = 7− x2− 2ax− 2a2.$ Тогда уравнение примет вид

3 2 3 2 u − u = v − v .

Заметим, что так как $2|x + a|≥ 0,$ то

u = 3+ 2|x +a|≥ 3

Исследуем функцию

f(t)= t3− t2.

Найдем ее производную:

( ) f′(t)= t3 − t2 ′ =3t2− 2t= t(3t− 2)

Найдем нули производной:

⌊ t= 0, ⌈ 2 t= 3.

Тогда

$t0+−+f2′(t) : 3$

Значит, $t= 0$ — точка максимума, $2 t= 3$ — точка минимума. При этом

$pict$

Можем нарисовать эскиз графика функции $f(t) :$

$ty032 3$

По графику видно, что все значения, которые функция $f(t)$ принимает на промежутке $[3;+∞ ),$ она принимает ровно один раз. Значит, так как $u≥ 3,$ то верно следующее:

f(u)= f(v) ⇔ u = v.

Тогда заметим, что

2 2 ( 2 2) 2 2 2 v = 7− x − 2ax− 2a = 7− x + 2ax + a − a =7 − a − |x+ a|.

Следовательно,

2 2 3+ 2|x+ a|=7 − a − |x+ a| |x+ a|2+ 2|x + a|− 4+ a2 = 0

Пусть $z = |x+ a|≥ 0.$ Рассмотрим функцию

( ) g(z) =z2 +2z+ a2− 4 .

Графиком этой квадратичной функции является парабола с вершиной в точке

zверш. = −2-= − 1. 2⋅1

Тогда график функции $g(z)$ выглядит так:

$zy0$

Функция $g(z)$ должна иметь хотя бы один неотрицательный корень, следовательно,

g(0) ≤0 2 a − 4≤ 0 a2 ≤ 4 −2 ≤a ≤ 2

Ответ:

$a ∈[−2;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#91281Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2sinx+ cosx= a

имеет единственное решение на отрезке $[ ] π-; 3π . 4 4$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Исследуем на отрезке $[ ] π; 3π 4 4$ функцию

f(x)= 2sinx + cosx

Найдем ее производную:

f ′(x)= (2 sinx+ cosx)′ =2 cosx − sinx

Найдем нули производной:

$pict$

Заметим, что на отрезке $[π 3π] 4;-4$ лежит только одна точка экстремума функции $f(x)$ — точка $x= arctg 2.$

При $x= π- 4$ производная функции $f(x)$ равна

( ) √- f′ π- = 2cos π-− sin π-=-2 4 4 4 2

Тогда $x = arctg2$ — точка максимума функции $f(x),$ которая строго возрастает на промежутке $[π- ] 4;arctg2 ,$ а на промежутке $[ ] 3π arctg2;4$ — строго убывает.

Изобразим график функции $f(x):$

$xyπ3aπrctg2 44$

Тогда исходное уравнение имеет единственное решение, если прямая $y = a$ пересекает график ровно в одной точке. Такое выполняется при

[ ( ) ) a∈ f 3π- ;f( π) ∪{f(arctg2)} 4 4

Вычислим эти значения $f(x).$ Тогда имеем:

$pict$

Если $x = arctg2,$ то $tg x= 2.$ Тогда получим

tgx= 2 sinx-= 2 cosx sinx = 2cosx

Значит, из основного тригонометрического тождества:

2 2 sin x + cos x= 1 4 cos2x+ cos2x= 1 5cos2x = 1 cos2 x= 1 5

Так как $x =arctg 2,$ то $cosx> 0,$ поэтому $cosx = √1-. 5$ Тогда $sinx= 2√-. 5$ Таким образом,

√- f(arctg2)= 2sin(arctg2)+ cos(arctg2) =2 ⋅√2-+ 1√--= 5 5 5

Значит, исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке $[ ] π-; 3π 4 4$ при

[√- √ -) a∈ -2; 3-2 ∪{√5-} 2 2

Ответ:

$[√ - √- ) a ∈ --2; 3-2 ∪ {√5} 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#91282Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

sin3x +a sinx =0

не имеет решений на промежутке $( ) 0; π . 4$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

sin3x +a sinx =0 3 3sin x−( 4sin x +a sinx) =0 sinx⋅ 3− 4sin2x+ a = 0

Заметим, что при $( π) x∈ 0;4$ значение $sinx$ больше 0. Тогда полученное уравнение равносильно

3− 4sin2x +a = 0 4sin2x= a+ 3

На промежутке $( π ) 0;-4$ синус возрастает. Значит,

0< x < π- 4 - √2- 0 <sinx< 2 2 1 0< sin x < 2 0 <4 sin2x< 2

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений на промежутке $( π) 0;4-,$ если число $a+ 3$ не принадлежит интервалу $(0;2),$ то есть

[ [ a +3 ≥2 a ≥− 1 a +3 ≤0 ⇔ a ≤− 3

Итого получаем

a∈ (−∞; −3]∪[−1;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −3]∪ [−1;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#91283Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( 2)3 ( 2)2 3|x−2a| 2|x−2a| 1− (x+ 2a+ 1) − 1− (x+ 2a+ 1) = 2 − 2

имеет хотя бы один корень.

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

( 2)3 ( 2)2 3|x−2a| 2|x−2a| 1− (x+ 2a+ 1) − 1− (x+ 2a+ 1) = 2 − 2

Пусть $u = 1− (x + 2a+ 1)2,$ $v = 2|x−2a|.$ Тогда уравнение примет вид

3 2 3 2 u − u = v − v .

Заметим, что $(x+ 2a+ 1)2 ≥ 0$ и $|x − 2a|≥ 0.$ Тогда

$pict$

Исследуем функцию

f(t)= t3 − t2 = t2(t− 1).

Если $t ≤1,$ то $f(t)≤ 0.$ Если $t≥ 1,$ то $f(t)≥ 0.$

Тогда так как $u ≤1$ и $v ≥ 1,$ то получаем, что $f(u)≤ 0$ и $f(v)≥ 0,$ то есть

0 ≥f(u)= u3− u2 = v3− v2 = f(v)≥ 0.

Значит, равенство достигается только при $f(u)= 0= f(v).$ Таким образом,

[ (|| u= 0 {f(u)= 0 {u2(u− 1)= 0 ||{ u= 1 ⇔ 2 ⇔ | [ f(v)= 0 v (v − 1) =0 |||( v = 0 v = 1

Мы знаем, что $v ≥ 1,$ поэтому

( [ ( [ |{ u =0 |{ 1− (x+ 2a+ 1)2 =0 u =1 ⇔ 1− (x+ 2a+ 1)2 =1 |( v = 1 |( 2|x−2a| =1

Решим последнее уравнение системы:

|x−2a| 2 = 1 2|x−2a| = 20 |x− 2a|= 0 x− 2a =0 x= 2a

Тогда получаем

(⌊ (|{[(4a+ 1)2 = 1 |||{|a = 0 (4a+ 1)2 = 0 ⇔ ⌈a = −0,5 |( ||| a = −0,25 x = 2a (x =2a

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

a ∈{− 0,5;−0,25;0}.

Ответ:

$a ∈{− 0,5;−0,25;0}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#91750Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|3x|+ |4y|= 12a 2 2 x + y − 10y = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x2+ y2− 10y = 0 2 2 x + (y− 5) =25

Оно задает окружность с центром в точке $(0;5)$ радиуса 5.

Рассмотрим первое уравнение системы:

⌊( ||{ y ≥ 0 ( ) |||( y = − 3|x|− 3a ||( 4 ||{ y < 0 ⌈( 3 y = 4|x|− 3a

При $a< 0$ первое уравнение не имеет решений, так как сумма модулей всегда неотрицательна.

При $a= 0$ совокупность, равносильная первому уравнению, задает точку $(0;0),$ а при $a > 0$ задает ромб:

$xy3−4−a3a4aa$

Определим положения ромба, при которых он пересекает окружность ровно в двух точках.

$xy((2)1)$

Нам подходят все ромбы до положения 1 (то есть верхняя вершина ромба лежит ниже верхней точки окружности), а также положение 2 (верхние стороны ромба касаются окружности).

Верхняя вершина ромба имеет координаты $(0;3a),$ верхняя точка окружности имеет координаты $(0;10).$ Следовательно, положениям ниже положения 1 соответствуют следующие значения параметра:

10 0< 3a <10 ⇔ 0< a< 3

Заметим, что в силу симметрии чертежа относительно оси ординат если левая верхняя сторона ромба касается окружности, то и правая верхняя тоже ее касается. Следовательно, достаточно записать условие касания окружности с любой из этих сторон. Правая верхняя сторона задается уравнением

3x+ 4y− 12a= 0

Условие касания этой стороны и окружности (при условии $a> 0$ ):

|3 ⋅0+ 4⋅5− 12a| 15 5 = ---√32-+-42---- ⇔ 25 = |20− 12a| ⇒ a = 4-

Следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения при

( ) { } a∈ 0; 10 ∪ 15 3 4

Ответ:

$( ) { } a ∈ 0; 10 ∪ 15 3 4$

Критерии оценки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#91751Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|4x|+ |3y|= 12a 2 2 x + y + 10y = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

x2+ y2+ 10y = 0 2 2 x + (y+ 5) =25

Оно задает окружность с центром в точке $(0;− 5)$ радиуса 5.

Рассмотрим первое уравнение системы:

⌊( ||{ y ≥ 0 ( ) |||( y = − 4|x|− 4a ||( 3 ||{ y < 0 ⌈( 4 y = 3|x|− 4a

При $a< 0$ первое уравнение не имеет решений, так как сумма модулей всегда неотрицательна.

При $a= 0$ совокупность, равносильная первому уравнению, задает точку $(0;0),$ а при $a > 0$ задает ромб:

$xy4−3−a4a3aa$

Определим положения, при которых он пересекает окружность ровно в двух точках.

$xy((1)2)$

Нам подходят все ромбы до положения 1 (то есть нижняя вершина ромба лежит выше нижней точки окружности), а также положение 2 (нижние стороны ромба касаются окружности).

Нижняя вершина ромба имеет координаты $(0;−4a),$ нижняя точка окружности имеет координаты $(0;− 10).$ Следовательно, положениям ниже положения 1 соответствуют следующие значения параметра:

5 0 >− 4a> −10 ⇔ 0 < a< 2

Заметим, что в силу симметрии чертежа относительно оси ординат если левая нижняя сторона ромба касается окружности, то и правая нижняя тоже ее касается. Следовательно, достаточно записать условие касания окружности с любой из этих сторон. Левая нижняя сторона задается уравнением

4x+ 3y+ 12a= 0

Условие касания этой стороны и окружности (при условии $a> 0$ ):

|4-⋅0-− 3-⋅5+-12a| 10 5 = √42-+-32 ⇔ 25 =|− 15+ 12a| ⇒ a = 3

Следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения при

( ) { } a ∈ 0; 5 ∪ 10- 2 3

Ответ:

$( ) { } a ∈ 0; 5 ∪ 10 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#91752Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|x− 4|+|y− 4|= a xy =4

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы. При $a< 0$ оно не имеет решений, так как сумма модулей неотрицательна. При $a = 0$ оно задает точку $(4;4),$ следовательно, вся система имеет не более одного решения, что нам не подходит. При $a >0$ уравнение равносильно совокупности

⌊{ y ≥ 4 || y = −|x − 4|+ a+ 4 ||{ ⌈ y < 4 y = |x− 4|− a+ 4

Она задает квадрат $ABCD,$ причем точка пересечения диагоналей имеет координаты $(4;4).$

$xyABCD44$

Уравнение $xy =4$ задает гиперболу, ветви которой находятся в I и III четвертях. Изобразим положения квадрата, при которых он пересекает гиперболу в двух точках.

$xy44(((321)))$

Нам подходит положение 1 (когда точки $A$ и $D$ лежат на гиперболе в I четверти), а также все положения между 2 и 3 (когда сторона $AD$ касается гиперболы в I четверти и касается гиперболы в III четверти).

Вершина $A$ имеет координаты $(4− a;4),$ следовательно, положение 1 задается следующим значением параметра:

(4 − a)⋅4 =4 ⇔ a= 3

Сторона $AD$ задается уравнением $y =− x− a+ 8,$ где $4 − a ≤ x≤ 4.$ Если уравнение

2 x(− x− a+ 8)= 4 ⇔ x + (a− 8)x + 4= 0

имеет одно решение, то $AD$ касается гиперболы. Следовательно, его дискриминант равен нулю:

2 2 D = (a− 8) − 4 = 0 ⇔ a = 4;12

Значит, исходная система имеет ровно два различных решения при

a∈ {3}∪ (4;12)

Ответ:

$a ∈{3}∪ (4;12)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#91753Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{|x− 2|+|y− 2|= a xy =1

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы. При $a< 0$ оно не имеет решений, так как сумма модулей неотрицательна. При $a = 0$ оно задает точку $(2;2),$ следовательно, вся система имеет не более одного решения, что нам не подходит. При $a >0$ уравнение равносильно совокупности

⌊{ y ≥ 2 || y = −|x − 2|+ a+ 2 ||{ ⌈ y < 2 y = |x− 2|− a+ 2

Она задает квадрат $ABCD,$ причем точка пересечения диагоналей имеет координаты $(2;2).$

$xyABCD22$

Уравнение $xy =1$ задает гиперболу, ветви которой находятся в I и III четвертях. Изобразим положения квадрата, при которых он пересекает гиперболу в двух точках.

$xy22(((321)))$

Вершина $A$ имеет координаты $(2− a;2),$ следовательно, положение 1 задается следующим значением параметра:

3 (2− a)⋅2= 1 ⇔ a = 2

Сторона $AD$ задается уравнением $y =− x− a+ 4,$ где $2 − a ≤ x≤ 2.$ Если уравнение

x(− x− a+ 4)= 1 ⇔ x2+ (a− 4)x + 1= 0

имеет одно решение, то $AD$ касается гиперболы. Следовательно, его дискриминант равен нулю:

D = (a− 4)2− 4 =0 ⇔ a= 2;6

Значит, исходная система имеет ровно два различных решения при

{ } a∈ 3 ∪ (2;6) 2

Ответ:

${ } a ∈ 3 ∪(2;6) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#63283Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √ -------- (xy − x + 8) ⋅ y− x+ 8 =0 ( y = 2x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система определена при $y− x+ 8≥ 0.$ На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

⌊ ⌈y = x− 8 y = 1− 8x (при x= 0 получается неверное равенство 0= 8)

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y ≥ x− 8.$

Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.

Точка пересечения прямых $y = 2x+ a$ и $y =x − 8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y = 2x+ a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y =x − 8,$ а второй раз в области ниже прямой $y = x − 8.$

Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

$yy(3(4(1(2 = =)))) 1x−− 8x8$

Положения 1 и 2. Прямая $y = 2x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 8, x$ если уравнение

2x +a = 1− 8 x 2x2 +(a− 1)x+ 8= 0

имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a − 1)2− 4⋅2⋅8$ равен нулю:

a − 1 = ±8 ⇔ a ∈{− 7;9}

Гипербола $y = 1−-8 x$ пересекается с прямой $y = x− 8$ при

x− 8= 1− 8 x x2− 8x= x − 8 2 x − 9x+ 8= 0

Получаем $x = 1,$ $y = − 7$ и $x= 8,$ $y = 0.$

Найдем значения параметра, при которых прямая $y = 2x+ a$ проходит через эти точки.

Положение 3: $− 7= 2+ a ⇔ a =− 9.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(1;−7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a,$ которая находится в пределах области выше прямой $y = x− 8.$ Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит.

Положение 4: $0= 16+ a ⇔ a= − 16.$

При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0),$ а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y = 2x+ a$ находится в пределах области ниже прямой $y = x− 8.$ Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит.

Тогда окончательно имеем $a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}.$

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 2x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =2x +a$ будет иметь 2 решения:

(⌊ 2 |||{⌈ 2x + (a − 1)x+ 8 =0 x= − a− 8 |||( x ≥ −a− 8

Назовем корень $− a − 8$ числом $x1.$ Заметим, что $x1$ при любом $a$ является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение $x0,$ то есть $D =0,$ причем $x >x ; 0 1$

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть $D > 0,$ причем меньший из этих двух корней $≤ x1,$ а больший $> x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 82.$ Найдем абсциссу вершины параболы $g = 2x2 +(a− 1)x+ 8$ — это $x0 = 1−4a.$

Следовательно, для первого случая получаем

({ D = 0 ({ a= −7;9 ⇔ ⇔ a= − 7;9 ( x0 > x1 ( a> −11

Второй случай выполняется, если парабола $g = 2x2+ (a− 1)x +8$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число $x1$ лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

$x1$

Эта картинка задается следующими условиями:

( ( |||| D⌊(> 0 ||||a⌊ ∈((−∞; −7)∪ (9;+∞ ) ||{ { g(x1)= 0 ||{ {a =− 16;− 9 | ||( ⇔ ||| ( ⇔ − 16 < a≤ −9 |||| |⌈ x0 > x1 |||||⌈ a >− 11 |( g(x1)< 0 |( (a +16)(a+ 9) < 0

Следовательно, ответ

a∈ (− 16;− 9]∪ {−7}∪ {9}

Ответ:

$a ∈(−16;−9]∪ {−7}∪ {9}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но есть недостаток в обосновании	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#63284Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( {(xy− x +7)(y− x+ 7)= 0 ( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(⌊ || y = 1− 7 ||{|⌈ x | y = x− 7 |||( y = 3x + a

Заметим, что при любом $a$ прямые $y = x − 7$ и $y = 3x+ a$ пересекаются. Назовем эту точку $O.$ Следовательно, нам подойдут те значения параметра $a,$ при которых прямая $y = 3x +a$ находится в таком положении, что имеет:

1) ровно одну точку пересечения с гиперболой $y = 1 − 7, x$ причем эта точка не совпадает с точкой $O;$

2) ровно две точки пересечения с гиперболой $y = 1 − 7x,$ причем одна из них — это точка $O.$

Изобразим подходящие положения прямой $y = 3x+ a:$

$7 yy(1(2(3(4 = =)))) 1x−− x7$

Положения (1) и (2) — прямая $y = 3x+ a$ касается гиперболы $y =1 − 7x.$ Найдем, при каких $a$ это происходит.

( ( ||{ x−-7-= 3x+ a ||{a = x−-7−-3x2 x ⇔ x ||( -7 =3 ||(x2 = 7 x2 3

При $∘ 7- x= 3$ получаем $√ -- a =1 − 2 21,$ при $∘ 7- x= − 3$ получаем $√ -- a = 1+ 2 21.$

Следовательно, положению (1) соответствует $√-- a = 1+ 2 21,$ а положению (2) соответствует $a= 1 − 2√21.$

Положения (3) и (4) — когда $y = 3x +a$ проходит через одну из двух точек пересечения гиперболы $7 y = 1− x$ и прямой $y = x − 7.$ Найдем для начала эти точки:

⌊ ⌊ x-− 7-= x− 7 ⇔ ⌈ x− 7= 0 ⇔ ⌈ x= 7 x x= 1 x= 1

Следовательно, получаем точки $A (1;− 6)$ и $B (7;0).$

Положение (3): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $A :$

−6 = 3+ a ⇔ a= −9

Положение (4): прямая $y = 3x+ a$ проходит через $B :$

0= 21+ a ⇔ a =− 21

Ответ:

a ∈ {−21;−9;1− 2√21;1+ 2√21-}

Способ 2. Алгебраический

Так как замена $y = 3x +a$ линейная, то система будет иметь 2 решения в том случае, если первое уравнение системы после подстановки $y =3x +a$ будет иметь 2 решения:

⌊ 2 2 |3x + (a− 1)x + 7= 0 (3x + (a− 1)x +7)(2x+ a+ 7)= 0 ⇔ ⌈ a-+7 x = − 2

Назовем корень $− a+72-$ числом $x1.$

Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть $D = 0,$ причем это решение не совпадает с $x1;$

2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть $D > 0,$ причем одно из этих решений совпадает с $x1.$

Найдем $D = (a − 1)2− 84.$ Найдем также абсциссу вершины параболы $g = 3x2 +(a− 1)x+ 7$ — это $x = 1−a. 0 6$

Тогда первый случай задается условиями

({ D =0 ⇔ a= 1± 2√21 ( x0 ⁄= x1

Второй случай задается условиями

( {D > 0 ( ⇔ a= − 21;− 9 g(x1)= 0

Ответ:

{ √-- √ --} a ∈ −21;−9;1− 2 21;1+ 2 21

Ответ:

$a ∈{− 21;− 9;1 − 2√21;1 +2√21}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#63285Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √--------- (xy − 2x +16) y − 2x +16 =0 ( y = ax− 14

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

⌊ (|| y = 2 − 16 |||| |⌈ x |{ y = 2x − 16 || ||||| y ≥ 2x− 16 ( y = ax− 14

Сделаем замену $y + 14 = p.$ Тогда система примет вид

( ⌊ ( ) ||| p = 16 1− 1 |||| |⌈ x { p = 2x− 2 ||| p≥ 2x− 2 ||||( p= ax

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOp,$ лежащих либо на части гиперболы $p = 16 (1 − 1x),$ лежащей выше прямой $p = 2x − 2,$ либо на прямой $p =2x − 2.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $p = ax,$ проходящая через начало координат плоскости $xOp,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения гиперболы $( 1) p = 16 1 − x$ и прямой $p = 2x − 2:$

( 1 ) 2 16 1− x = 2x− 2 ⇔ x − 9x +8 = 0 ⇔ x= 1;8

Получаем точки $(1;0)$ и $(8;14).$

Изобразим граничные положения прямой $p = ax:$

$( 1) xppp11118(((((==4612345)))))126x−1−2 x$

Нам подходят все $a <0$ (положение 5). При $a> 0$ нам подходят все положения между 4 (когда $p= ax$ горизонтальна) и 3 (когда $p = ax$ проходит через точку $(8;14)$ ), положение 2 (когда $p= ax$ параллельна прямой $p =2x − 2$ ), а также положение 1 (когда $p= ax$ касается гиперболы), если в положении 1 параметр $a ⁄= 2.$

п. (1): Прямая $p= ax$ — касательная к графику $p= 16(1− 1) x$ в точке $x,$ если $(| ( 1) ( |{16 1− x = ax {x = 2 ||16 ⇔ ( (x2 = a a = 4$
п. (2): Прямая $p= ax$ параллельна прямой $p= 2x− 2:$ $a =2$
п. (3): Прямая $p= ax$ проходит через точку $(8;14),$ если $7 14= 8a ⇔ a= 4$
п. (4): $a= 0.$
п. (5): $a< 0.$

Следовательно, ответ

( ] a∈ (−∞; 0)∪ 0; 7 ∪{2;4} 4

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax− 14$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(| ⌊ 2 √-------------- ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 (x(ax − 14)− 2x+ 16) ax− 14− 2x+ 16= 0 ⇔ (a− 2)x= −2 |||( (a− 2)x ≥ −2

$a > 2$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 |||{ |⌈ax − 16x+ 16= 0 x = x1 = −-2- ||||( a − 2 x≥ x1

$x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x, 1$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1$ (а второй соответственно $≤ x1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $2 D = 8(4− a).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = ax − 16x+ 16$ равна $8 x0 = a.$

Если $D = 0,$ то есть $a = 4,$ то единственный корень квадратного уравнения равен $x= x . 0$ Необходимо, чтобы $x >x . 0 1$ Это выполнено. Значит, $a = 4$ нам подходит, так как оно также удовлетворяет $a > 2.$

$a = 2$

Тогда система равносильна

(⌊ ||| x2− 8x + 8= 0 {⌈ √ - || 0⋅x= −2 ⇔ x = 4± 2 2 |(0⋅x ≥ −2

Следовательно, $a= 2$ нам подходит.

$0 <a < 2$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈ax2− 16x+ 16= 0 x = x1 |||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $< x , 1$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $f = ax2− 16x +16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ (|a(4a−-7) (| ⌊({ f(x )= 0 |||||| ||{ (a− 2)2 = 0 ||||| || 1 ||||||| |8 2 { |⌈( x0 < x1 ⇔ {|| ||(a < −a-−-2 ⇔ 0 < a≤ 7 ||| f(x1)< 0 ||||⌈ a(4a − 7) 4 |||( |||| (a−-2)2-< 0 0< a< 2 |||( 0< a < 2

$a = 0$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x = 1 x = 1 ⇔ x= 1 |||( x≤ 1

Следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

$a < 0$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 ||{ ⌈ax − 16x+ 16= 0 | x = x1 ||( x≤ x1

Заметим, что $D > 0,$ следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был $<x1,$ а второй $≥ x1.$

Ветви параболы $2 f = ax − 16x +16$ направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x 1$

Это задается следующими условиями:

( ⌊( a(4a− 7) (|⌊ ({ ||||| ||||{ -(a-− 2)2-= 0 ||||| f (x1)= 0 |||| || 8 2 |{||⌈ (x0 < x1 |{ ||||||( a < −a-− 2 || f(x) >0 ⇔ || |⌈ ⇔ a < 0 ||||( 1 ||||| a(4a−-72)->0 a < 0 |||( (a− 2) a< 0

Следовательно, ответ

( 7] a∈ (−∞; 0)∪ 0;4 ∪{2;4}

Ответ:

$( ] a ∈(−∞; 0)∪ 0; 7 ∪ {2;4} 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#63286Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 √-------- (x − 6x+ y+ 2) x − y +2 = 0 (y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

(|| ⌊(t− 1)2− 6(t− 1)+ y+ 2 =0 |||| ⌈ { t− 1− y+ 2= 0 ||| t− 1 − y + 2≥ 0 |||( y = at ( ⌊ 2 |||| ⌈y =− (t− 4) + 7 ||{ y =t+ 1 | ||||| y ≤ t+ 1 ( y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = −(t− 4)2+ 7,$ лежащей ниже прямой $y = t+ 1,$ либо на прямой $y = t+1.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y = at,$ проходящая через начало координат плоскости $tOy,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = −(t− 4)2+ 7$ и прямой $y = t+ 1:$

2 − (t− 4) +7 = t+ 1 ⇔ t= 2;5

Получаем точки $(2;3)$ и $(5;6).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy136125(((( = =1234))))−t+(t−1 4)2+ 7$

Нам подходят следующие положения.

Положение 1, при котором прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 1.$

Все положения между положением 2, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6)$ и положением 3, когда прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3),$ включая положение 2.

Положение 4, когда прямая $y =at$ касается левой ветви параболы.

Выпишем соответствующие каждому положению значения параметра.

Положение 1. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то $a = 1.$

Положение 2. Прямая $y = at$ проходит через точку $(5;6):$

6 =5a ⇔ a= 6 5

Положение 3. Прямая $y = at$ проходит через точку $(2;3):$

3 3 =2a ⇔ a= 2

Положение 4. Прямая $y = at$ касается параболы $2 y = −(t− 4) +7,$ если имеет единственное решение уравнение

−(t− 4)2 +7 = at ⇔ t2+ (a− 8)t+ 9 =0

Следовательно, его дискриминант

D = (a− 8)2 − 62 = 0 ⇔ a = 2;14

При $a= 2$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y = t+1,$ то есть не принадлежащей множеству $S,$ так как точка касания ищется по формуле $8−-a t0 = 2 .$ При $a= 14$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a = 14.$

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = ax+ a$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученное уравнение относительно $x$ должно иметь 2 решения:

(x2− 6x+ ax +a +2)√x-−-ax-−-a+-2= 0 (⌊ || x2+ (a − 6)x +a +2 = 0 |{⌈ || (1− a)x = a− 2 |((1− a)x≥ a− 2

$a > 1$

Тогда система равносильна

(|⌊ 2 |||{|⌈ x + (a − 6)x+ a +2 = 0 x= x1 = a-−-2 ||||( 1 − a x ≤ x1

Число $x= x1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $x1,$ а второй соответственно $≥ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 = 2 .$

Если $D = 0,$ то $a = 2;14.$ При $a = 2$ получаем $x0 =2,$ $x1 = 0$ — не подходит. При $a= 14$ получаем $x0 = −4,$ $x1 = − 12 13$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Ветви параболы $f = x2+ (a− 6)x +a + 2$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $x1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$x1$

Это задается следующими условиями:

(| ⌊({ (| ⌊(| (2a-− 3)(5a−-6) |||| | f(x1)= 0 |||| ||{ (a− 1)2 = 0 ||||{ ||⌈( x0 < x1 ||||{ ||||| 6− a a− 2 f (x )< 0 ⇔ ||( -2--< 1−-a ||| 1 ||| ⌈(2a−-3)(5a−-6) ||||| D > 0 ||||| (a− 1)2 < 0 |( a> 1 |( a∈ (1;2)∪(14;+∞ )

Отсюда получаем

6 3 5 ≤ a< 2

Следовательно, в этом случае получаем $6≤ a < 3 5 2$ или $a= 14.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

(⌊ 2 ||||{| x + (a − 6)x+ a +2 = 0 ⌈ x= x = a-−-2 |||| 1 1 − a (x ≥ x1

Число $x = x 1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $x1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $x1,$ а второй соответственно $≤ x1.$

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a − 2)(a− 14).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = x + (a− 6)x+ a+ 2$ равна $6−a x0 =-2-.$

Если $D = 0,$ то $a= 2;14.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a< 1.$

Если $D > 0,$ то $a < 2$ или $a> 14.$ Учитывая, что $a< 1,$ рассматриваем только $a< 1.$ Тогда $x1 < 0,$ а $x0 > 0.$ Следовательно, $x1 < x0.$ Следовательно, число $x1$ может находиться разве что между корнями, либо совпадать с меньшим корнем. Получаем такую картинку:

$xx10$

Это задается условием

f(x1)≤ 0 ⇒ (2a−-3)(5a−2-6)≤ 0 (a− 1)

Отсюда получаем

6 ≤ a≤ 3 5 2

Эти значения не удовлетворяют условию $a< 1.$

Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

$a = 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ |||{ ⌈x2 − 5x +3 = 0 √-- 0 ⋅x= −1 ⇔ x= 5±--13- |||( 2 0⋅x ≥− 1

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2

Ответ:

$[ ) a ∈ 6 ; 3 ∪ {1;14} 5 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#63809Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ √ --------- (xy− 2x+ 12) ⋅ y− 2x+ 12= 0 ( y = 3x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

⌊ (|⌊ (|| y = 2− 12 ||||⌈ xy− 2x+ 12= 0 |||| |⌈ x |{ y− 2x+ 12= 0 |{ y = 2x− 12 ||y − 2x +12 ≥0 ⇔ || ||||( ||||| y ≥ 2x− 12 y = 3x + a ( y = 3x+ a

Первое уравнение задает гиперболу, а второе уравнение задает прямую. Пусть $S$ — множество точек гиперболы $y = 2− 12, x$ лежащих выше прямой $y = 2x − 12,$ или точек прямой $y = 2x− 12.$

Тогда нам подходят те значения параметра $a,$ при которых прямая $y = 3x + a$ имеет две точки пересечения со множеством $S.$

Найдем точки пересечения гиперболы $y = 2− 1x2$ и прямой $y = 2x− 12:$

( ( ( {xy − 2x +12 =0 ⇔ {xy − y = 0 ⇔ {y(x− 1)= 0 (y − 2x +12 =0 (y =2x − 12 (y =2x − 12

Получаем две точки: $A (1;− 10)$ и $B (6;0).$

Рассмотрим ключевые положения прямой $y = 3x+ a$ и посчитаем значения параметра в каждом из них.

$yy(1(2(3(4AB = =)))) 22−x−1x212$

Положение 1. Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $B :$

0= 18+ a ⇔ a =− 18

Положение 2. Прямая $y = 3x+ a$ проходит через точку $A:$

−10 = 3+ a ⇔ a= −13

Положения 3 и 4. Прямая $y = 3x+ a$ касается гиперболы $12 y = 2 − x$ в точке $x0 :$

(| 12 (| 12 {2 − x-= 3x+ a { a= 2− -x − 3x |( 12= 3 ⇔ |( 2 x2 x = 4

При $x= − 2$ получаем $a = 14,$ что соответствует положению 4. При $x = 2$ получаем $a = −10,$ что соответствует положению 3.

Нам подходят положения 3 и 4, а также все положения между 1 и 2, включая положение 2.

Объединив подходящие значения параметра, получаем

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}

Способ 2. Алгебраический

( ⌊ || 3x2+ (a− 2)x+ 12= 0 |{ ⌈ || x = −a− 12 |( x≥ − a− 12

Назовем корень $− a − 12$ числом $x1.$ Заметим, что $x1$ при любом $a$ является решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения, если:

1) квадратное уравнение имеет одно решение $x0,$ то есть $D =0,$ причем $x0 >x1;$

2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть $D > 0,$ причем меньший из этих двух корней $≤ x1,$ а больший $> x1.$

Найдем $2 2 D = (a − 2) − 12.$ Найдем абсциссу вершины параболы $2 g = 3x +(a− 2)x+ 12$ — это $2−a x0 =-6-.$

Следовательно, для первого случая получаем

({ D = 0 ({ a= −10;14 ⇔ ⇔ a= − 10;14 ( x0 > x1 ( a> −14,8

Второй случай выполняется, если парабола $g = 3x2+ (a− 2)x +12$ пересекает ось абсцисс в двух точках, причем число $x1$ лежит между этими точками либо совпадает с левой точкой:

$x1$

Эта картинка задается следующими условиями:

(|D > 0 (| a∈ (− ∞;− 10) ∪(14;+ ∞) |||||⌊ ( ||||| ⌊( {| {g(x1)= 0 ⇔ { |{ a= −18;−13 ⇔ − 18< a≤ − 13 ||||| (x0 >x1 ||| ||( a> −14,8 |||(⌈ |||( ⌈ g(x1)< 0 2(a+ 13)(a+ 18)< 0

Объединив подходящие значения параметра, получаем

a∈ (−18;−13]∪{−10;14}

Ответ:

$a ∈(−18;−13]∪ {− 10;14}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#63810Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ (2 ) √ -------- x − 5x − y + 3 ⋅ x− y+ 3 =0 ( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(|| ⌊x2− 5x+ 3− y =0 (||⌊ y = x2− 5x+ 3 |||| ⌈ ||||⌈ { x − y +3 = 0 ⇔ { y = x +3 ||| x− y+ 3≥ 0 |||y ≤ x+ 3 |||( |||( y = a(x+ 1) y = a(x +1)

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих либо на части параболы $y = x2− 5x+ 3,$ лежащей ниже прямой $y =x + 3,$ либо на прямой $y = x+ 3.$

Необходимо найти те $a,$ при которых прямая $y =a(x+ 1),$ проходящая через начало координат плоскости $xOy,$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S.$

Найдем точки пересечения параболы $y = x2− 5x+ 3$ и прямой $y = x+ 3:$

x2− 5x+ 3 =x + 3 ⇔ x= 0; 6

Получаем точки $A(0;3)$ и $B (6;9).$

Изобразим граничные положения прямой $y = a(x +1) :$

$xyyy13960AB(((( = =1)2)3)4) xx2−+35x+ 3$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

(1)

Прямая $y = a(x+ 1)$ касается параболы $2 y = x − 5x+ 3,$ если уравнение

x2 − 5x +3 = a(x +1) ⇔ x2− (5+ a)x+ 3− a= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D =(5+ a)2− 4(3− a)= 0 ⇔ a = −13;−1

При $a= −13$ прямая $y =a(x+ 1)$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y = x +3,$ то есть не принадлежащей множеству $S$ (так как точка касания ищется по формуле $5+a x0 =-2-$ ). При $a = −1$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a= −1.$

(2)

Прямая $y = a(x + 1)$ параллельна прямой $y = x+ 3:$

a =1

(3)

Прямая $y = a(x + 1)$ проходит через точку $B (6;9):$

9= a(6+ 1) ⇔ a= 9 7

(4)

Прямая $y = a(x + 1)$ проходит через точку $A(0;3):$

a =3

Следовательно, ответ

[9 ) a ∈ 7 ;3 ∪{− 1;1}

Способ 2. Алгебраический

Будем пользоваться той же заменой $x+ 1 =t.$ Подставим $y = at$ в первое уравнение. Так как замена линейная, то полученная система относительно $t$ должна иметь 2 решения:

(|⌊ t2− (a+ 7)t+9 = 0 ||{⌈ | (a − 1)t= 2 ||((a− 1)t≤2

$a > 1$

Тогда система равносильна

(|⌊ 2 |||{| t− (a+ 7)t+9 = 0 ⌈ t= t = -2-- |||| 1 a− 1 (t≤ t1

Число $t 1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $t1$ (а второй соответственно $≥ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 13).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 7)t+ 9$ равна $a+7 t0 = -2-.$

Если $D = 0,$ то $a = −13;− 1.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a> 1.$

Если $D > 0,$ то $a < −13$ или $a> − 1.$ Ветви параболы $f = t2 − (a+ 7)t+ 9$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $t1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$t1$

Это задается следующими условиями:

( (||⌊ {f(t1) = 0 (|| ⌊(|| (7a−-9)(a−-3)= 0 (|| ⌊(| 9 |||||| ( |||| ||{ (a− 1)2 |||| ||{ a= 7;3 |||{|⌈ t0 < t1 |||{ ||||( a-+7 --2- |||{ ||||| (a+ 3+ 2√5)(a +3 − 2√5-) f(t1)< 0 ⇔ || 2 < a− 1 ⇔ |⌈( ---------a−-1---------< 0 |||| |||| ⌈ (7a-− 9)(a−-3)-< 0 |||| 9 < a< 3 |||||D > 0 ||||| (a− 1)2 ||||| 7 (a > 1 ( a> 1 ( a> 1

Следовательно, в этом случае получаем $9 7 ≤ a <3.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

(⌊ ||||| t2− (a+ 7)t+9 = 0 {⌈ -2-- ||| t= t1 = a− 1 |(t≥ t1

$t= t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них больше $t1$ (а второй соответственно $≤ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 13).$ Абсцисса вершины параболы $f = t2− (a+ 7)t+ 9$ равна $t0 = a+27.$

Если $D = 0,$ то $a= −13;−1.$ При $a =− 13$ получаем $t0 <t1$ — не подходит. При $a= − 1$ получаем $t0 > t1$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < −13$ или $a> − 1.$ Тогда парабола $y = t2− (a+ 7)t+ 9$ пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число $t1$ находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({f(t) = 0 (| ⌊(| (7a−-9)(a−-3) (| ⌊(| 9 ||||||| 1 ||||| |||{ (a− 1)2 = 0 ||||| ||{ a= 7;3 |||{|⌈ (t0 > t1 |||{ |||| a-+7 --2- |||{ |||| (a+ 3+ 2√5)(a +3 − 2√5 ) f(t1)< 0 ⇔ ||( 2 > a− 1 ⇔ ||⌈( ---------a−-1---------> 0 |||| |||| ⌈ (7a-− 9)(a−-3)-< 0 |||| 9 < a< 3 ||||D > 0 |||| (a− 1)2 |||| 7 |(a < 1 |( a∈ (−∞; −13)∪(−1;1) |( a∈ (− ∞;− 13)∪(−1;1)

В случае $D > 0$ не получаем никаких значений параметра.

Получается, при $a< 1$ нам подходит только $a = −1.$

$a = 1$

Тогда система равносильна

(⌊ |||{⌈ t2− 8t+ 9= 0 √ - 0⋅t= 2 ⇔ t =4 ± 7 |||( 0⋅t≤ 2

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Следовательно, ответ

[9 ) a ∈ 7 ;3 ∪{− 1;1}

Ответ:

$[ ) a ∈{− 1;1}∪ 9;3 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,	2
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемьх ограничений,	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#63811Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ (2 ) √ -------- x − 7x +8 − y ⋅ x− y+ 8 =0 ( y = ax+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Сделаем замену $x+ 1= t.$ Тогда система равносильна

( ⌊ (⌊ ||| (t− 1)2− 7(t− 1)+ 8− y =0 ||| y = t2− 9t+16 |||{ ⌈ |||{⌈ t− 1− y+ 8= 0 ⇔ y = t+ 7 |||| t− 1 − y +8 ≥ 0 ||||y ≤ t+7 ||( y = at ||(y = at

Пусть $S$ — множество точек плоскости $tOy,$ лежащих либо на части параболы $y = t2 − 9t+ 16,$ лежащей ниже прямой $y = t+7,$ либо на прямой $y = t+7.$

Найдем точки пересечения параболы $y = t2 − 9t+ 16$ и прямой $y = t+ 7:$

t2 − 9t+ 16= t+ 7 ⇔ t= 1;9

Получаем точки $A(1;8)$ и $B (9;16).$

Изобразим граничные положения прямой $y = at:$

$tyyy18119AB(((( = =61234))))tt2+−79t+16$

Нам подходят положения 1 и 2, а также все положения между 3 и 4, включая 3.

п. (1)

Прямая $y = at$ касается параболы $y = t2− 9t+ 16,$ если уравнение

2 2 t − 9t+16 = at ⇔ t − (a+ 9)t+ 16= 0

имеет единственное решение. Следовательно, его дискриминант

D = (a +9)2− 82 = 0 ⇔ a =− 17;− 1

При $a = −17$ прямая $y =at$ касается части параболы, лежащей выше прямой $y =t+ 7,$ то есть не принадлежащей множеству $S$ (так как точка касания ищется по формуле $t0 = a+29$ ). При $a = −1$ прямая касается нужной нам части параболы. Следовательно, подходит $a= −1.$

п. (2)

Прямая $y = at$ параллельна прямой $y = t+ 7:$

a =1

п. (3)

Прямая $y = at$ проходит через точку $B (9;16):$

16 16 =9a ⇔ a= 9-

п. (4)

Прямая $y = at$ проходит через точку $A (1;8):$

a =8

Следовательно, ответ

[ ) a∈ 16;8 ∪ {−1;1} 9

Способ 2. Алгебраический

(| ⌊ 2 ||{ ⌈t − (a + 9)t+ 16= 0 | (a− 1)t= 7 ||( (a − 1)t≤ 7

$a > 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≤ t1

Число $t1$ при любом $a$ является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, меньший $t1,$ либо два корня, причем ровно один из них меньше $t1$ (а второй соответственно $≥ t1$ ).

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a = −17;− 1.$ Но эти $a$ не удовлетворяют условию $a> 1.$

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Ветви параболы $f = t2 − (a+ 9)t+16$ направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число $t1$ должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(|⌊ ({ (| ⌊(| (9a− 16)(a− 8) (| ⌊( 16 ||||| f(t1) = 0 |||| ||{ ---(a−-1)2---= 0 |||| |||{ a= -9 ;8 ||||||⌈ (t0 < t1 |||| |||| a +9 7 |||| ||| √-- √ -- { f(t)< 0 ⇔ { |||( --2- < a−-1 ⇔ { |||( (a+-4+--39)(a-+4-−--39)< 0 ||| 1 ||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8) ||| ⌈16 a− 1 |||||D > 0 ||||| (a − 1)2 < 0 ||||| 9 < a< 8 |(a > 1 |( a> 1 |( a> 1

Следовательно, в этом случае получаем $196≤ a< 8.$

$a < 1$

Тогда система равносильна

( ⌊ 2 ||||{ |t − (a + 9)t+ 16= 0 ⌈t= t = --7- |||| 1 a − 1 ( t≥ t1

Дискриминант квадратного уравнения $D = (a +1)(a+ 17).$ Абсцисса вершины параболы $2 f = t − (a+ 9)t+ 16$ равна $a+9 t0 = -2 .$

Если $D = 0,$ то $a= −17;−1.$ При $a = −17$ получаем $t0 = −4,$ $t =− 7- 1 18$ — не подходит. При $a =− 1$ получаем $t =4, 0$ $t= − 7 1 2$ — подходит.

Если $D > 0,$ то $a < −17$ или $a> − 1.$ Тогда парабола $y = t2− (a+ 9)t+ 16$ пересекает ось абсцисс в двух точках и необходимо, чтобы число $t1$ находилось между этими точками либо совпадало с левой точкой.

Получаем такую картинку:

$t1$

Это задается следующими условиями:

(⌊ ( ( ⌊( ( || {f(t1) = 0 || || (9a−-16)(a−-8)= 0 || ⌊(|| a= 16;8 ||||||| ( ||||| ||{ (a− 1)2 ||||| ||{ 9 ||{|⌈ t0 > t1 ||{ ||||( a-+9 > --7- ||{ |||| (a+ 4+ √39)(a +4 − √39-) f(t1)< 0 ⇔ || 2 a− 1 ⇔ |⌈( ---------a−-1---------> 0 ||||| ||||| ⌈ (9a-− 16)(a-− 8)-< 0 ||||| 16 < a< 8 ||||D > 0 |||| (a − 1)2 |||| 9 (a < 1 ( a∈ (−∞; −17)∪(−1;1) ( a∈ (− ∞;− 17)∪ (−1;1)

В случае $D > 0$ не получаем никаких значений параметра.

Получается, при $a< 1$ нам подходит только $a = −1.$

$a = 1$

Тогда система равносильна

(| ⌊ 2 ||{ ⌈t − 10t+ 16 =0 | 0⋅t= 7 ⇔ t= 2;8 ||( 0⋅t≤ 7

Следовательно, $a= 1$ нам подходит.

Следовательно, ответ

[16 ) a∈ 9-;8 ∪ {−1;1}

Ответ:

$[ ) a ∈ 16;8 ∪{− 1;1} 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#63812Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ ( 2 2 ) √ -------- x + y +6x ⋅ y+ x+ 6= 0 ( y = x+ a

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Способ 1. Графический

Система равносильна

(||⌊ x2+ y2+ 6x = 0 (|| ⌊(x+ 3)2+y2 = 9 ||||⌈ |||| ⌈ { y+ x+ 6= 0 ⇔ { y =− x− 6 |||y +x +6 ≥ 0 ||| y ≥ −x − 6 |||( |||( y = x+ a y = x+ a

Графиком первого уравнения совокупности является окружность с центром в точке $(−3;0)$ и радиусом 3. Графиком второго уравнения является прямая.

Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ лежащих на прямой $y = −x− 6$ или на части окружности $2 2 (x+ 3) + y = 9,$ лежащей выше этой прямой. Тогда два решения система будет иметь при тех $a,$ при которых прямая $y =x + a$ имеет две точки пересечения со множеством $S.$

Найдем точки пересечения окружности $x2+ y2+ 6x= 0$ и прямой $y = −x− 6:$

( {x2 +y2+ 6x =0 ( ⇔ A(−6;0), B (−3;−3) y = −x− 6

Изобразим граничные положения прямой $y = x+ a:$

$xyyAB((((1234=)))) −x− 6$

Положения 1 и 4: прямая $y =x + a$ касается окружности $x2+ y2+ 6x= 0.$ Следовательно, уравнение

2 2 2 2 x + (x + a) + 6x= 0 ⇔ 2x +2(a+ 3)x + a = 0

имеет одно решение. Значит, его дискриминант равен нулю:

2 2 √ - D = 4(a+ 3)− 8a = 0 ⇔ a = 3(1± 2)

Положение 2: прямая $y = x + a$ проходит через точку $B :$

−3 = −3+ a ⇔ a =0

Положение 3: прямая $y = x + a$ проходит через точку $A :$

0= −6 +a ⇔ a= 6

Нам подходят положения 1, 2, 3, 4, а также все положения между 2 и 3. Следовательно, ответ

√ - a ∈[0;6]∪ {3(1± 2)}

Способ 2. Алгебраический

Подставим $y = x+ a$ в первое уравнение и получим следующую систему

( ⌊ 2 2 ||||{ |2x + 2(a +3)x+ a = 0 ⌈x= − a+-6 |||| 2 ( x≥ − a-+-6 2

Так как замена $y = x +a$ линейная, то полученная система должна иметь два решения.

Примем число $a+6 − 2$ за $x1.$ Заметим, что $x1$ является решением системы при любом $a.$ Следовательно, либо квадратное уравнение должно иметь единственный корень, причем больший $x1,$ либо оно должно иметь два корня, причем ровно один больше $x1$ (а второй, соответственно, $≤x1$ ).