Тема 9. Задачи прикладного характера

9.03 Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#22840Максимум баллов за задание: 1

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 25$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задаётся формулой $R1R2 Rобщ = R--+-R-. 1 2$ При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Подставим данные по условию числа и решим неравенство:

$pict$

Ответ: 100

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#38239Максимум баллов за задание: 1

Небольшой мячик бросают под острым углом $α$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика $H$ (в м) вычисляется по формуле

-v20 H = 4g(1− cos2α),

где $v0 = 12$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с $2 ).$ При каком наименьшем значении угла $α$ мячик пролетит над стеной высотой $4,4$ м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

По условию $H =4,4+ 1 =5,4$ м. Также $( ) α ∈ 0; π2 ⇒ 2α ∈(0;π).$ Следовательно,

122 54⋅4 3 1 5,4 ≤ 40 (1− cos2α) ⇔ cos2α ≤ 1− -122- =1 − 2 = − 2

Тогда

2π + 2πn≤ 2α ≤π + 2πn ⇒ π-+ πn≤ α ≤ π+ πn, n∈ ℤ 3 3 2

Тогда наименьший положительный угол

π- ∘ α = 3 = 60

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#45951Максимум баллов за задание: 1

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $βt2 φ= ωt+ -2-,$ где $t$ — время в минутах, $ω = 60∘∕$ мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 6∘∕м ин2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $φ$ достигнет $3375∘.$ Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $φ ≤ 3375.$ Следовательно, получаем следующее неравенство:

βt2- ωt+ 2 ≤ 3375.

Подставив значения из условия в данное неравенство, получим

6t2 2 60t+ 2 ≤ 3375 ⇔ t + 20t− 1125≤ 0 ⇔ −45 ≤ t≤ 25.

Следовательно, не позже чем через 25 минут рабочий должен проверить работу лебедки.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#45955Максимум баллов за задание: 1

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле

--A0ω2p-- A(ω)= ||ω2p− ω2||,

где $ω$ — частота вынуждающей силы $(в с−1),$ $A0$ — постоянный положительный параметр, $ω р = 345с−1$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $ω,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на $12,5%.$ Ответ дайте в $с−1.$

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $A ≤ 1,125A0 = 9A0. 8$ Заметим также, что так как по условию задачи $ω < ωр,$ то $2 2 2 2 |ωр− ω |=ω р− ω > 0.$ Следовательно, получаем следующее неравенство:

A0⋅3452 9 3452− ω2 3452−-ω2 ≤ 8A0 |⋅ --A0----> 0 ⇔ 2 2 3452⋅8 345 − ω ≥ 9 ⇔ ω2 ≤ 3452− 3452⋅ 8 =3452⋅ 1 = 1152 ⇔ 9 9 − 115 ≤ω ≤ 115.

Следовательно, максимальное $ω =115.$

Ответ: 115

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#45962Максимум баллов за задание: 1

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 60$ см. Расстояние $d1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, а расстояние $d2$ от линзы до экрана - в пределах от 140 см до 160 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

1-+ -1 = 1. d1 d2 f

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ и решение

Из формулы следует, что

1-= -1 − 1- d1 60 d2

Так как $140≤ d2 ≤ 160,$ то

1 1 1 −140 ≤− d2 ≤ − 160

Следовательно,

1 1 1 1 1 1 1 1 60 − 140 ≤ d-≤ 60 − 160 ⇔ 105 ≤ d ≤ 96 ⇔ 96≤ d1 ≤ 105 1 1

Так как расстояние $d 1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 см до 115 см, то наименьшее $d1 =96$ см.

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#46560Максимум баллов за задание: 1

Международная федерация лыжного спорта проводит соревнования, в программу которых включены прыжки на лыжах с трамплина. Высота в фазе полета, на которой находится участник N. после отрыва от трамплина и до приземления, меняется по закону

h = 0,5 + 25t− 5t2,

где $h$ — высота над трамплином, измеряемая в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента отрыва участника N. от трамплина. Сколько секунд с момента отрыва от трамплина участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра над трамплином?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра, удовлетворяют неравенствам

2 2 2 0,5+ 25t− 5t ≥0,5 ⇔ 25t− 5t ≥0 ⇔ t− 5t≤ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $2 t − 5t= 0:$

t1 = 0, t2 = 5

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PICT$

Следовательно, участник N. находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени $t ∈[0;5],$ то есть в течение $5 − 0 = 5$ секунд.

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#73609Максимум баллов за задание: 1

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f0 = 130$ Гц и определяется следующим выражением: $c+ u f = f0c−-v$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u= 15$ м/с и $v = 9$ м/с — скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике $f$ будет не менее 135 Гц?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует следующее неравенство:

130⋅ c+-15 ≥ 135 c− 9

Так как дробь положительна, то ее знаменатель положителен и $c− 9> 0.$ Умножим обе части неравенства на $c− 9$ и получим

130c+ 130⋅15≥ 135c − 135⋅9 130⋅15+ 135 ⋅9≥ 5c 26⋅15+ 27⋅9 ≥c c ≤633

Следовательно, максимальная скорость распространения сигнала равна 633 м/с.

Ответ: 633

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#75174Максимум баллов за задание: 1

Снегурочка продумывает запуск фейерверков в новогоднюю ночь. В одном пиротехническом пособии она нашла следующую формулу:

B- S h(t) = sin α⋅T ⋅6 ,

где $h$ — высота взрыва фейерверка в метрах, $α$ — угол наклона капсулы с порохом к горизонту в градусах, $B$ — рейтинг производителя фейерверка, $T$ — время полёта в секундах, $S$ — стоимость фейерверка в тысячах рублей.

Снегурочка провела исследования и выделила следующие требования к качеству фейерверка:

1. Время полёта должно составить ровно 1 минуту;

2. Рейтинг производителя должен быть равным 20;

3. Угол наклона должен составить $∘ 30$ ;

4. Высота полёта должна составить не менее 216 метров.

Неясной осталось лишь финансовая сторона вопроса. Помогите Снегурочке найти наименьшее значение стоимости фейерверка в рублях, при котором все описанные требования будут соблюдены.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу и составим неравенство:

∘ 20 S sin30 ⋅60 ⋅6 ≥ 216,

1 1 2 ⋅3 ⋅6S ≥ 216,

6S ≥ 216⋅6,

6S ≥ 64,

S ≥ 4.

Минимальное значение $S = 4$ тысячи рублей.

Ответ: 4000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#75427Максимум баллов за задание: 1

Период колебаний математического маятника $T0$ определяется в секундах формулой $∘ -- T0 = 2π Lg,$ где $g = 10$ $м/c2$ — ускорение свободного падения, $L$ — длина невесомой нерастяжимой нити в метрах. Определите максимальную длину нити $L,$ при которой период колебаний будет составлять не более $3π2-$ секунд. Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

3π ∘-L- -2 ≥ 2π 10- ∘ --- 3 ≥4 L- 10 -L 9≥ 16⋅10 90 16-≥ L 5,625≥ L

Отсюда максимальная длина нити равна $5,625$ метра.

Ответ: 5,625

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#76271Максимум баллов за задание: 1

Дядя Фрэнк со своей семьей едут к Маккалистерам в гости на тепловозе. Перед отправкой их тепловоз издал гудок с частотой $f0 = 292$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f(v)= -f0v- 1− c$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с).

Мать дяди Фрэнка, стоящая на платформе и провожающая их, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если мать дяди Фрэнка смогла различить сигналы, а $c= 300$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Показать ответ и решение

По условию $f − f0 ≥ 8.$ Следовательно, $f ≥ 8 +f0.$ Тогда мы получаем следующее неравенство:

--292- 8+ 292≤ 1 − v300- 292⋅300 300≤ -300−-v

Так как $v < c,$ то $300 − v > 0.$ Умножим обе части неравенства на $300− v$ и получим

300− v ≤ 292 v ≥8

Следовательно, минимальная скорость равна 8 м/с.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#80085Максимум баллов за задание: 1

Период колебаний пружинного маятника $T0$ определяется формулой $T0 = 2π∘ m- k$ , где $m$ $−$ масса подвешенного тела (в кг), $k$ $−$ жесткость пружины (в Н/м). Определите минимальную жесткость пружины $k$ , при которой период колебаний будет составлять не более $4π$ , если масса тела составляет 4 килограмма.

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу и решим полученное неравенство:

∘ -- 4 2π k ≤ 4π,

∘ -- 2 4≤ 4, k

4 4 ⋅k-≤ 16,

16 -- ≤ 16. k

Поскольку, очевидно, $k > 0,$ то неравенство можно домножить на $k :$

16 ≤ 16k,

1 ≤ k.

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#83752Максимум баллов за задание: 1

К электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 7$ Ом. Параллельно с ними к электросети предполагается подключить электроприбор. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электроприбора, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задаётся формулой $R1R2 Rобщ = R1+-R2.$ При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $2$ Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Подставим данные по условию числа и решим неравенство:

$pict$

Ответ: 2,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#136842Максимум баллов за задание: 1

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f0 =295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)= -f0v- 1− c$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с).

Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c =300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Источники: Демоверсия ЕГЭ 2026

Показать ответ и решение

По условию $f − f0 ≥ 5.$ Следовательно, $f ≥ 5 +f0.$ Тогда мы получаем следующее неравенство:

--295- 5+ 295≤ 1 − v300- 295⋅300 300≤ -300−-v 1 ≤ -295-- 300− v

Так как $v < c,$ то $300 − v > 0.$ Умножим обе части неравенства на $300− v$ и получим

300− v ≤ 295 v ≥5

Следовательно, минимальная скорость равна 5 м/с.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#137726Максимум баллов за задание: 1

Сила тока $I$ (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = U-, R$ где $U$ — напряжение электросети (в В), $R$ — сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением 220 В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Согласно условию, сила тока $I$ не должна превышать 5 А. Подставим известные значения в закон Ома и найдём минимальное сопротивление:

U- R ≤ 5

Так как $R > 0,$ то умножим обе части неравенства на $R$ и получим

220 ≤ 5R R ≥ 44

Таким образом, наименьшее сопротивление электроприбора, при котором электросеть продолжает работать, составляет 44 Ом.

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#137727Максимум баллов за задание: 1

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f0 =192$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) по закону $f(v) = -f0v- 1− c$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c= 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $f − f0 ≥ 8.$ Следовательно, $f ≥ 8+ f0.$ Тогда мы получаем следующее неравенство:

--192- 8+ 192≤ 1 − v300- 200≤ 192⋅300 300− v

Так как $v < c,$ то $300− v > 0.$ Умножим обе части неравенства на $300− v$ и получим

2(300− v)≤ 192⋅3 600− 2v ≤ 576 −2v ≤− 24 v ≥ 12

Следовательно, минимальная скорость равна 12 м/с.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#137728Максимум баллов за задание: 1

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f0 =295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)= -f0v- 1− c$ (Гц), где $c$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c= 300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По условию $f − f0 ≥ 5.$ Следовательно, $f ≥ 5+ f0.$ Тогда мы получаем следующее неравенство:

--295- 5+ 295≤ 1 − v300- 300≤ 295⋅300 300− v

Так как $v < c,$ то $300− v > 0.$ Умножим обе части неравенства на $300− v$ и получим

300− v ≤ 295 v ≥5

Следовательно, минимальная скорость равна 5 м/с.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#137729Максимум баллов за задание: 1

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R1 = 36$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого $R2$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = -R1R2--. R1 +R2$ Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим формулу для параллельного соединения и решим неравенство относительно $R2 :$

-36-⋅R2- 36+ R2 ≥ 20

Так как $R2 > 0,$ то $36+ R2 ⁄= 0.$ Умножим обе части неравенства на $36+ R2$ и получим

36R2 ≥ 20(36+ R2) 36R2 ≥ 720+ 20R2 16R2 ≥ 720 R2 ≥ 45

Таким образом, наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, при котором общее сопротивление сети будет не менее 20 Ом, составляет 45 Ом.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#137731Максимум баллов за задание: 1

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет $R1 = 21$ Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить тостер, сопротивление которого $R2$ (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление $R$ вычисляется по формуле $R = -R1R2--. R1 +R2$ Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление тостера. Ответ дайте в омах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим формулу для параллельного соединения и решим неравенство относительно $R2 :$

-21-⋅R2- 21+ R2 ≥ 18

Так как $R2 > 0,$ то $21+ R2 ⁄= 0.$ Умножим обе части неравенства на $21+ R2$ и получим

21R2 ≥ 18(21+ R2) 7R2 ≥ 6(21+ R2) 7R2 ≥ 126+ 6R2 R2 ≥ 126

Таким образом, наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, при котором общее сопротивление сети будет не менее 18 Ом, составляет 126 Ом.

Ответ: 126

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#137732Максимум баллов за задание: 1

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T(t)= T0 +bt+ at2,$ где $t$ — время (в мин.), $T0 = 1600$ К, $a = −5 К/ мин.2,$ $b= 105$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим значения коэффициентов и максимальной температуры нагревательного элемента в исходное выражение и получим

T(t)= −5t2 +105t+ 1600

Так как $t$ — время работы, то $t≥ 0.$ Прибор испортится, если температура нагревательного элемента превысит 1870 К, поэтому нужно найти первый момент, когда элемент нагреется до такой температуры. То есть нужно решить следующее неравенство:

−5t2+ 105t+ 1600≤ 1870 2 −5t +105t− 270≤ 0 t2− 21t+ 54≥ 0 (t− 3)(t− 18) ≥0 [ t≤ 3 t≥ 18

Через 3 минуты работы прибора температура нагревательного элемента станет равна 1870 К, поэтому прибор нужно отключить через 3 минуты после начала работы.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#137733Максимум баллов за задание: 1

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: $T(t)= T0 +bt+ at2,$ где $t$ — время (в мин.), $T0 = 1380$ К, $a = −15 К/ мин.2,$ $b= 165$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

T(t)= − 15t2+ 165t+1380

Так как $t$ — время работы, то $t≥ 0.$ Прибор испортится, если температура нагревательного элемента превысит 1800 К, поэтому нужно найти первый момент, когда элемент нагреется до такой температуры. То есть нужно решить следующее неравенство:

− 15t2+ 165t+ 1380 ≤1800 2 − 15t + 165t− 420≤ 0 t2− 11t+ 28≥ 0 (t− 4)(t− 7)≥ 0 [ t≤4 t≥7

Через 4 минуты работы прибора температура нагревательного элемента станет равна 1800 К, поэтому прибор нужно отключить через 4 минуты после начала работы.

Ответ: 4