Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.04 Треугольник: задачи на подобие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2587Максимум баллов за задание: 1

$F$ — точка пересечения $AD$ и $BE$ — медиан треугольника $ABC.$ Известно, что $SABF = 1.$ Найдите $SDEF .$

$PIC$

Показать ответ и решение

$ED$ — средняя линия треугольника $ABC,$ тогда $ED =0,5⋅AB,$ $ED ∥AB.$

Так как $ED ∥ AB,$ то $∠DEF = ∠ABF,$ $∠EDF = ∠F AB$ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей), следовательно, треугольники $DEF$ и $ABF$ подобны (по двум углам).

Так как $ED = 0,5⋅AB,$ причём стороны $ED$ и $AB$ лежат (в треугольниках $DEF$ и $ABF$ соответственно) против равных углов, то

SDEF ( ED )2 SABF- = AB- = 0,52 = 0,25

откуда с учётом того, что $SABF = 1,$ находим

S = 0,25 DEF

Ответ: 0,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2589Максимум баллов за задание: 1

Точка $D$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC,$ причём $AD :DB = 0,5.$ Точка $E$ лежит на отрезке $CD,$ причём $CE :ED = 0,5.$ Точка $F$ лежит на пересечении прямых, содержащих отрезки $AC$ и $BE.$ Найдите отношение $AF :FC.$ Ответ дайте в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

$PIC$

Показать ответ и решение

Построим $DG ∥ BF :$

$PIC$

Обозначим $AG =x, FC = y.$

Способ 1.

Рассмотрим треугольники $ADG$ и $ABF.$ В них $∠A$ — общий, $∠AGD = ∠AF B$ как соответственные при параллельных прямых и секущей. Тогда треугольники $ADG$ и $ABF$ подобны по двум углам и

AG-= AD- AF AB

Так как $AD :DB = 0,5,$ то $DB = 2⋅AD,$ тогда $AB = 3⋅AD$ и

1 AD AG 3 = AB-= AF-

Значит, $AF = 3x,$ следовательно, $F G = 2x.$

Аналогично можно сделать выводы о том, что треугольники $CEF$ и $CDG$ подобны по двум углам. Тогда

CF- = CE-= 1 ⇒ --y-- = 1 CG CD 3 y+ 2x 3

Значит,

y+-2x = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ 3= 3x = AF- y y y FC

Способ 2.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $∠BAF$ и секущих прямых $DG$ и $BF$ имеем:

0,5= AD-= AG- = -x- ⇒ GF = 2x DB GF GF

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $∠GCD$ и секущих прямых $DG$ и $EF$ имеем:

CE- CF- y- 0,5= ED = FG = 2x ⇒ y = x

Тогда получаем

AF-= x-+2x-= 3x =3 FC y x

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#18477Максимум баллов за задание: 1

Углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны углам $A1$ и $B1$ треугольника $A1B1C1$ соответственно. Известно, что $A1B1 = 5,$ $B1C1 = 4,$ $A1C1 = 6$ и $BC :B1C1 = 3.$ Найдите наибольшую сторону треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ подобны по двум углам, тогда выполняется отношение подобия:

-AB-- AC--- -BC-- A1B1 = A1C1 = B1C1 = 3

Отсюда получаем

AB = 3A1B1 = 15 BC = 3B1C1 = 12 AC = 3A1C1 = 18

Тогда наибольшая из сторон треугольника $ABC$ равна 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#18487Максимум баллов за задание: 1

Точки $K$ и $P$ на сторонах $BA$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC$ таковы, что $∠BP K =∠CAK.$ Найдите отношение $BK :BC,$ если известно, что $BP =1,$ $AK = 0,5,$ $BK = 3,5.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $△ ABC ∼ △P BK$ по двум углам, так как угол при вершине $B$ общий и $∠BP K = ∠CAB.$ Тогда выполняется соотношение

BK-- BP- --BP----- ---1--- 1 BC = BA = BK + KA = 3,5+ 0,5 = 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#18488Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ точка $D$ на стороне $BC$ такова, что $DA = DB.$ Найдите градусную меру угла $B$ треугольника, если известно, что $DC ⋅CB = AC2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем:

2 DC AC DC ⋅CB = AC ⇒ AC-= BC-

Так как $DC :AC =AC :BC$ и $∠C$ — общий, то $△ ADC ∼ △BAC$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, $AD =AC,$ так как $AB = BC.$ Тогда

∠BAC = ∠BCA = ∠DCA

$PIC$

Пусть $∠ABC = α.$ Тогда $∠ABC =∠BAD = α,$ так как $△ ABD$ равнобедренный. Заметим, что $∠CDA$ — внешний для $△ ABD,$ поэтому

∠CDA = ∠BAD +∠DBA = 2α

Значит,

∠BAC = ∠BCA = ∠DCA = 2α

По сумме углов $△ ABC$ получаем

∘ 180 = ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = α+ 2α +2α = 5α α = 36∘ ⇒ ∠ABC = 36∘

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#18495Максимум баллов за задание: 1

Точки $M,$ $P$ и $E$ на сторонах треугольника $ABC$ таковы, что $MP ∥ AC$ и $P E ∥AB.$ Чему равно отношение $EC :MP,$ если известно, что $CP :CB = 1 :3?$

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $CP = a,$ тогда $CB = 3a$ и $BP =CB − CP =2a.$

По условию имеем:

AB ∥P E ⇒ ∠ABP = ∠EP C AC ∥ MP ⇒ ∠BP M = ∠PCE

$PIC$

Далее, $△ BP M ∼ △P CE$ по двум углам, так как $∠MBP = ∠EP C$ и $∠BP M = ∠PCE.$

Тогда можем записать отношение подобия:

EC PC 1 MP--= BP-= 2 = 0,5

Ответ: 0,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#18498Максимум баллов за задание: 1

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана такая точка $D,$ что $∠ABC = ∠CDB.$ Известно, что $BD = 3,$ $AB = 4,$ $BC =6.$ Найдите $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $△ ABC ∼ △BDC$ по двум углам $(∠C$ — общий, $∠ABC = ∠CDB ),$ то имеем:

BD BC BC ⋅AB 6 ⋅4 -AB = AC- ⇒ AC = --BD---= -3--= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#43903Максимум баллов за задание: 1

Точка $K$ на стороне $P F$ параллелограмма $AP F C$ такова, что $P K :KF = 1:2.$ Прямая $CK$ пересекается с прямой $AP$ в точке $B.$ Найдите $PB,$ если $AB = 3.$

Показать ответ и решение

Из условия $PK :KF = 1:2$ следует, что $PK = 1P F = 1AC, 3 3$ так как $P F = AC$ как противоположные стороны параллелограмма.

$PIC$

$∠BP K = ∠BAC$ как соответственные при $PF ∥ AC$ и секущей $BA.$ Следовательно, по двум углам ( $∠B$ — общий) $△P BK ∼ △ABC,$ следовательно,

P-B = PK- = 1 ⇒ PB = 1 AC = 13 ⋅3= 1. AB AC 3 3

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#43904Максимум баллов за задание: 1

Дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ и $BC = 4.$ Из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BF$ и $BK$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите $CK,$ если $3√3 BF = -2-.$

Показать ответ и решение

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то есть $∠A = ∠C,$ то $△ABF ∼ △CBK$ (как прямоугольные по острому углу). Следовательно,

CK- BC- 4 4 AF = AB = 3 ⇔ CK = 3AF

$PIC$

Найдем $AF$ по теореме Пифагора из $△ABF :$

∘ --------- AF = 32− 32 ⋅ 3= 3 4 2

Следовательно,

4 4 3 CK = 3AF = 3 ⋅2 =2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#43906Максимум баллов за задание: 1

Точки $K$ и $P$ на сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ таковы, что $∠BP K = ∠CAK.$ Найдите значение отношения $BK :BC,$ если известно, что $BP =1,$ $AK = 0,5$ и $BK = 3,5.$

Показать ответ и решение

$PIC$

$△BKP ∼ △BCA$ по двум углам ( $∠B$ — общий). Следовательно,

BK-- BP- 1 BC = BA = 4 = 0,25.

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#46553Максимум баллов за задание: 1

Отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ треугольника $ABC$ с точкой на противоположной стороне, причем $∠AKB = ∠ABC.$ При этом известно, что $BK = 10,$ $AB = 12,$ $AC = 18.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACB :$ $∠AKB = ∠ABC,$ $∠A$ — общий. Тогда треугольники $ABK$ и $ACB$ подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда имеем:

BK AB BC--= AC- -10 = 12 BC 18 BC = 15

Ответ: 15

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#74517Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$ . Площадь треугольника $CDE$ равна 17. Найдите площадь треугольника $ABC$ .

Показать ответ и решение

Так как $DE ∥AB,$ то $∠CDE = ∠CAB$ и $∠CED = ∠CBA$ (как соответственные углы). Значит $△CDE ∼ △CAB$ с коэффициентом $k = 12,$ так как $DE$ — средняя линия треугольника.

$PIC$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат их коэффициента подобия.
Отсюда

S S△CDE-= k2, △CAB

S△CDE- 17-- S△ABC = k2 = 0,25 = 68.

Полезное замечание. Важно, в каком именно порядке вы рассматриваете треугольники. Коэффициент подобия $1 k = 2$ при $△CDE- △CAB$ , но $k =2$ при $△CAB △CDE-.$

Ответ: 68

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#137432Максимум баллов за задание: 1

Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB.$ Найдите площадь треугольника $CDE.$

$ABCDE$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия параллельна третьей стороне $AB$ и равна её половине:

1 DE ∥AB, DE = 2AB.

Треугольник $CDE$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $1 2$ , так как все его стороны в два раза меньше соответствующих сторон треугольника $ABC$ . Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: