Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.02 Треугольник: высота, биссектриса, медиана

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#74362Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что угол $BAC$ равен $48∘,$ $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению, биссектрика — отрезок, который делит угол пополам. Значит, $∘ ∠BAC = 482-= 24∘.$

Ответ: 24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#74513Максимум баллов за задание: 1

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на боковую сторону.

Показать ответ и решение

Опустим высоту из вершины $B.$
Найдем $S△ABC = 12 ⋅BH1 ⋅AC.$
Так как $△ABC$ — равнобедренный, то $BH$ — высота и медиана. Отсюда, $AH1 = H1C = 6.$
В $△ABH1AB = 10= 5⋅2,AH1 = 6= 3⋅2.$ Значит, $BH1 = 4⋅2= 8$ (Пифагорова тройка $3,4,5.$ )

$PIC$

$S△ABC = 12 ⋅8⋅12= 48.$
С другой стороны $S △ABC = 12 ⋅BC ⋅AH.$
Тогда

2⋅S△ABC-- 2⋅48 AH = BC = 10 = 9,6.

Ответ: 9,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#74514Максимум баллов за задание: 1

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $40∘.$ $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника. Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть в $△ABC$ $∠B = 2α,$ $∠A = 2β.$
Так как $O$ — точка пересечения биссектрис, то $∠BAO = β,$ $∠ABO = α.$

$PIC$

Сумма углов $△ABC$ равна $180∘.$

∘ 2α + 2β+ ∠C = 180,

∘ ∘ α+ β = 180--− 40-=70∘. 2

В $△ABO$ сумма углов равна $180∘ :$

∠BAO +∠ABO + ∠BOA = 180∘,

∠AOB + α+ β = 180∘,

∠AOB +70∘ =180∘,

∠AOB = 180∘ − 70∘ = 110∘.

Ответ: 110

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#74515Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ $√- AC = BC = 7 3,$ $∠C = 120∘.$ Найдите высоту $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Важное замечание. Так как $△ABC$ — тупоугольный, то высота, опущенная на сторону $BC$ , будет находиться вне треугольника.

∠ACH = 180∘ − 120∘ = 60∘,

√ - √3 AH = AC ⋅sin ∠ACB = 7 3⋅-2-= 10,5.

Ответ: 10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#74516Максимум баллов за задание: 1

Острые углы прямоугольного треугольника равны $85∘$ и $5∘.$ Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $BH$ — высота, то $∠HBC =90∘− 5∘ = 85∘.$
$BE$ — биссектриса, следовательно, $∠EBC = 45∘.$
Отсюда $∠HBE = 45∘− 5∘ = 40∘.$

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#74518Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12,$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC =BM$ . Найдите длину отрезка $AH.$

Показать ответ и решение

По условию $BC = BM,$ значит $△CBM$ — равнобедренный. $BH$ — высота и медиана. $CH = HM$
$BM$ — медиана, значит, $CM = MA = 6.$

$PIC$

CH = 6= 3, 2

AH =AC − CH = 12− 3= 9.

Ответ: 9

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#86190Максимум баллов за задание: 1

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 45.

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности в три раза меньше его высоты, медианы и биссектрисы. Значит,

h- 45 r = 3 = 3 = 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#137420Максимум баллов за задание: 1

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $21∘.$ Найдите величину угла между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведёнными из вершины прямого угла $C.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCMD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы:

CM = AM = BM

$ABCMD2?1∘$

В треугольнике $CBM$ стороны $CM$ и $BM$ равны, следовательно, треугольник $CBM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

∠BCM = ∠MBC = 21∘.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, а биссектриса $CD$ делит его пополам:

∠ACD = ∠BCD =45∘.

Таким образом, получаем

∠MCD = ∠BCD − ∠BCM = = 45∘ − 21∘ =24∘.

Ответ: 24