Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01 Треугольник: внутренние и внешние углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2185Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренном треугольнике один из углов равен $100∘.$ Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма углов треугольника равна $180∘,$ следовательно, в треугольнике не может быть двух углов по $100∘,$ тогда угол при вершине равен $100∘,$ а углы при основании равны по

(180∘− 100∘):2 =40∘

Внешние углы этого треугольника равны

180∘− 100∘ = 80∘, 180∘− 40∘ = 140∘, 180∘ − 40∘ = 140∘

Больший из них равен $140∘.$

Ответ: 140

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#20857Максимум баллов за задание: 1

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $∘ 86.$ Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Углы при основании равнобедренного треугольника всегда меньше $∘ 90 .$ Значит, смежные им углы всегда больше $∘ 90$ градусов. Тогда внешний угол, данный в условии, смежен углу при противоположной основанию вершине равнобедренного треугольника.

Следовательно, угол при противоположной основанию вершине равнобедренного треугольника равен

180∘− 86∘ = 94∘

$PIC$

Углы при основании равнобедренного треугольника одинаковые, тогда по сумме углов треугольника они равны

180∘− 94∘ 86∘ ∘ ----2----= -2- =43

Так как $43< 94,$ то меньший из углов треугольника равен $43∘.$

Ответ: 43

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#38164Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $118∘,$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Треугольник равнобедренный, следовательно, углы при основании равны, то есть $∠A = ∠B.$

$PIC$

Таким образом,

∠A = (180∘− ∠C ):2= (180∘− 118∘):2= 31∘

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#71772Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $35∘,$ внешний угол при вершине $B$ равен $112∘.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

По сумме смежных углов:

∠B = 180∘ − 112∘ = 68∘.

По сумме углов треугольника:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠C = 180 − 68 − 35 = 77 .

Ответ: 77

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#74357Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике два угла равны $23∘$ и $103∘.$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Теорема. Сумма углов треугольника равна $180∘.$

$∠BAC = 180∘− ∠ABC − ∠BCA =180∘− 103∘− 23∘ = 54∘.$

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74358Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен $66∘.$ Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

У равнобедренного треугольника углы при основании равны, значит, $∠CAB = ∠ABC.$ Пусть $∠CAB =∠ABC = x.$ Тогда

66∘ +x +x = 180∘,

2x= 114∘,

∘ x= 57 .

Ответ: 57

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#74360Максимум баллов за задание: 1

Найдите угол правильного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

В правильном = равностороннем треугольнике равны все стороны и углы. Пусть угол равностороннего треугольника равен $x.$ Так как сумма углов треугольника равняется $180∘,$ то $x+ x +x = 180∘.$
$∘ 3x =180 ,$
$∘ x = 60 .$

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#74366Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $128∘.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠CBA = 180∘− 128∘ = 52∘$ (как смежный угол к $∠CBK$ ).

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный, значит, углы при основании равны.

∠CAB = ∠CBA = 52∘,

∠C = 180∘− ∠CAB − ∠ABC = 180∘− 52∘− 52∘ = 76∘.

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#75866Максимум баллов за задание: 1

Один из углов треугольника в 5 раз больше другого и в 6 раз меньше третьего. Найдите меньший угол треугольника.

Показать ответ и решение

пусть первый угол равен $\text{[math]}$ , тогда второй — $x, 5$ а третий — $6.$ Сумма углов треугольника равна $180∘.$ Тогда

x + x+ 6x = 180, 5

5x + x+ 30x = 900,

36x = 900,

x = 25.

Значит, первый угол треугольника равен $25∘,$ второй $25∘ : 5 = 5∘,$ а третий $25∘ ⋅6 = 150∘.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#83430Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $107∘.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

$ABCD1?07∘$

Сумма смежных углов равна $∘ 180 .$ Значит, внутренний угол при вершине $B$ равен:

∠ABC = 180∘− 107∘ =73∘

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы при основании равны:

∘ ∠BAC = ∠ABC = 73

В треугольнике сумма углов равна $180∘.$ Тогда имеем:

180∘ = ∠ABC +∠BAC + ∠BCA ∠ACB = 180∘ − ∠ABC − ∠BAC ∠ACB = 180∘− 73∘− 73∘ ∘ ∠ACB =34 .

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#1397Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $D,$ на отрезке $AD$ выбрана точка $E$ так, что $∠BAD = ∠ECD = ∠EAC +∠ECA.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $138∘.$ Найдите $∠BAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол в треугольнике равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

$∠ADB$ — внешний для треугольника $ADC$ , тогда

∠ADB = ∠EAC + ∠ECA + ∠ECD =2 ⋅∠ECD =2 ⋅∠BAD

Внешний угол при вершине $B$ равен

∘ ∠BAD + ∠ADB = 3⋅∠BAD = 138 ,

тогда

∘ ∘ ∠BAD =138 :3 = 46

Ответ: 46

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2214Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на стороне $AC$ (но не совпадает с точкой $A$ или точкой $C$ ), причём $CM = MB.$ Кроме того, $CB = MB.$ Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CM = MB = BC,$ то треугольник $MBC$ — равносторонний, тогда

∘ ∠MCB = 60

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то угол, равный $60∘,$ не может быть большим и не может быть меньшим углом треугольника.

Треугольник $ABC$ не равносторонний, так как $A$ не совпадает с $M,$ причём $∠ACB = 60∘,$ тогда один из углов $A$ и $B$ больше $60∘,$ а другой меньше $60∘.$ Таким образом,

∠A + ∠B = 180∘ − 60∘ = 120∘

— искомая сумма углов.

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#2252Максимум баллов за задание: 1

В тупоугольном треугольнике $ABC$ один из углов равен $47∘,$ $AB = 2BC.$ Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.