Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.22 Внешние углы многоугольника и тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#219

В треугольнике $ABC :$ $∠B < 90∘,$ $sin∠ABC = 0,8.$ Найдите косинус внешнего угла при вершине $B.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Синусы смежных углов равны: $∘ sin (180 − α)= sinα,$ тогда синус внешнего угла при вершине $B$ равен $0,8.$

Используя основное тригонометрическое тождество ( $2 2 sin α+ cosα = 1$ ), находим, что косинус внешнего угла при вершине $B$ равен $±0,6.$

Так как $∘ ∠ABC < 90,$ то внешний угол при вершине $B$ — тупой, следовательно, его косинус отрицателен. Косинус внешнего угла при вершине $B$ равен $− 0,6.$

Ответ: -0,6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#221

В треугольнике $ABC :$ $AB =BC,$ $sin∠A = 0,96.$ Найдите синус внешнего угла при вершине $B.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $AB = BC,$ то $∠A = ∠C.$ Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, тогда внешний угол при вершине $B$ равен $2⋅∠A,$ а его синус равен $sin (2⋅∠A ).$

sin (2 ⋅∠A )= 2sin ∠A ⋅cos∠A

При помощи основного тригонометрического тождества находим $cos∠A = ±0,28,$ но в равнобедренном треугольнике угол при основании всегда острый, тогда $cos∠A =0,28,$ следовательно,

sin(2⋅∠A )= 2sin ∠A⋅cos∠A = 2⋅0,96⋅0,28 = 0,5376

Ответ: 0,5376

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#683

Дан треугольник $ABC,$ причем $sin(∠A +∠B )= 0,67.$ Найдите синус угла $ACB.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине $C$ равен сумме углов $A$ и $B,$ то и

sin ∠Cвнеш = sin(∠A +∠B )= 0,67

Т.к. синусы смежных углов равны, то

sin ∠C = sin∠C внеш = 0,67

Ответ: 0,67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1974

В треугольнике $ABC$ известно, что $cos(∠B + ∠C) = 0,33.$ Найдите косинус угла $A.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине $A$ равен сумме углов $B$ и $C,$ то

cos∠Aвнеш = cos(∠B + ∠C)= 0,33

Т.к. косинусы смежных углов отличаются только знаком, то

cos∠A = − cos∠A внеш = −0,33

Ответ: -0,33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#220

В невыпуклом четырёхугольнике $ABCD$ ( $∠C > 180∘$ ) сторону $AD$ продолжили за точки $A$ и $D,$ получив по одному внешнему углу при вершинах $A$ и $D.$ $∠BAD =2 ⋅∠CDA.$ Найдите косинус внешнего угла при вершине $A,$ если косинус внешнего угла при вершине $D$ получился $− 0,9.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Косинусы смежных углов противоположны: $∘ cos(180 − α)= − cosα.$

Косинус внешнего угла при вершине $D$ равен

(− 1)⋅cos∠CDA ⇒ cos∠CDA =0,9

$∠BAD = 2⋅∠CDA,$ тогда

cos∠BAD = 2cos2∠CDA − 1= 0,62

Так как косинус внешнего угла равен минус косинусу угла, смежного с ним, то косинус внешнего угла при вершине $A$ равен $− 0,62.$

Ответ: -0,62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#222

К каждому углу трапеции $ABCD$ построено по одному внешнему углу. Найдите сумму косинусов этих внешних углов.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AD ∥BC,$ внешние углы построены как на рисунке (при каждой вершине может быть два внешних угла, но их градусные меры совпадают, а значит, и косинусы этих углов равны и ответ не зависит от выбора угла при каждой вершине).

Сумма внешних углов при вершинах $A$ и $B$ равна $∘ 180$ (так как внешний угол при вершине $A$ и $∠ABC$ равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).

Аналогично сумма внешних углов при вершинах $C$ и $D$ равна $180∘.$

∘ ∘ cos(180 − α )= − cosα ⇒ cos(180 − α)+ cosα = 0,

следовательно, сумма косинусов внешних углов при вершинах $A$ и $B$ равна 0;

аналогично сумма косинусов внешних углов при вершинах $C$ и $D$ равна 0. Таким образом, сумма косинусов внешних углов равна 0.

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#682

Дан выпуклый четырехугольник $GEOM,$ причем $∠G + ∠E + ∠O = 330∘.$ Найдите синус внешнего угла при вершине $M.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠M = 360 − 330 = 30

Следовательно, $sin∠M = sin 30∘ = 0,5.$ Т.к. синусы смежных углов равны, то $sin Mвнеш = 0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#825

Дан выпуклый пятиугольник, причем сумма четырех его внутренних углов равна $420∘.$ Найдите квадрат косинуса внешнего угла при вершине оставшегося пятого угла.

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. сумма внутренних углов выпуклого $n$ -угольника вычисляется по формуле $180∘⋅(n − 2),$ то сумма внутренних углов нашего пятиугольника равна $540∘.$ Следовательно, если

∘ ∘ ∘ ∘ ∠H +∠O + ∠U + ∠S = 420 ⇒ ∠E =540 − 420 = 120

Следовательно,

∘ ∘ ∠E внеш =180 − ∠E = 60

Значит,

2 ∘ 1 cos∠E внеш = cos 60 = 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1548

В четырёхугольнике $ABCD$ с тупыми углами $C$ и $D$ продолжение стороны $AD$ за точку $D$ и продолжение стороны $BC$ за точку $C$ пересеклись в точке $E$ под прямым углом. При этом $sin∠DCE = 0,6.$ Найдите $sin∠ADC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Из основного тригонометрического тождества с учётом того, что $∠DCE$ — острый, получаем: $cos∠DCE = 0,8.$

Из определений синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что $sin∠EDC = cos∠DCE = 0,8.$

Так как синусы смежных углов равны, то $sin ∠ADC = sin∠EDC = 0,8.$

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1975

Дан выпуклый пятиугольник $ANGEL,$ причем известно, что $sin∠NAE = 1 = cos∠LAE. 2$ Найдите синус внешнего угла при вершине $A.$

Показать ответ и решение

$PIC$

1 cos∠LAE = 2 ⇒ ∠LAE = 60∘

Т.к. $sin∠NAE = 12,$ то $∠NAE$ равен либо $30∘,$ либо $150∘.$ Но пятиугольник выпуклый, а это значит, что все его внутренние углы меньше $∘ 180 ,$ следовательно, $∘ ∠NAE = 30$ и весь $∘ ∘ ∘ ∠A = 30 +60 =90$ (иначе весь $∠A$ был бы равен $∘ ∘ ∘ 60 + 150 > 180$ ).

Значит, и внешний угол при вершине $A$ равен $∘ 90 ,$ а его синус таким образом равен $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2732

В треугольнике $DOG$ косинус угла между стороной $OG$ и высотой к стороне $OD$ равен $0,6.$ Найдите синус внешнего угла треугольника при вершине $O.$

Показать ответ и решение

$PIC$ $PIC$

Т.к. синусы смежных углов равны, то $sin∠O внеш = sin∠O.$ Рассмотрим два случая: когда $∠O$ — острый и когда тупой. Пусть $GK$ — та самая высота из условия.

В первом случае из прямоугольного треугольника $OGK$

cos∠OGK = sin∠O ⇒ sin∠O внеш = cos∠OGK = 0,6

Во втором случае из прямоугольного треугольника $OGK$

cos∠OGK = sin ∠Oвнеш ⇒ sin∠O внеш = 0,6

Ответ: 0,6

Предыдущий раздел

Следующий раздел