Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.23 Решение треугольника и других фигур с помощью тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2467Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90∘,$ $AB = 17,$ $tg∠A = 0,25.$ Найдите высоту $CH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению из треугольника $ABC :$

BC- = tg∠A = 1 AC 4

Следовательно, можно принять $AC = 4x,$ $BC = x.$ Тогда по теореме Пифагора

x2+ (4x)2 = 172 ⇒ x = √17

Так как площадь прямоугольного треугольника $ABC,$ с одной стороны, равна $0,5CH ⋅AB,$ а с другой стороны, равна $0,5BC ⋅AC,$ то

4x2 CH ⋅AB = BC ⋅AC ⇒ CH = AB = 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2468Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $∘ C = 90 ,$ $CH$ — высота, $BC = 3,$ $1 sin ∠A = 6.$ Найдите $AH.$

Показать ответ и решение

По определению из треугольника $ABC :$

BC- = sin∠A = 1 ⇒ AB = 6BC = 18 AB 6

$PIC$

Так как по свойству прямоугольного треугольника $△AHC ∼ △ABC,$ то

AH- AC- AC2- AC = AB ⇒ AH = AB

Нужно найти $2 AC .$ По теореме Пифагора

AC2 = AB2 − BC2 = 182− 32 = (18− 3)(18+ 3)= 15⋅21

Следовательно,

AH = 15⋅21= 35-= 17,5 18 2

Ответ: 17,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2469Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $∘ C = 90 ,$ $CH$ — высота, $AC = 2,$ $1 cos∠A = 8.$ Найдите $BH.$

Показать ответ и решение

По определению из треугольника $ABC :$

AC- = cos∠A = 1 ⇒ AB = 8AC = 16 AB 8

$PIC$

Так как по свойству прямоугольного треугольника $△BHC ∼△ABC,$ то

BH-- BC- BC2- BC = AB ⇒ BH = AB

Нужно найти $2 BC .$ По теореме Пифагора

BC2 = AB2 − AC2 = 162− 22 = (16− 2)(16+ 2)= 14⋅18

Следовательно,

BH = 14⋅18= 15,75 16

Ответ: 15,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2470Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 5,$ $7- sin∠A = 25.$ Найдите $AB.$

Показать ответ и решение

Проведем $CK ⊥ AB.$

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ также является медианой, следовательно, $AK = 0,5AB.$ Тогда

7 CK 7 25 = sin ∠A = AC ⇒ CK = 5

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $ACK :$

∘ ------- ∘ ------- ∘ ---2-----2 49 252−-72 AK = AC − CK = 25− 25 = 25 = ∘ ------------- = (25−-7)(25+-7)= 3-⋅8-= 4,8 25 5

Следовательно, $AB = 2AK = 9,6.$

Ответ: 9,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2471Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 4√15,$ $sin∠BAC = 0,25.$ Найдите высоту $AH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $∠BAC = ∠ABC,$ следовательно, $sin∠ABC = sin∠BAC = 0,25.$ Следовательно, из треугольника $AHB :$

AH 1 1 AB-= sin ∠ABC = 4 ⇒ AH = 4 AB

Проведем $CK ⊥ AB.$ Тогда $CK$ также является медианой. Из треугольника $CKB :$

CK- = sin∠ABC = 1 ⇒ CK = √15 BC 4

Следовательно, по теореме Пифагора из треугольника $CKB :$

∘ ---------- ∘-------------- ∘---------- KB = BC2 − CK2 = (4√ 15)2− (√15)2 = 3√ 15⋅5√15= 15

Следовательно, $AB = 2KB =30$ и $AH = 14AB = 7,5.$

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2473Максимум баллов за задание: 1

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 3,$ $AD = 21,$ $6 sin ∠A = 7.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем высоты $BK$ и $DH.$ Тогда из треугольника $ADH$ и треугольника $ABK :$

sin∠A = DH-- sin∠A = BK-, AD AB

откуда

DH = AD sin ∠A BK = AB sin ∠A

Так как $AD > AB$ , то $DH$ — большая высота, следовательно,

DH = 21 ⋅ 6= 18 7

Ответ: 18

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#2475Максимум баллов за задание: 1

Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен $5 7.$ Найдите боковую сторону трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем $BH ⊥ AD.$ По свойству равнобедренной трапеции $AH = 1(AD − BC) =15. 2$ Тогда из треугольника $ABH :$

5 AH 7 = cos∠A = -AB ⇒ AB = 21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#2476Максимум баллов за задание: 1

Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен $2√10- -7--.$ Найдите меньшее основание.

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем $BH ⊥ AD.$ Из треугольника $ABH :$

√ -- -- 2--10= sin ∠A = BH-- ⇒ BH = 4√ 10 7 AB

Тогда по теореме Пифагора

∘-------√--- AH = 142− (4 10)2 = 6

Так как $AH = 0,5(AD − BC),$ то

BC = AD − 2AH = 34− 12= 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#2691Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $BC :AB = 2:1,$ $AC$ — диагональ. Найдите отношение косинуса угла $CAD$ к косинусу угла $ACD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

По определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что $cos∠ACD =sin∠CAD,$ тогда

cos∠CAD--= cos∠CAD---=ctg∠CAD = AD- = BC-= 2 cos∠ACD sin∠CAD CD AB

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2762Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 12,$ $√2- tgA = -4-.$ Найдите высоту $CH.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, то

√- CH-= -2- AH 4

Следовательно, можно принять $√ - CH = 2x,$ $AH = 4x,$ где $x$ — некоторое положительное число. Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника

AC2 = AH2 + CH2 ⇒ 144 = 2x2+16x2 ⇒ x = 2√2

Следовательно,

CH = √2x= √2-⋅2√2 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#13543Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC = 16,$ $√7- tgA = 3 .$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим из точки $C$ высоту $CH$ на сторону $AB.$ Тогда по определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике $AHC$ имеем:

√- CH- = tg∠A = -7- AH √ -3 CH = AH--7- 3

$PIC$

Так как треугольник $AHC$ — прямоугольный, то по теореме Пифагора:

(AH √7-)2 AC2 = AH2 + CH2 = AH2 + ---3-- = = 9AH2-+7AH2--= 16AH2 9 9

Отсюда получаем

4 AC = 3AH 3AC AH = --4-

Треугольник $ACB$ — равнобедренный по условию, $CH$ в нём является и высотой, и медианой. Тогда искомая сторона равна

AB = AH + BH =2AH = 3AC- 3AC-- 3⋅16 = 2⋅ 4 = 2 = 2 =24

Ответ: 24

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#17235Максимум баллов за задание: 1

Основания равнобедренной трапеции равны 78 и 60. Тангенс острого угла равен $2 9 .$ Найдите высоту трапеции.

Показать ответ и решение

Опустим высоты $BH$ и $′ CH$ на основание $AD$ трапеции. Они равны, так как $AD ∥ BC.$

Тогда $△ ABH = △DCH ′$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $AH = H′D.$ Кроме того, так как $HBCH ′$ — прямоугольник, то

BC = HH ′ = 60

Тогда имеем:

AD − BC 78− 60 AH = ----2--- = --2---= 9

$PIC$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ получаем

2 BH 9 = tg ∠HAB = AH--

Тогда искомая высота равна

BH = 2AH = 2 ⋅9= 2 9 9

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#21442Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $∘ 90,$ а $2√13- cos∠A = 13 .$ Найдите $tg∠A.$

Показать ответ и решение

По условию $∠A$ — это острый угол прямоугольного треугольника $ABC.$ Тогда $0 < sin∠A < 1.$ По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 2 4 sin ∠A + cos∠A =1 ⇔ sin ∠A + 13 = 1 √ -- sin2∠A = 9- ⇔ sin∠A = 3--13 13 sin∠A>0 13

$PIC$

Значит, искомый тангенс равен

sin∠A 3√13 3 tg∠A = cos∠A-= 21√313= 2 = 1,5 13

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38821Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC,AB =10,$ высота $AH = 8.$ Найдите косинус $∠A$ треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $ABC$ равнобедренный по условию, так как $AC = BC,$ значит, $∠A = ∠B.$ В прямоугольном треугольнике $AHB$ косинус угла $B$ — это отношение прилежащего катета $BH$ к гипотенузе $AB.$

По теореме Пифагора найдем $BH :$

BH =∘AB2--−-AH2-= ∘102-− 82-=√100-−-64= √36 =6

Тогда окончательно имеем:

cos∠A = cos∠B = BH-= -6 = 0,6 AB 10

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#45213Максимум баллов за задание: 1

Большее основание равнобедренной трапеции равно 25. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен $√11- -6--.$ Найдите меньшее основание.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть меньшее основание $BC = x.$ Проведем высоты трапеции $BH$ и $CK.$ Тогда $△ABH = △DCK$ как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, $AH = DK.$