Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.04 Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#39631Максимум баллов за задание: 1

Нормалью к графику функции в точке $x0$ называется прямая, проходящая через точку $(x0;f(x0))$ перпендикулярно касательной, проведенной к графику данной функции в точке $x0.$

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции

f(x)= x2+ 2x + 4

будет параллельна нормали, проведенной к графику $f(x)$ в точке $x0 =− 1,125.$

Показать ответ и решение

Угловой коэффициент касательной к графику в точке $x0$ равен

f′(x0) =2x0 +2 ⇒ f′(−1,125) =2 ⋅(− 1,125)+ 2= −2,25+ 2= − 0,25

Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых в произведении дают $− 1,$ то угловой коэффициент нормали в точке $x0 = −1,125$ равен

-−1-- k = −0,25 = 4

Следовательно, нужно найти такое $x1,$ при котором касательная к графику в этой точке имеет угловой коэффициент 4:

4 = f′(x1)= 2x1+2 ⇒ x1+ 1= 2 ⇒ x1 = 1

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#45219Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и одиннадцать точек на оси абсцисс: $x1,$ $x2,$ $...,$ $x11.$ В скольких из этих точек угловой коэффициент касательной к графику функции $y =f (x)$ положительный?

$xyxxxxxxxxxxx1234567891101$

Показать ответ и решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x0$ равен значению производной функции в точке $x0 :$ $′ k = f (x0).$ Следовательно, нужно найти количество точек, в которых производная положительна.

В точках $x1,$ $x2,$ $x3,$ $x4,$ $x9,$ $x10$ функция $y = f(x)$ возрастает, следовательно, производная положительна. Значит, таких точек 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#46559Максимум баллов за задание: 1

Прямая, заданная уравнением $y = 2kx− k,$ касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$ Найдите $′ f (x0),$ если $′ f (x0)+ k =24.$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax+ b$ в точке $(x0;f(x0)).$

Таким образом, $′ f (x0) =2k,$ тогда $′ k = 0,5f (x0).$

Так как $f′(x0)+ k = 24,$ то

24= f′(x0)+ k = 1,5⋅f′(x0) ⇒ f′(x0) =16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#71779Максимум баллов за задание: 1

Прямая $y = 4x + 6$ является касательной к графику функции $g = 2x2 + 16x+ c.$ Найдите $c.$

Показать ответ и решение

В точке $x0$ касания графиков двух функций значения этих функций, а также значения их производных равны. Исходя из этого можем составить систему:

$pict$

Тогда $c = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#72204Максимум баллов за задание: 1

Прямая $y(x )− 3x− 2 = 0$ параллельна касательной к графику функции $g(x) = x2 − 5x+ 4.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

В точке касания графика функции и касательной к нему производные обеих функций равны.

Иными словами, для того что бы найти абсциссу точки касания, следует приравнять уравнения производных $g′(x)$ и $y′(x) :$

g′(x) = y′(x),

2x− 5 = 3,

x = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#73991Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $y = f(x).$ Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой $− 4.$ Найдите значение производной функции в точке $x0 = −4.$

$xyy110 =f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением $y = kx.$ Заметим, что она проходит через точку с координатами $(−4;3).$ Следовательно,

3= − 4k ⇔ k = −0,75

$xyy110 =f(x)$

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

′ f (−4)= k = − 0,75

Ответ: -0,75

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#73992Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график функции $y = f(x).$ Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке $x0 = 5.$

$1461xyy0= f(x)$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением $y = kx.$ Заметим, что она проходит через точку с координатами $(5;−1).$ Следовательно,

− 1= 5k ⇔ k =− 0,2

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда получаем

f′(5)= k = −0,2

$xyy14610= f(x)$

Ответ: -0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#98486Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;6).$ Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $− 2.$

$′ xyy6−110 =4 f(x)$

Показать ответ и решение

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x0,$ равен значению производной в точке касания, то есть равен $f′(x0).$ Следовательно, нам нужно найти $f′(− 2).$

$xyy64−−110 =42f ′(x)$

Таким образом, на графике нужно найти точку, абсцисса которой равна $− 2,$ и определить ее ординату. Следовательно, $f′(−2)= 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#22839Максимум баллов за задание: 1

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и одиннадцать точек на оси абсцисс $x1$ , $x2$ , $x3$ , $x4$ , $x5$ , $x6$ , $x7$ , $x8$ , $x9$ , $x10$ , $x11$ . В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведём касательные к каждой точке и выберем те из них, у которых отрицательный угловой коэффициент (визуально это прямые, которые «идут вниз слева направо»). Тогда в точках $x1$ , $x2$ , $x3$ , $x5$ , $x10$ , $x11$ производная будет отрицательной. Получим 6 точек.

$PIC$

Ответ: 6