Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#137678Максимум баллов за задание: 1

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $H (t) =at2+ bt+H0,$ где $H$ — высота столба воды в метрах, $H0 = 8$ м — начальный уровень воды, $a = 1- м/мин2 72$ и $b = − 2 3$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению квадратного уравнения с дробными коэффициентами.

Из условия известно, что $H$ — это высота столба воды в момент времени $t.$

Нам необходимо найти время $t,$ при котором вся вода вытечет из бака, то есть высота столба воды $H$ будет равна нулю. Тогда имеем уравнение:

-1t2− 2t+ 8= 0 72 3 D = 4 − 4 ⋅8⋅ 1-= 4 − 4 =0 9 72 9 9 2 t= -3-= 24 2- 72

Значит, вода будет вытекать из бака в течение 24 минуты.

Ответ: 24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#137680Максимум баллов за задание: 1

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $φ= ωt+ βt2, 2$ где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $ω = 15$ град./мин. — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 6град./мин.2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $φ$ достиг $2250∘.$ Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время, за которое угол намотки $φ$ достиг $2250∘.$ Подставим данные из условия и вычислим значение времени $t:$

6t2 2250 =15t+ -2- 2 t+ 5t− 750= 0 D =52 − 4 ⋅(− 750)= 2 = 25+ 3000= 3025 = 55 t1 = −5-+55-= 25, t2 = −-5−-55= − 30 2 2

Время не может быть отрицательным, значит угол намотки $φ$ достигнет $2250∘$ через 25 минут после начала работы лебёдки.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#137681Максимум баллов за задание: 1

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $φ= ωt+ βt2, 2$ где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $ω = 50$ град./мин. — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 4 град./мин.2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $φ$ достиг $2500∘.$ Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время, за которое угол намотки $φ$ достиг $2500∘.$ Подставим данные из условия и вычислим значение времени $t:$

4t2 2500 =50t+ -2- 2 t +25t− 1250= 0 D = 252 − 4 ⋅(− 1250)= 2 = 625 +5000= 5625= 75 t1 = −25-+75-= 25, t2 = −-25−-75= −50 2 2

Время не может быть отрицательным, значит угол намотки $φ$ достигнет $2500∘$ через 25 минут после начала работы лебёдки.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#137684Максимум баллов за задание: 1

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v0 =60$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18 км/ч2.$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $2 S =v0t+ at-, 2$ где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время, за которое мотоциклист удалился от города на 21 км. Подставим данные из условия в формулу расстояния и решим полученное квадратное уравнение:

18t2- 21= 60t+ 2 2 9t + 60t− 21= 0 3t2+ 20t− 7= 0 D = 202− 4⋅3⋅(−7)= = 400+ 84= 484= 222 −20+ 22 1 −20− 22 t1 = --2⋅3---= 3, t2 = ---6---= − 7

Время не может быть отрицательным, значит мотоциклист достигнет расстояния 21 км через $1 3$ часа. Переведём часы в минуты:

1 60 3 ч= 3 мин= 20 мин

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#137685Максимум баллов за задание: 1

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v0 =90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 16 км/ч2.$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $2 S =v0t+ at-, 2$ где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время, за которое мотоциклист удалился от города на 72 км. Подставим данные из условия в формулу расстояния и решим полученное квадратное уравнение:

16t2- 72= 90t+ 2 2 8t + 90t− 72= 0 4t2+ 45t− 36= 0 D =452− 4⋅4 ⋅(−36)= = 2025+ 576= 2601= 512 − 45+ 51 3 − 45− 51 t1 =--2-⋅4---= 4, t2 =--2-⋅4---= −12

Время не может быть отрицательным, значит мотоциклист достигнет расстояния 72 км через $3 4$ часа. Переведём часы в минуты:

3 60⋅3 4 ч= 4 мин= 45 мин

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#137734Максимум баллов за задание: 1

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v0 =60$ км $∕$ ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 32∕2.$ Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $2 S = v0t+ at-, 2$ где $t−$ время (в часах), прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 154 км. Ответ дайте в минутах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время, за которое мотоциклист удалился от города на 154 решим полученное квадратное уравнение:

32t2 154 = 60t+ -2-- 2 8t + 30t− 77= 0 D =302− 4⋅8 ⋅(−77)= 2 = 900 +2464= 3364= 58 t1 = −30-+58-= 7, t2 = −30-− 58-= − 11 2⋅8 4 2⋅8 2

Время не может быть отрицательным, значит мотоциклист достигнет расстояния 154 км через $7 4$ часа. Переведём часы в минуты:

7 ч = 60⋅7м ин= 105 мин 4 4

Ответ: 105

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#92101Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль, движущийся со скоростью $v0 = 24$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3 м/c2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v0t− at2 2$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

Требуется найти время торможения, за которое автомобиль проехал 90 метров. Подставим известные значения в формулу пути и решим квадратное уравнение:

3t2 90 = 24t− 2 2 t− 16t+ 60= 0 D =(−16)2− 4⋅1⋅60= 256− 240= 16= 42 16 +4 16 − 4 t1 =--2-- = 10, t2 = --2--= 6

Автомобиль проезжает 90 метров через 6 секунд. Второй раз через 10 секунд он окажется на этой отметке позже, но нам нужно первое время с момента начала торможения, значит ответ 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#137695Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль, движущийся со скоростью $v0 = 23$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2 м/с2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v0t− at2 2$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время торможения, за которое автомобиль проехал 132 метров. Подставим известные значения в формулу пути и решим квадратное уравнение:

2t2- 132= 23t− 2 2 t − 23t+132= 0 D =(−23)2− 4⋅1⋅132= 529− 528= 1 23+ 1 23− 1 t1 =--2-- =12, t2 =--2-- = 11

Автомобиль проезжает 132 метра через 11 секунд. Второй раз через 12 секунд он окажется на этой отметке позже, но нам нужно первое время с момента начала торможения, значит ответ 11.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#137696Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль, движущийся со скоростью $v0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2 м/с2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v0t− at2 2$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Требуется найти время торможения, за которое автомобиль проехал 36 метров. Подставим известные значения в формулу пути и решим квадратное уравнение:

2t2 36 = 15t− 2 2 t− 15t+ 36= 0 D =(−15)2− 4⋅1⋅36= 225− 144= 81= 92 15 +9 15 − 9 t1 =--2-- = 12, t2 = --2--= 3

Автомобиль проезжает 36 метров через 3 секунды. Второй раз через 12 секунд он окажется на этой отметке позже, но нам нужно первое время с момента начала торможения, значит ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#137697Максимум баллов за задание: 1

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = σST 4,$ где $P$ — мощность излучения звезды (в Вт), $σ = 5,7⋅10−8--Вт-4 м2⋅К$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в $м2$ ), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $1 22 2 2401-⋅10 м ,$ а мощность её излучения равна $5,7⋅1026$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в Кельвинах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в закон Стефана-Больцмана и найдём температуру звезды:

26 −8 ( 1 22) 4 5,7⋅10 = 5,7⋅10 ⋅ 2401 ⋅10 ⋅T 26 T 4 =-----5,7-⋅10------- 5,7 ⋅10−8⋅ -1--⋅1022 2401 T4 = 1026⋅2401 10−8⋅1022 T4 = 2401⋅1026−(−8)−22 T4 = 2401⋅1012 4 12 4 34 T = 2401 ⋅10 = (7)⋅(10 ) T = 7⋅103 = 7000 К

Таким образом, температура звезды составляет 7000 Кельвинов.

Ответ: 7000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#137701Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a =3500 км/ ч2.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу скорости и найдём пройденный путь:

70= √2⋅l⋅3500 2 70 = 2⋅l⋅3500 4900 =7000⋅l l = 4900= 0,7 км 7000

Таким образом, к моменту достижения скорости 70 км/ч автомобиль проедет 0,7 километра.

Ответ: 0,7

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#137704Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a =4500 км/ ч2.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу скорости и найдём пройденный путь:

90= √2⋅l⋅4500 2 90 = 2⋅l⋅4500 8100 =9000⋅l l = 8100= 0,9 км 9000

Таким образом, к моменту достижения скорости 90 км/ч автомобиль проедет 0,9 километра.

Ответ: 0,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#83439Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $( ) a в км/ч2 .$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $км/ ч2.$

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу скорости и найдём ускорение:

120= √2-⋅1⋅a- 2 120 = 2⋅a 14400= 2⋅a l = 14400-= 7200 км/ч2 2

Таким образом, чтобы, проехав 1 км, развить скорость 120 км/ч автомобиль должен двигаться с ускорением 7200 $км/ч2.$

Ответ: 7200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#137711Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $τ m = m0 ⋅2−T,$ где $m0$ — начальная масса изотопа (в мг), $τ$ — время, прошедшее от начального момента, в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в закон радиоактивного распада и найдём искомое время:

39 = 156 ⋅2− τ8 39-= 2− τ8 156 1 =2− τ8 4

Представим $1 4$ как $−2 2$ и перейдем к равенству показателей степени:

2−2 = 2− τ8 τ − 2= − 8 τ = 16

Таким образом, масса изотопа уменьшится до 39 мг через 16 минут.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#137714Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m0 ⋅2− tT,$ где $m0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в закон радиоактивного распада и найдём искомое время:

12,5 =100⋅2−2t 12,5-= 2− t2 100 1 =2− t2 8

Представим $1 8$ как $−3 2$ и перейдем к равенству показателей степени:

t 2−3 = 2−2 t −3= − 2 t= 6

Таким образом, масса изотопа уменьшится до 12,5 мг через 6 минут.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#137717Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $τ m = m0 ⋅2−T,$ где $m0$ — начальная масса изотопа (в мг), $τ$ — время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в закон радиоактивного распада и найдём искомое время:

49 = 196 ⋅2− τ4 49-= 2− τ4 196 1 =2− τ4 4

Представим $1 4$ как $2−2$ и перейдем к равенству показателей степени:

−2 − τ 2 = 2 4 τ − 2= − 4 τ =8

Таким образом, масса изотопа уменьшится до 49 мг через 8 минут.

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#137718Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $τ m = m0 ⋅2−T,$ где $m0$ — начальная масса изотопа (в мг), $τ$ — время (в минутах), прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 20 мг. Период его полураспада составляет 10 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в закон радиоактивного распада и найдём искомое время:

5= 20 ⋅2− τ10- -5 = 2− τ10- 20 1= 2−1τ0 4

Представим $1 4$ как $2−2$ и перейдем к равенству показателей степени:

−2 − τ 2 = 2 10 -τ −2 = −10 τ = 20

Таким образом, масса изотопа уменьшится до 5 мг через 20 минут.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#137720Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержащий $v = 3$ моль воздуха при давлении $p1 = 1,4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p2$ (в атмосферах). Работа $A$ (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = αvT log2 p2, p1$ где $α= 10,9 --Дж--- моль⋅К$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите давление $p2$ воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 29430 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу работы и найдём искомое давление:

-p2 29430= 10,9⋅3⋅300⋅log21,4 -p2 29430= 9810⋅log21,4 p 29430 log212,4-= -9810- log2 p2-= 3 1,4

Перейдём от логарифмического уравнения к показательному:

-p2 1,4 = 8 p2 = 8⋅1,4 p2 = 11,2

Таким образом, давление воздуха в колоколе составит 11,2 атмосферы.

Ответ: 11,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#137721Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержащий $v = 6$ моль воздуха при давлении $p1 = 2,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p2$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = αvT log2 p2, p1$ где $α= 5,75 --Дж--- моль⋅К$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p2$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу работы и найдём искомое давление:

-p2 10350= 5,75⋅6⋅300⋅log22,5 p2- 10350 = 10350⋅log22,5 p2 log22,5-= 1

Перейдём от логарифмического уравнения к показательному:

-p2= 2 2,5 p2 = 5

Таким образом, давление воздуха в колоколе составит 5 атмосфер.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#137723Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержащий $v = 2$ моль воздуха объёмом $V1 =120$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V2$ (в л). Работа $A$ (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = αvT log2 V1, V2$ где $Д ж α = 8,7 моль⋅К-$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10440 Дж. Ответ дайте в литрах.