Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2368Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

√ ------- (4 cos23x − 4 sin 3x − 1) ⋅ − ctgx = 0

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $( ] π;2 π . 2$

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно системе

( [ |{ 4 cos23x − 4 sin 3x − 1 = 0 |( − ctgx = 0 − ctgx ≥ 0

Решим первое уравнение. Сделаем замену $t = sin 3x$ , тогда уравнение примет вид

2 2 2 2 4 − 4t − 4t − 1 = 0 ⇔ 4t + 4t + 1 = 4 ⇔ (2t + 1) = 2 ⇒ 2t + 1 = ±2.

Следовательно, получаем: 1) $sin 3x = 1- ⇒ x = π--+ 2π-n 2 18 3$ и $x = 5π-+ 2-πk 18 3$ , $k, n ∈ ℤ.$ 2) $sin 3x = − 3- 2$ – не имеет решений.

Решим второе уравнение:

π ctgx = 0 ⇔ x = --+ πm, m ∈ ℤ 2

Пересечем полученные решения с условием $− ctgx ≥ 0 ⇔ ctgx ≤ 0$ .
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:

$PIC$

Следовательно, ответ: $π 13π 17π 29π x = --+ πm; ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ----+ 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ. 2 18 18 18$

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку $( ] π- 2;2π$ . Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:

$PIC$

Ответ:

а) $π 13π 17π 29 π --+ πm; ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ---- + 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ 2 18 18 18$

б) $13π- 17-π 3π- 29π- 18 ; 18 ; 2 ; 18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2409Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

ctg2x + ---(-1-----)-− 1 = 0 cos x − 112π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[π;3π ).$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( ) cos x − 11π- = − sinx 2$ . Применив также формулу $ctg2x + 1 = --1--- sin2 x$ , получим:

1 1 1 1 ---2--− 1 − -----− 1 = 0 ⇔ ---2--− -----− 2 = 0 sin x sinx sin x sin x

Сделаем замену $1 -----= t sin x$ , тогда уравнение примет вид

2 t − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1 или t2 = 2

Сделаем обратную замену: $π sinx = − 1 ⇔ x = − --+ 2πn, n ∈ ℤ 2$ $1 π 5π sin x = -- ⇔ x = -- + 2πk; x = ---+ 2πm, k,m ∈ ℤ 2 6 6$ .

б) Отберем корни.

$π 3 7 3π π ≤ − --+ 2πn < 3π ⇔ --≤ n < -- ⇒ n = 1 ⇒ x = --- 2 4 4 2 π ≤ π-+ 2πk < 3π ⇔ 5--≤ k < 17- ⇒ k = 1 ⇒ x = 13π- 6 12 12 6 π ≤ 5π-+ 2πm < 3π ⇔ 1--≤ m < 13- ⇒ m = 1 ⇒ x = 17-π 6 12 12 6$

Ответ:

а) $π π 5π − --+ 2πn; --+ 2πk; ---+ 2πm; n, k,m ∈ ℤ 2 6 6$

б) $3π; 13π; 17π- 2 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2443Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

√ -- 4 − 3 2 sin x-= 2cos2(0,25x ) 4

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;4π)$ .

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $1 0, 25x = --x 4$ , следовательно:

( ) √ -- x- 2 x 2 x √-- x- 4 − 3 2 sin 4 − 2 1 − sin 4 = 0 ⇒ 2 sin 4 − 3 2 sin 4 + 2 = 0

Сделаем замену $x sin --= t, − 1 ≤ t ≤ 1 4$ . Тогда уравнение примет вид:

2 √-- -1-- √ -- 2t − 3 2t + 2 = 0 ⇒ t1 = √ --, t2 = 2 2

Заметим, что $t2$ не удовлетворяет условию $− 1 ≤ t ≤ 1$ , то есть не является решением. Сделаем обратную замену:

$⌊ x π --= --+ 2πn, n ∈ ℤ [ x- -1-- | 4 4 x1 = π + 8πn, n ∈ ℤ sin 4 = √ -- ⇒ |⌈ ⇒ 2 x-= 3π-+ 2πm, m ∈ ℤ x2 = 3π + 8πm, m ∈ ℤ 4 4$

б) Отберем корни:

$0 < x1 < 4π ⇒ n = 0 ⇒ x = π$

$0 < x2 < 4π ⇒ m = 0 ⇒ x = 3π$

Ответ:

а) $π + 8πn, 3π + 8πm, n, m ∈ ℤ$

б) $π; 3π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#20619Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $( 7π ) sin 2 +x + 2cos2x = 1.$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[3π;4π].$

Показать ответ и решение

а) Для начала воспользуемся формулой приведения

( 7π ) ( 3π ) sin 2-+ x = sin 2-+ x = − cosx

Также воспользуемся формулой косинуса двойного угла

cos2x = 2cos2x − 1

Тогда для исходного уравнения имеем:

$pict$

Обозначим $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

$pict$

Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем совокупность

$pict$

б) Рассмотрим каждый из корней отдельно. При этом сразу учтём, что

(3 ) 0< arccos 4 < π

Тогда для каждой из серий имеем:

$pict$

Ответ:

а) $(3 ) (3) 2πk; π− arccos 4 + 2πk; π + arccos 4 + 2πk, k ∈ ℤ$

б) $( ) arccos 3 +3π; 4π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#42150Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) sin 2x+ 2π cos(4x + π) − cos2x=--sin(2x-). 3 3 cos − π3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −2π; 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) По формулам $sinαcosβ = 1(sin(α − β)+ sin(α+ β)) 2$ и $sin2x = 1−-cos2x- 2$ уравнение преобразуется к виду

1 (π- ) 1 1−-cos2x 2 sin 3 − 2x + 2 sin(6x+ π)− cos2x= 2 ⋅ 12 ⇔ ( ) − sin 2x − π-+ sin(6x+ π− 2π)= 2 ⇔ 3 ( π) − sin 2x − 3 + sin(6x− π)= 2

Сделаем замену $( π ) sin 2x− 3- = t$ , тогда $( π) 3( π) 3 sin(6x− π)= 3sin 2x − 3- − 4 sin 2x− 3- = 3t− 4t$ и уравнение примет вид

2t3− t+ 1= 0 ⇔ (t+1)(2t2− 2t+ 1)= 0 ⇔ t= −1

Тогда

( ) sin 2x− π- = −1 ⇔ 2x − π= − π-+2πn ⇔ x= − π-+ πn,n∈ ℤ 3 3 2 12

б) Сделаем отбор корней с помощью тригонометрической окружности.

$−−− 21ππ3;π0 1122$

$031π1π 212$

На отрезке $[ ] −2π; 3π 2$ лежат корни $− 13π;− π-; 11π-. 12 12 12$

Ответ:

а) $− π-+ πn, n ∈ ℤ 12$

б) $13π π 11π − -12 ;− 12;12-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#42151Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin2( x+ π-)sin2(x − π) = 0,375sin2 (− π-). 4 4 4 4 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;π ].$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $sin (α− π) = − cosα 2$ , следовательно,

sin2(x + π-)⋅(sin( x+ π-− π))2 = 3⋅ 1 ⇔ ◟4◝◜-4◞ 4 4 2 8 2 =α 2 2 3 sin α⋅cosα = 16 ⇔ 1 sin22α= 3- ⇔ 4 16 2 3 sin 2α = 4 1-− cos4α = 3 ⇔ 2 4 1 cos4α =− 2 ⇔ − 1 = cos4α = cos(x+ π)= − cosx ⇔ 2 1 cosx= 2 π x =± 3-+2πn,n ∈ℤ

б) Отберем подходящие корни с помощью тригонометрической окружности.

$75ππ −−−3π33;−π$

$ππ −−3π3;π$

На отрезке $[−3π;π]$ лежат корни $7π 5π π-π- − 3 ;− 3 ;− 3;3.$

Ответ:

а) $± π+ 2πn, n∈ ℤ 3$

б) $7π 5π π π − -3 ;− -3 ;− 3;3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#42155Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sinx ⋅sin2x =2 cosx +cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, применив формулы двойного аргумента для синуса и косинуса:

4 sin2xcosx= 2cosx+ 2cos2x− 1 ⇔ 2 2 4(1− cosx)cosx =2 cosx +2 cos x− 1 ⇔ 4 cos3x+ 2cos2x− 2cosx− 1= 0

Сделаем замену $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

4t3+ 2t2− 2t− 1= 0 ⇔ (2t+ 1)(2t2 − 1)= 0 ⇔ t =− 1;±√1- 2 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ cosx = − 1 x= ± 2π+ 2πn, n∈ ℤ || 2 ⇔ || 3 ⌈ cosx = ±√1- ⌈ x= π-+ πk, k ∈ ℤ 2 4 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности.

$−−−−−−π5π7π9π5π4π- 24443$

Ответ:

а) $± 2π+ 2πn, π+ π-k, n,k ∈ ℤ 3 4 2$

б) $9π 7π 4π 5π − -4 ;− -4 ;− 3-;−-4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#58460Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $( ) 1− sin x+ π- ( π) ----cos2x--2--= 2cos2x + 2cos2 x − 2-.$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[ π] −π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $( ) cos x− π- = sinx, 2$ $( ) sin x + π- =cosx. 2$ Тогда имеем:

1−-cosx- ( 2 2 ) cos2x − 2cos x +2 sin x = 0

По основному тригонометрическому тождеству

( ) 2cos2x+ 2sin2x = 2 cos2x +sin2x = 2⋅1= 2

Таким образом,

-1---− -1--− 2= 0 cos2x cosx

Сделаем замену $t = -1--. cosx$ Тогда получим уравнение

t2− t− 2 = 0

По теореме Виета

{ [ t1t2 = −2 ⇒ t1 = − 1 t1 +t2 = 1 t2 = 2

Сделаем обратную замену:

1 t= −1 ⇔ cosx-= −1 ⇔ cosx = −1 ⇔ x =π + 2πk, k ∈ ℤ t= 2 ⇔ --1- = 2 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = ±π-+ 2πk, k ∈ℤ cosx 2 3

б) Сделаем отбор корней по окружности.

$ππ1-π- xy3−2−2π3$

Следовательно, на отрезке $[ π] − π;2$ лежат корни $− π,$ $π- − 3$ и $π- 3 .$

Ответ:

а) $x = π+ 2πk,$ $x = π+ 2πk, 3$ $x = − π-+ 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $− π;$ $π − 3;$ $π 3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#69959Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $cos2x + 3sin x− 2 = 0$ .

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;− π]$ .

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла $cos 2x = 1− 2 sin2x$ имеем:

1− 2sin2x+ 3sinx − 2 = 0,

2 sin2x − 3sin x+ 1 = 0.

Сделаем замену $t = sin x$ , что приводит к простому квадратному уравнению: $2 2t − 3t+ 1 = 0$ .
По теореме Виета находим корни: $t1 = 1$ , $1 t2 = 2$ .

Сделав обратную замену, получим два простейших тригонометрических уравнения:

$⌊sin x = 1 ⌈ 1 sinx = 2$

$⌊x = π-+ 2πn,n ∈ ℤ | 2 ||x = π-+ 2πn,n ∈ ℤ |⌈ 6 x = 5π+ 2πn,n ∈ ℤ 6$

б) Отберем корни на отрезке графическим методом (изобразим на витке тригонометрической окружности отрезок и попавшие на него корни).

$PIC$

Помимо описанных действий также обязательно следует привести минимальные вычислений для отобранных корней:

x1 = π-+ 2π⋅(− 1) = − 3π-; 2 2

π- 11π- x2 = 6 + 2π ⋅(− 1) = − 6 ;

5π 7π x3 =---+ 2π ⋅(− 1) = −--. 6 6

Ответ:

а) $π x =-2 + 2πk$ , $π x = 6-+ 2πk$ , $5π x = -6-+ 2πk$ , $k$ – целое;

б) $11π- x = − 6$ , $3π- x = − 2$ , $7π- x = − 6$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#70829Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $6cos2x + 5sinx − 2 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 5π2 ;−π].$

Показать ответ и решение

a) Выразим $cos2x$ по ОТТ через синус:

6(1− sin2x) +5sinx− 2= 0,

2 − 6sin x +5 sinx− 2+ 6 =0,

2 6sin x − 5sinx− 4= 0.

Пусть $sinx =t$ , тогда:

6t2 − 5t− 4= 0.

$D = (− 5)2 − 4 ⋅6 ⋅−4= 25+ 96= 121$ , $√D--=11$ .

5 +11 16 4 t1 =--12- = 12 = 3 ,

t = 5-− 11 = −6-= − 1. 2 12 12 2

Обратная замена.

При $4 t1 = 3$ , $4 sin x= 3$ – решений нет, так как $4 3 > 1$ .

При $1 t2 = −2$ , $1 sinx =− 2$ , следовательно, $π- x1 = − 6+ 2πk$ , $5π- x2 = − 6 + 2πk$ , $k$ – целое.

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности на промежутке $[ ] − 5π;−π 2$ :

$Ox−−− 5π2ππ 12$

Найдем корень:
$π- 13π x1 =− 2π− 6 = − 6$ .

Ответ:

а) $− π+ 2πk 6$ , $− 5π-+ 2πk 6$ , $k$ – целое;

б) $− 13π 6$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#71784Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $11cos2x = 7sin(x− π2)− 9.$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[− π;0].$

Показать ответ и решение

По формуле синуса разности:

sin(x− π) = sinxcos π-− cosx sin π-= − cosx. 2 2 2

По формуле косинуса двойного аргумента:

2 cos2x= 2cos x− 1.

Подставим обе формулы в исходное уравнение:

2 11 ⋅(2cos x− 1)= −7 cosx − 9,

22cos2x− 11+ 7cosx + 9= 0.

22cos2 x+ 7cosx− 2= 0.

Сделаем замену $t =cosx$ :

2 22t + 7t− 2 = 0,

2 D = 49+ 176 = 225 = 15 ,

$⌊ −7 +15 2 |t1 =--44---= 11, ⌈ −7−-15- 1 t2 = 44 =− 2.$

Обратная замена:

$⌊ |cosx= -2, ⌈ 111 cosx = −2.$

$⌊ | x= arccos-2+ 2πk,k ∈ ℤ, || 11 ||x= − arccos 2-+ 2πk,k ∈ ℤ, || 11 || x= 2π-+ 2πk,k ∈ℤ, ||⌈ 3 x = − 2π +2πk,k ∈ ℤ. 3$

б) Отбрем корни при помощи единичной окружности:

$PIC$

Минимальные вычисления для корней, принадлежащих отрезку:

$x1 = − 2π+ 2π⋅0= − 2π. 3 3$

$2 2 x2 = − arccos-+ 2π⋅0= − arccos--. 11 11$

Ответ:

а) $x = 2π+ 2πk, 3$ $x = − 2π +2πk, 3$ $x = arccos 2-+ 2πk, 11$
$x = − arccos-2 +2πk, 11$ $k$ — целое.

б) $2π x =− --, 3$ $2 x = − arccos-. 11$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78008Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $tgx+ 2ctgx= 3.$

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку $[−3π;−2π].$

Показать ответ и решение

а) Тангенс и котангенс определены, если косинус и синус соответственно не равны нулю.

Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса, используя соотношение $ctgx = 1tgx-:$

tgx+ -2- = 3. tgx

Пусть $t= tgx,$ тогда:

t+ 2 = 3, t

t2+ 2− 3t ----t----= 0,

t2− 3t+2 = 0,

корни этого уравнения легко находятся по теореме Виета: $t = 1 1$ и $t2 = 2.$
Сделаем обратную замену:
1)

tgx= 1,

π x= -4 + πn, n∈ ℤ.

tgx= 2,

x =arctg 2+ πn, n ∈ ℤ.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[− 3π;− 2π].$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

π 11π x1 = 4-+π ⋅(− 3)= −-4-,

x2 = arctg2+ π⋅(−3)= arctg2 − 3π.

Ответ:

а) $π+ πn 4$ ; $arctg2+ πn$ ; $n ∈ ℤ$ ;
б) $11π arctg2− 3π;− 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#85434Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

--2-cosx---− 4 = cos2(x + π). sin3x+ sin x 3 4

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку $[0;π].$

Показать ответ и решение

а)

--2-cosx---− 4 = cos2(x + π). sin3x+ sin x 3 4

Воспользуемся формулами понижения степени и суммы синусов:

$pict$

Тогда уравнение примет вид:

1 +cos(2x+ π-) --2cosx---− 4= -----------2-- 2sin2xcosx 3 2

Воспользуемся формулой приведения:

( π) cos 2x + 2- = − sin 2x

Уравнение примет вид:

$pict$

Пусть $sin2x= t,$ $t∈ [− 1;1].$ Тогда уравнение примет вид:

3t2− 11t+ 6= 0 ⌊ |⌈t= 3∈∕[−1;1] t= 2 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;π],$ с помощью тригонометрической окружности:

$π1 1 2 2 0π22 a−rcs2i anr3csin3$

Получим значения: $1 arcsin 2; 2 3$ $π-− 1 arcsin 2. 2 2 3$

Ответ:

а) $1arcsin 2 +πk; 2 3$ $π-− 1arcsin 2+ πk, 2 2 3$ $k ∈ Z$

б) $1 2 arcsin 23;$ $π 1 2 2-− 2 arcsin3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#86195Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение

6cos2x +5 sin(π-+ x)− 4= 0. 2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] − 2 ;−2π .$

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

6cos2x +5 cosx − 4 = 0 ⌊ 4 |cosx= − 3 (не им еет реш ений, так как |cosx|≤ 1) |⌈ 1 cosx= 2 cosx= 1 2 x= ± π+ 2πn, n ∈ ℤ 3

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π ] −-2 ;− 2π ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$77ππ −−−22π3$

Следовательно, на отрезке $[ 7π ] − 2 ;−2π$ лежит число $7π − 3 .$

Ответ:

а) $± π+ 2πn, 3$ $n∈ ℤ$

б) $7π − -3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#15198Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2cos4 x+ 7cos3x +6 cos2x − cosx− 2 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] π- − 2π;− 2 .$

Показать ответ и решение

а) $2cos4 x+ 7cos3x+ 6 cos2x − cosx− 2 = 0$

Пусть $t = cosx$ : $2t4 +7t3 + 6t2 − t− 2 = 0$ . Подберем корни.

$t = − 1$ — корень: $2 − 7+ 6+ 1 − 2 = 0$ . $(t+ 1)$ — делитель многочлена. Получаем:

2t4 + 7t3 + 6t2 − t− 2 = (t+ 1)(2t3 + 5t2 + t− 2)

$2t3 + 5t2 + t− 2 = 0$ . Подберем корни.

$t = − 1$ — корень: $− 2+ 5− 1 − 2 = 0$ . $(t+ 1)$ — делитель многочлена. Получаем:

2t3 + 5t2 + t− 2 = (t+ 1)(2t2 + 3t− 2)

$2t2 + 3t− 2 = 0. D = 32 − 4⋅2 ⋅(− 2) = 32 + 42 = 52. t1,2 =-−-3±-5 = − 2; 1 4 2$

Получаем корни исходного многочлена:

$⌊t = − 1 | |⌈t = − 2 t = 1 2$ ⇔ $⌊cosx = − 1 | |⌈cosx = − 2 cosx = 1 2$ ⇔ $⌊x = π + 2πk, k ∈ ℤ | |⌈x ∈ ∅ (cosx ∈ [− 1;1]) x = ± π+ 2πn,n ∈ ℤ 3$ ⇔ $⌊ x = π + 2πk,k ∈ ℤ ⌈ π- x = ± 3 + 2πn, n ∈ ℤ$

б)

Ответ:

$π а)x = π+ 2πk,k ∈ ℤ; x = ± 3 + 2πn,n ∈ ℤ$

б) $− 5π;− π 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#16755Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

tg ²x + 5tg x + 6 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 2π;− π 2$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n ∈ ℤ$ .

1.

−2π ≤−arctg 2 + πn ≤− $π- 2$ ⇔ −2 + $arctg2- π$ ≤ n ≤− $1 2$ + $arctg-2 π$

Очевидно, что $π arctg 2 1 0 < arctg2 < --⇒ 0 < ------< - 2 π 2$ , тогда

−2 < −2 + $arctg2 ------ π$ < −1, −1 < − $1 - 2$ + $arctg2 ------ π$ < 0

и единственное подходящее $n = − 1$ дает $x = − arctg2 − π$ .

2.

−2π ≤−arctg 3 + πn ≤− $π- 2$ ⇔ −2 + $arctg3- π$ ≤ n ≤− $1 2$ + $arctg-3 π$

Очевидно, что $π arctg 3 1 0 < arctg3 < --⇒ 0 < ------< - 2 π 2$ , тогда

−2 < −2 + $arctg3 ------ π$ < −1, −1 < − $1 - 2$ + $arctg3 ------ π$ < 0

и единственное подходящее $n = − 1$ дает $x = − arctg3 − π$ .

Ответ: $− π− arctg2; − π− arctg3$ .

Ответ:

а) $− arctg2 + πn; − arctg3+ πn, n ∈ ℤ$

б) $− π− arctg2; − π− arctg3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#16756Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2 5cos x− 12 cosx + 4 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- − 2 ;− π$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n ∈ ℤ$ .

1.: $2 2 − 5π-≤ arccos 2+ 2πn ≤ − π ⇔ − 5 − arccos5-≤ n ≤ − 1− arccos5 2 5 4 2π 2 2π$
Очевидно, что $2 0 < arccos 2 < π-⇒ 0 < arccos5 < 1 5 2 2π 4$ , тогда
$5 arccos 25 1 arccos 25 − 2 < − 4 − 2π < − 1, − 1 < − 2 − 2π < 0$ и единственное подходящее $n = − 1$ дает $2 x = arccos5 − 2π$ .
2.: $2 2 − 5π-≤ − arccos 2+ 2πn ≤ − π ⇔ − 5 + arccos5-≤ n ≤ − 1+ arccos5 2 5 4 2π 2 2π$
Очевидно, что $2 0 < arccos 2 < π-⇒ 0 < arccos5 < 1 5 2 2π 4$ , тогда
$2 2 − 2 < − 5 + arccos5-< − 1, − 1 < − 1 + arccos5-< 0 4 2π 2 2π$ и единственное подходящее $n = − 1$ дает $2 x = − arccos5 − 2π$ .

Ответ: $2 2 − 2π− arccos-; − 2π +arccos 5 5$ .

Ответ:

а) $2 ± arccos 5 + 2πn, n ∈ ℤ$

б) $2 2 − 2π− arccos5; − 2π +arccos5$